宋述剛,鄒 健,李向軍

(長江大學 信息與數學學院，湖北 荊州 434023)

數學形式美的美學特征研究

宋述剛,鄒 健,李向軍

(長江大學 信息與數學學院，湖北 荊州 434023)

運用哲學的觀點與美學原理，分析與闡述了數學的美學特征，包括數學的積累性，抽象性，工具性，藝術性等。數學美分為形式美與內在美。本文對數學的形式美進行了較為系統的論述。數學的形式美主要有符號美，對稱美，奇異美。符號美表現在簡明性，科學性，實用性；對稱美表現為幾何(圖形)的對稱，公式與定理的對稱，思想方法的對稱；奇異美包含數(式)的奇，形的奇與理論的奇。數學的形式美在自然科學、文學藝術、工藝建筑等領域有著十分廣泛的應用。

數學美;形式美;內在美

美，是一個歷史的、哲學的、動態(tài)的概念，至今還沒有一個統一的標準的定義。這是因為：第一，美的事物與現象具有無限的多樣性與差異性，如引人入勝的自然景色，賞心悅目的藝術圖畫，美妙動聽的音樂樂章，寓意深刻的詩文小說等都是美的，但難以找出它們的共性；第二，人們對美的感受與評判具有很大的差異性、易變性、時效性、相對性，如不同的民族、不同的地域、不同的性別與年齡，不同的時間對同樣事物美的認識，都可能具有很大的不同。這些現象容易掩蓋美的普遍性與客觀性。事實上，美既具有主觀性，又具有客觀性。在人類文明歷史發(fā)展過程中，形成了從物質世界尋找美的唯物主義美學與從精神世界尋找美的唯心主義美學以及馬克思主義辯證唯物主義美學。

在中國，古人以羊大(肥)為美或羊人為美，反映了古人對美的基本要求，即為口腹的物質之需與祭祀、慶典的精神之需的極大滿足。今天，在人們的一般觀念中，所謂美，即為符合自然法則與社會主流的事物屬性，包括秩序、色彩、平衡、結構、觀念、流行等。能給人帶來物質與精神的愉悅與享受。

按照辯證唯物主義的觀點，勞動創(chuàng)造了美。美是人的自由的表現，是人與自然、個體與社會相統一的表現。美是人在社會實踐中，通過克服各種困難與障礙，把握客觀世界的規(guī)律，并運用于改造世界之中，實現從必然王國到自由王國的飛躍。其中的自由，不僅限于現實生活中個人選擇或決定的權利，而是人們對客觀必然性的認識與支配，達到充分滿足人的物質與精神的需求，獲得身心的愉悅與享受。

數學正是人類對客觀世界數與形的必然性的理性認識，她能廣泛運用于人類的社會生產實踐。作為科學的皇后，她對人類文明的發(fā)展與進步，產生了久遠而深刻的促進與影響。其中無疑蘊含了十分豐富的美學。關于數學美學，歷史上曾有許多哲學家與科學家作出過論述。例如，古希臘哲學家、數學家普洛克拉斯(Proclus)曾斷言：“哪里有數，哪里就有美?！币獯罄乃噺团d運動的先驅開普勒認為：“數學是這個世界之美的原型?！爆F代英國著名哲學家羅素(B.Russell,1872-1970年)說：“數學不僅擁有真理，而且擁有至高無上的美——一種冷峻嚴肅的美，即像是一尊雕塑……這種美沒有繪畫和音樂那樣華麗的裝飾，它可以純潔到崇高的程度，能夠達到嚴格的只有最偉大的藝術才能顯示的完美境界。”而在當代，國內外已有許多學者作了相當的研究與論述，但大都包含在有關數學哲學、數學文化的著作之中。作者認為，目前仍未形成系統的數學美學理論。

