袁才

【摘 要】學(xué)生學(xué)習(xí)物理過程中，時刻離不開數(shù)學(xué)。物理和數(shù)學(xué)有密切的聯(lián)系但又有區(qū)別，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，常常會出現(xiàn)把物理公式理解為純函數(shù)關(guān)系，忽視物理意義，適用的范圍及條件，也沒有注意到有些概念在物理和數(shù)學(xué)中具有不同的含義，對物理結(jié)果的物理意義缺乏思考等問題。文中針對此問題，探討注意防止和糾正學(xué)生把物理問題數(shù)學(xué)化的傾向，讓學(xué)生在涉及這些物理問題時不能出錯。

【關(guān)鍵詞】物理問題 物理意義 數(shù)學(xué)化

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2016）01B-0096-02

數(shù)學(xué)作為一種工具，可以幫助學(xué)生深入分析物理現(xiàn)象和物理過程，但是具有一定的局限性。在運(yùn)用這個工具的過程中要防止和避免物理問題“數(shù)學(xué)化”，注意如下幾點：

一、注意物理量比值定義式的理解

在數(shù)學(xué)公式 x=z/y 里，x，y，z 都是變量，公式變形為 y=z/x 后，函數(shù)關(guān)系依然存在。但物理量比值定義式變形后的物理意義卻往往不同，這與數(shù)學(xué)是有區(qū)別的。

如電場強(qiáng)度E=F/Q，電容器的電容C=Q/U，磁感應(yīng)強(qiáng)度 B=F/IL，密度p=M/V等。從數(shù)學(xué)角度看，都表示數(shù)量之間的函數(shù)關(guān)系，但它們作為物理量的定義式，并不表示著數(shù)量間的函數(shù)關(guān)系，而且有它們本身的物理含義。如E=F/Q，你就不能由數(shù)學(xué)知識得F≠0，E≠0，即該處有電場；F=0，E=0，該處的電場為零，也不能說E跟F成正比，E跟Q成反比。電場中某處的場強(qiáng)是由場源電荷和位置決定的，它與放入場中的電荷無關(guān)。放在電場某確定點的檢驗電荷所受電場力的大小與檢驗電荷電量大小成正比，即檢驗電荷的帶電量越大，它所受電場力也越大，檢驗電荷的帶電量越小，它所受電場力也越小。即使不放檢驗電荷，該處的場強(qiáng)還是那么大。檢驗電荷所受電場力與所帶電量之比為一恒量，這個恒量就是電場強(qiáng)度。又如C=Q/U，我們不能認(rèn)為C與Q成正比，與U成反比。因為電容器電容的大小由電容器的本身性質(zhì)（如兩板間電介質(zhì)的相對介電常數(shù)，兩板正對面積，兩板間的距離）決定，而不是由電容器的帶電量和極板間的電勢差決定的。對于這些物理量的定義式，要深刻理解它們的物理意義，而不能單純從數(shù)學(xué)角度去看待。

二、某些物理定律數(shù)學(xué)表達(dá)式的運(yùn)用要注意適用范圍及條件

物理的一些定律，常用簡明的數(shù)學(xué)形式來表達(dá)，即物理定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式。如萬有引力定律F=（Gm1m2）/R2，庫侖定律F=（kQ1Q2）/r2，胡克定律F=kx，阿基米德定律F=pgv等。對于這些式子，從數(shù)學(xué)角度看，變量的取值可以任意變化，但是，作為物理定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式，卻是不能任意變化的，它受到某些物理條件的限制。如F=（Gm1m2）/R2，從數(shù)學(xué)觀點看，當(dāng) R→0時則有F→∞。但是作為一個物理定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式，當(dāng) R→0時，物體就不能視為質(zhì)點，表達(dá)式就不再成立了。對庫侖定律F=（kQ1Q2）/r2及真空中點電荷的電場 E=KQ/R2都要做類似的理解。又如F=kx，從數(shù)學(xué)角度看，x 的值可以任意變化，但它作為一個物理定律的表達(dá)式，x 值的變化要受到一定的限制，即必須在彈簧的彈性限度之內(nèi)。再如F=pgv這一定律的運(yùn)用，當(dāng)一長方體鐵塊浸沒在容器底部，和容器底咬合無縫隙，并且鐵塊底部不受液體壓強(qiáng)作用時，就不能再使用浮力公式了。因為浮力產(chǎn)生的機(jī)理是由壓強(qiáng)差所形成的。

三、處理物理問題時，不能單純按照數(shù)學(xué)推理，應(yīng)當(dāng)注意實際的物理過程和物理現(xiàn)象

例如有一道熱學(xué)題，量熱器的銅器小筒里盛有200克15℃的水，小筒的質(zhì)量為160克，向水里放入50克0℃的冰。求量熱器里的末溫度是多少攝氏度[C銅=3.9×102（焦/千克·℃）]。

有的同學(xué)這樣解，設(shè)末溫度為 t℃ ，根據(jù)熱平衡方程式有

（m水C水+m銅C銅）（t1-t）=m冰λ+m冰C水t

解得 t=-2.8℃，這結(jié)果顯然是不合理的。從數(shù)學(xué)的解答過程中是沒有錯誤的，原因出在實際物理過程中，水和小筒溫度降至0℃放出的全部熱量不至于使冰完全溶解，所以末狀態(tài)是冰水共存，末溫度應(yīng)為0℃。

