王宇帆

北京理工大學(xué)

雙指數(shù)跳擴(kuò)散模型下的交換期權(quán)定價(jià)

王宇帆

北京理工大學(xué)

本文研究了標(biāo)的資產(chǎn)服從雙指數(shù)跳擴(kuò)散的交換期權(quán)定價(jià)。首先，介紹了雙指數(shù)跳擴(kuò)散模型與交換期權(quán)；其次，通過Girsanov定理對(duì)交換期權(quán)定價(jià)公式進(jìn)行了測(cè)度變換；最后借助Hh函數(shù)的性質(zhì)給出了雙指數(shù)跳擴(kuò)散模型下的交換期權(quán)定價(jià)公式。

交換期權(quán)；雙指數(shù)跳擴(kuò)散模型；Girsanov定理

1.引言

期權(quán)定價(jià)理論是現(xiàn)代金融數(shù)學(xué)的核心問題之一，1973年由Fischer Black和Myron Scholes[1]提出了著名的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型，成為期權(quán)定價(jià)問題領(lǐng)域的基石，然而經(jīng)典的Black-Scholes模型有兩個(gè)主要缺陷：一是尖峰厚尾性質(zhì)和非對(duì)稱性質(zhì)，即在經(jīng)典B-S模型有著比正態(tài)分布更高的峰度和更厚的尾函數(shù)；二是“波動(dòng)率微笑”，經(jīng)典模型中隱含波動(dòng)率是一個(gè)常數(shù)，而實(shí)際情況卻是個(gè)類似于“微笑”形狀的曲線。

交換期權(quán)是一種特殊的奇異期權(quán)，期權(quán)的持有者可以在到期日用一種標(biāo)的資產(chǎn)換取另外一種標(biāo)的資產(chǎn)。本文借鑒Kou文中研究歐式期權(quán)定價(jià)的方法，運(yùn)用Girsanov定理和Hh函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)給出了雙指數(shù)跳擴(kuò)散模型下交換期權(quán)的數(shù)值解。

2.雙指數(shù)跳擴(kuò)散模型下的交換期權(quán)定價(jià)

2.1 雙指數(shù)跳擴(kuò)散模型

假設(shè)市場(chǎng)中有三個(gè)可連續(xù)交易的資產(chǎn)，一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)B和兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)S1和S2，在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度Q下， ，假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)S1和S2在t時(shí)刻的價(jià)值滿足：

其中σ1和σ2分別表示兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在無跳躍發(fā)生時(shí)波動(dòng)率，W1和W2為Q下的布朗運(yùn)動(dòng)滿足 ，N1(t)和N2(t)分別是參數(shù)為λ1和λ2的泊松過程且相互獨(dú)立，Vi是一系列非負(fù)的獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，，令 有

p＞0表示資產(chǎn)價(jià)格向上跳躍的概率，q＞0表示資產(chǎn)價(jià)格向下跳躍的概率，因此有p+q=1。假設(shè)所有的隨機(jī)變量都是相互獨(dú)立的。

用公式可以解得：

則由由此可知在初始時(shí)刻的期權(quán)價(jià)格應(yīng)該滿足：

接下來分別計(jì)算前后兩項(xiàng)。

這樣就有

于是我們考慮Q測(cè)度下 的概率。

2.2 Hh函數(shù)與相關(guān)引理[7]

引理2.1對(duì)于任意的 ，有

其中概率Pn,k與Qn,k分別為：

其中

這里ξ+與ξ-分別是參數(shù)為η1和η2的指數(shù)隨機(jī)變量

引理2.2

假設(shè){ξ1,ξ2,…}是一列參數(shù)為η＞0的獨(dú)立同分布指數(shù)隨機(jī)變量，Z是服從N(0,σ2)正態(tài)隨機(jī)變量，則對(duì)于所有的有

(1)概率密度函數(shù)為(2)分布函數(shù)為

這兩個(gè)引理將雙指數(shù)隨機(jī)變量轉(zhuǎn)換為了兩族單指數(shù)隨機(jī)變量的和的概率

2.3 交換期權(quán)定價(jià)

的泊松過程，N2(t)的跳頻度不變，在Q下是獨(dú)立

同分布的隨機(jī)變量，概率密度函數(shù)為

其中

所以在Q測(cè)度下有

計(jì)算可得

即有

其中

由引理2.1可得，

這里ξ+與ξ-分別是參數(shù)為η1和η2的指數(shù)隨機(jī)變量。

所以可以計(jì)算得

綜合上述可得到

同理考慮

可得

所以可以得到

定理3.1雙指數(shù)跳擴(kuò)散下的交換期權(quán)的定價(jià)為

其中

3.結(jié)論

本文研究了雙指數(shù)跳擴(kuò)散下的交換期權(quán)定價(jià)，并運(yùn)用Hh函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)與引理和Girsanov定理給出了顯示解，本文中考慮的重點(diǎn)在于應(yīng)用這些性質(zhì)與引理解決交換期權(quán)定價(jià)，所以僅考慮風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率和波動(dòng)率為常數(shù)的情況。今后還可以進(jìn)一步改進(jìn)這個(gè)模型與數(shù)值解，例如考慮期望收益率和波動(dòng)率依賴市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)狀態(tài)，其中經(jīng)濟(jì)狀態(tài)可以用帶切換的隨機(jī)微分方程來表示。

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[2] Merton R C. Option pricing when underlying stock returns are discontinuous ☆[J]. Working Papers， 1975， 3(1–2)：125-144.

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