首先，數學為什么是美的呢？這是由于數學這門學科的特征所確定。首先，數學具有積累性。在數學的發(fā)展歷史上，每一個新理論都是在繼承和發(fā)展原有理論的基礎之上建立起來的。如數系的演進，幾何學的發(fā)展等等。不像天文學中“日心說”是對“地心說”的否定，化學中燃燒現象的“氧化說”是對“燃素說”的否定。數學的積累性使得她已成長為一棵分支眾多理論豐富的壯麗、完美的參天大樹。其次，數學具有抽象性。數學把客觀世界中的數量及其關系抽象為數(系)，函數，算子等，將客觀世界的形抽象為點、線、面、體，數與形相聯系進而演繹成各種模式、空間，產生眾多描述客觀世界規(guī)律的公式與定理。數學的抽象性還表現為借助特有的符號語言，使其理論呈現出簡明性、普遍性、深刻性、優(yōu)美性。第三，數學具有工具性。毫無疑問數學不僅僅是人們生活的工具，數學更是科學的鑰匙。當今，運用數學的程度已成為衡量一門學科是否成熟的標志。按照美學原理，人類生活的世界是由欲望、工具、智慧所構成的，而工具的優(yōu)劣與運用，直接影響人類的生活品質。將數學為我所用，滿足人們物質與精神生活的需要，實現人的自由，就是美的享受。第四，數學具有藝術性。藝術是人們師法自然與社會，進而描述、表現、升華自然與社會的一種創(chuàng)造性的活動。數學活動無疑具有這種特性。由數學所描述的一些美妙的比例，運用于音樂，繪畫，甚至文學創(chuàng)作，給人產生美感。例如黃金分割比首先被意大利著名畫家、數學家達芬奇運用于建筑與繪畫藝術，給我們留下了許多不朽的作品。而18、19世紀興起的畫法幾何與射影幾何，正是由于西洋繪畫的需要而建立起來的。反過來，她們又指導著現代的藝術實踐。此外，數學獨有的邏輯形式與結構，也達到了一種完美的境界。

其次，數學美表現在哪些方面呢？大千世界中，美的事物呈現出豐富多彩的形式，可以按照不同的方式方法進行分類。按照美學原理，美可以分為形式美(或稱外在美)與內在美。本文瑾對數學的形式美作一些初步的探討。

一、數學的形式美

所謂形式美，是可以從事物的外在屬性例如聲音、顏色、尺度等表現出來的美。這種美往往可以通過人的一般感知即可認識與把握。數學的形式美主要包括符號美、對稱美、奇異美。

1.符號美

所謂符號，是人們表達事物與記錄傳遞信息的工具與手段。不同于自然語言，數學語言主要是符號語言，她經歷了漫長的發(fā)展歷程。以數為例，在人類社會的早期，人們通過原始繪畫、結繩、刻痕等方式表達數量，之后產生了數的文字。早期的象形文字就有了數字符號，例如古埃及的象形數字，巴比倫的楔形數字，中國的甲骨文與金文數字等。中世紀印度人發(fā)明了現稱阿拉伯數字的符號。到了近代出現了字母表示數以及系列表示數學系統、數學運算、數學關系的符號?，F在，數學符號系統還在不斷發(fā)展完善之中。那么，數學符號美在哪里呢？

數學中的公式與定理是對客觀規(guī)律的定量描述，它們一般能用簡明的數學符號表達出來。例如，被認為最美的數學等式

em+1=0

將數學中的幾個重要常數0,1,π,i,e有機地聯系在一起了。這些常數在數學的發(fā)展歷史中，都曾經起過十分重要的作用。

此外，物理學、化學等自然科學與工程技術中的大量重要公式、定理、規(guī)律都是通過簡明的數學符號表達出來的。這方面的例子不勝枚舉。

其次，數學符號具有合理性。一般的，一些重要數學符號首先由數學大師所使用，之后沿襲并流行開來。這些符號的確都有一定的淵源，往往與其概念的拉丁文、希臘文、英文等有關。例如，積分號∫由德國著名哲學家、數學家萊布尼茲首先使用，它是由求和的拉丁文sum的第一個字母S變形而來的，這是因為積分的本意就是求和(一種連續(xù)求和)。而求和號(離散和)∑ 、函數符號f(x)等由瑞士數學家歐拉所確定，這是因為函數的英文function的第一個字母是f的緣故。幾個初等函數的符號也是這樣。此外，幾何方面常常使用一些象形數學符號。總之，數學符號雖是人工符號，但她不是隨意而為，而是具有來源，合乎情理。

