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        高中數(shù)學(xué)軌跡方程解法

        2016-03-10 02:27:31代紅英
        中國校外教育 2016年27期
        關(guān)鍵詞:所求動點斜率

        ◆代紅英

        (西安市第四十四中學(xué))

        高中數(shù)學(xué)軌跡方程解法

        ◆代紅英

        (西安市第四十四中學(xué))

        高中數(shù)學(xué) 軌跡方程 參數(shù)法

        求平面上動點的軌跡方程不僅是教學(xué)大綱要求掌握的主要內(nèi)容之一,也是高考考查的重點內(nèi)容之一。軌跡即點的集合,而方程為實數(shù)對的集合。求某種條件的動點軌跡的方程,其實質(zhì)就是利用已知的點的坐標(biāo)間的特性去尋求變量之間關(guān)系。因此,求軌跡方程的基本指導(dǎo)思想,就是充分利用題設(shè)中的幾何條件,通過“解析化”將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)式。由于動點運動規(guī)律給出的條件千差萬別,因此求動點軌跡方程的方法也多種多樣,這里介紹幾種常用的方法。

        一、直接法

        如果動點滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量關(guān)系,或這些幾何條件簡單明了且易于表達,我們只需把這種關(guān)系“翻譯”成含X,Y的等式就得到曲線的軌跡方程。這種方法稱為直接法。

        當(dāng)o

        當(dāng)p=1時,所求軌跡是拋物線在y軸右側(cè)部分;

        當(dāng)p1時,所求軌跡是橢圓在y軸右側(cè)部分;

        注:求軌跡的步驟:1)建立適當(dāng)坐標(biāo)系,設(shè)點的坐標(biāo);2)根據(jù)條件列出關(guān)系;3)轉(zhuǎn)化為方程F(x,y)=0;4)整理化簡得軌跡方程;5)必要時進行討論。

        二、定義法

        若動點的軌跡的條件滿足某一基本軌跡的定義(如圓、橢圓、雙曲線、拋物線),則可以根據(jù)定義直接求軌跡方程。

        三、參數(shù)法

        有時求動點應(yīng)滿足的幾何條件不易的出,也無明顯的相關(guān)點,但卻較易發(fā)現(xiàn)這個動點的運動常常受到另一個變量(角度、斜率、比值、截距或時間)的制約,即動點的坐標(biāo)(x,y)中的x,y分別隨另一變量的變化而變化,我們可以這個變量為參數(shù),建立根據(jù)的參數(shù)方程。這種方法叫參數(shù)法。如果需要普通方程,只要消去參數(shù)即可。在求軌跡方程中,參數(shù)法的應(yīng)用較為廣泛,若參數(shù)選擇得當(dāng),??墒箚栴}獲得較為簡捷的解法。

        注:參數(shù)法求動點軌跡方程的步驟:(1)建立坐標(biāo)系,設(shè)動點P(x,y);(2)根據(jù)軌跡的條件,選取適當(dāng)?shù)膮?shù);(3)確定動點坐標(biāo)中的x,y與參數(shù)的關(guān)系式,即建立參數(shù)方程;(4)消去參數(shù)得到普通方程;(5)討論;其中確定參數(shù)是關(guān)鍵。選擇恰當(dāng)?shù)貐?shù)應(yīng)該是便于建立動點的參數(shù)方程,且容易消去參數(shù)。另外,但動點隨著動直線繞某點旋轉(zhuǎn)時,選擇斜率k為參數(shù)比較方便。

        四、交軌法

        求軌跡時,有時會出現(xiàn)要求兩動曲線交點的軌跡問題。可通過解方程組得出交點含參數(shù)的坐標(biāo),再消去參數(shù)得出所求軌跡的方程,此種方法叫交軌法。

        例4:已知過拋物線=4x的焦點F的直線交拋物線于AB兩點過原點O作OM⊥AB垂足為M ,求點M軌跡方程。

        解:

        a.當(dāng)直線斜率不存在時,直線方程為x=1.此時M點坐標(biāo)為(1,0)

        b.當(dāng)直線斜率存在時,設(shè)直線AB的方程y=k(x-1),則直線OM的方程可寫成y=-x/k;兩式相乘消去k,得=-x(x-1),即點M的軌跡方程為將M(1,0)代入知點M(1,0)在該軌跡上。

        ∴ M的軌跡方程為:

        注:用交軌法求動點的軌跡方程時,不一定非要求出交點的坐標(biāo),只要能消去參數(shù),得出p點坐標(biāo)之間的關(guān)系即可。

        求軌跡方程應(yīng)注意的幾個問題:

        1.應(yīng)多層次、全方位地分析動點所滿足的全部條件,特別應(yīng)注意動點受到的隱含的約束條件,防止擴大或縮小點集的范圍。

        2.方程化簡過程中,一定要注意同解變形,對非同解變形,要注意判別x,y的存在范圍并予以說明,以確保軌跡不重不漏;

        3.對實際問題,要注意實際問題對動點軌跡的限制;

        4.要注意區(qū)別”軌跡“和”軌跡方程“是兩個不同的概念。若求動點的軌跡,不僅要寫出動點的軌跡方程,還要說明軌跡的名稱形狀特征及位置特點等。

        另外,還有相關(guān)點代入法,本文不再詳述。

        [1]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗教科書·數(shù)學(xué)(選修2-1).北京師范大學(xué)出版社,2008.

        [2]高中數(shù)學(xué)解題方法.湖北教育出版社,1995.

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