四、某些概念在物理中與數(shù)學(xué)中含義不同

有些概念在物理中與數(shù)學(xué)中含義是不同的，應(yīng)用時必須加以區(qū)別。如“無窮大”“無限可分”。在物理中，“無限可分”不一定要永遠(yuǎn)分下去，“無窮大”也不一定要求很大。如勻速直線運(yùn)動是指“任意相等時間間隔內(nèi)，物體的位移都相等”的運(yùn)動，但實際上，并不要求把時間無限地分下去。對“任意相等時間間隔”應(yīng)理解為“在實驗誤差范圍內(nèi)，相等的時間間隔”便可以了。又如重物從高處落向地面時，地球是否也同時向重物靠近？對于這個問題，地球的質(zhì)量雖然不是無窮大，但與重物質(zhì)量相比較，二者相差很大很大，因此，可以把地球的質(zhì)量當(dāng)作無窮大來處理。從而認(rèn)為，地球并不向重物靠近。

五、物理的解不同于數(shù)學(xué)的解

在物理中，數(shù)學(xué)是處于從屬地位的，它的運(yùn)用受到物理實質(zhì)的制約。由物理問題導(dǎo)出的方程的解，數(shù)學(xué)意義上合理，物理意義上未必合理。物理問題的解受物理過程和條件的限制。

例如，有一個電池，電動勢是ξ=6伏特，內(nèi)阻 r=0.5 歐姆，實驗時要把它接在一電熱絲上，使其發(fā)出9瓦特的熱功率。試確定電熱絲的阻值應(yīng)是多少。

設(shè)電熱絲的電阻是R，由全電路歐姆定律可得電路中的電流強(qiáng)度I=ξ/（R+r），電熱絲發(fā)熱功率P=I2R，即P=ξ2R/（R+r）2，化簡后代入已知量得9R2-27R+2.25=0，解得R1=3（歐），R2=0.1（歐）。

以上兩個解對上面一元二次方程而言是合理的，而且把它們代入P=I2R公式中，確實也都等于9瓦（近似的）。但要注意，當(dāng)R=0.1歐時，內(nèi)阻的功率損耗是很大的，幾乎是電熱絲發(fā)熱功率的6倍。在這種情況下，電能的利用率就太低了，肯定要燒壞電源，事實上是不能用的。所以本題的結(jié)論應(yīng)該取阻值是3歐姆的電熱絲。

又例如，質(zhì)量為m的小球A，以水平速度v與靜止在光滑水平面的大小相同，質(zhì)量為3m的小球B發(fā)生碰撞，碰撞后小球A的動能損失了3/4，問小球B的速度多大？

由于碰撞的過程中的動量守恒和A的動能變化可列方程：

①

②

由①②聯(lián)立方程，解得兩組解：A組；B組。

如果僅從數(shù)學(xué)的角度來看，兩組答案都有意義。若從物理意義上分析，可知若選擇A組的結(jié)果，即B球以的速度在前面運(yùn)動，而A球卻以大于B球的速度也向前運(yùn)動，這樣必然要越過B球而前進(jìn)，顯然不合理，應(yīng)舍去A組答案。若選擇B組答案，則碰撞后兩球向相反方向運(yùn)動，這一組答案才是合理的。

六、不能用正負(fù)值比較大小

（一）矢量的正負(fù)表示方向，不表示大小

比較矢量的大小要看絕對值。比如電場中A點的電場強(qiáng)度 E=100N/C，B點的電場強(qiáng)度E=-200N/C，但不是說A點的電場強(qiáng)度比B點的電場強(qiáng)度大，應(yīng)該是A點的電場強(qiáng)度小于B點的電場強(qiáng)度（E的負(fù)號僅表示B點電場強(qiáng)度方向與規(guī)定的電場強(qiáng)度方向相反）。所有矢量的正負(fù)都表示方向而不表示大小。

（二）有點標(biāo)量的正負(fù)也不表示大小

有的標(biāo)量也有正負(fù)。標(biāo)量中有的正負(fù)表示大小，如溫度。但有的標(biāo)量的正負(fù)不表示大小，如功是標(biāo)量，功的正負(fù)既不表示功有方向也不表示功的數(shù)量的大小，既不能說“正功和負(fù)功方向相反”，也不能說“正功大于負(fù)功”，正功和負(fù)功只表示兩種不同的做功效果。力對物體做正功，說明物體在發(fā)生該段位移的過程中，該力是動力，使物體的動能增加。力對物體做負(fù)功，說明物體在發(fā)生該段位移的過程中該力是阻力，使物體的動能減小。磁通量是標(biāo)量，也有正負(fù)，其正負(fù)既不表示大小也不表示方向，僅表示磁感線穿入或者穿出某個面，也就是說計算磁通量時，“面”是有方向的。磁通量的正負(fù)雖然不表示大小，但是正負(fù)磁通量可以抵消，磁通量正負(fù)與電荷的正負(fù)和功的正負(fù)相似。

總之，物理學(xué)作為一門自然科學(xué)，既跟其他自然學(xué)科有密切的聯(lián)系，同時又是一門獨立的學(xué)科，有其自身的特殊規(guī)律。所以在應(yīng)用其他學(xué)科的知識尤其是用數(shù)學(xué)知識來分析物理問題的時候，注意概念的物理意義以及規(guī)律成立的條件，這樣才不至于用純粹的數(shù)學(xué)知識來解決物理問題。因此，我們在物理教學(xué)中要注重強(qiáng)化物理含義、物理內(nèi)涵、物理形成過程以及物理規(guī)律成立的條件的指導(dǎo)，這樣才能使學(xué)生在扎實的物理知識上，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識來解決物理問題，從而避免物理問題數(shù)學(xué)化的傾向。

【作者簡介】袁 才（1979— ），男，漢族，籍貫博白，中學(xué)一級教師，理士學(xué)位，現(xiàn)就職于玉林市博白縣第三高級中學(xué)。研究方向：高中物理教學(xué)。

（責(zé)編 盧建龍）