第三，數學符號具有實用性,是實現高效率的工具與手段。正是由于上述的簡明性與合理性，數學符號具有廣泛的實用性。中國古代哲學家莊子說“天下之難作于易，天下之大作于細?！睌祵W就是一門以簡馭繁的科學。由于使用了笛卡爾的坐標，大量復雜的幾何問題轉化為了較為簡明的代數問題迎刃而解；由于皮納爾發(fā)明了對數，簡化了大量天文數據的計算。法國著名科學家拉普拉斯曾說“對數可以宿短計算時間，在時效上等于把天文學家的壽命延長了許多倍。”

當今，數學語言已成為科學的語言。在自然科學、工程技術、管理科學、金融理論等領域，數學以及數學符號起著關鍵的作用。特別是伴隨著電子計算機的不斷發(fā)展與廣泛應用，編程與運算都離不開簡明、有效的數學符號。在當今的科學技術中，數學與數學符號正顯示著強大的生命力。

2.對稱美

對稱是客觀世界普遍存在的現象。例如，我們人體基本上就是關于從上到下的一條中心線(或一個面)左右對稱的。生物界許多動物、植物也具有相應的對稱性，在宇宙世界中，小到基本粒子的運動，大到星體的運行，其形體與運動軌道都具有某種對稱性。在生物的繁衍與社會的演化中，也存在某些對稱性。這應該是大自然的鬼斧神工按照美的原則逐步進化而來的。

對稱也是常用的藝術表現方法與手段。在繪畫、書法、音樂等純粹藝術與建筑、裝潢設計、剪紙等實用藝術領域，大量運用對稱的形式或圖式。這種自然的與人工的對稱物給我們帶來賞心悅目的美感。

數學研究客觀世界的空間形式與數量關系，研究現實中的各種模式。必然要描述大量的對稱性，當然存在豐富的對稱美。那么，數學的對稱美包含哪幾個方面呢？

首先，數學中有形的對稱。包括關于點的對稱，線(或稱軸)的對稱和面的對稱。例如，矩形，等邊三角形，橢圓等關于中心點對稱；正弦曲線，拋物線，雙曲線，矩形等關于軸線對稱；長方體，橢球體等關于面對稱。有些幾何體同時具有上述對稱性。這些具有對稱性的幾何形體顯得勻稱、平衡、和諧，給人美感。圖1給出了兩個例子， 四葉玫瑰線關于極點對稱，單頁雙曲面關于坐標面、坐標軸、坐標原點對稱。

圖1 (1)四葉玫瑰線

圖1 (2)單頁雙曲面

其次，數學中有數或式的對稱。例如，一些神奇的數字寶塔就具有很好的對稱性，如圖所示

又如描述二項式定理系數變化規(guī)律的楊輝三角，西方稱為帕斯卡三角，其數字圖如下

其優(yōu)美性與規(guī)律性有機結合起來了。此外數學中的一些概念，表達式也具有一定的對稱性。例如對稱多項式，對稱函數，對稱群，拉普拉斯算子等，它們刻畫了現實世界中一類特殊的具有對稱美的數量關系或數學系統。

最后，數學中還有思想方法的對稱。例如在二次函數y=ax2+bx+c及其圖像的討論中，a>0的情形與a<0的情形是對稱的，因此，當我們掌握了前者之后，后者便一目了然了。又如在射影幾何中，點與線經常處于對稱的地位，一個關于“點”、“直線”的定理，作一定交換之后，可以得到一個關于“直線”、“點”的對偶定理。例如因為有巴斯卡定理：橢圓的任意內接六邊形，其三組對邊的交線共線。所以對稱的有布良雄定理：橢圓的任意外切六邊形，其三組對頂點的連線共點。這一思想方法在射影幾何中稱為“對偶原理”。數學思想方法的某些對稱性，可以簡化我們的學習研究，帶給我們輕松愉悅之美。

3.奇異美

所謂奇異美，是指奇怪、異常、突發(fā)，出乎意料之外的事物，給人帶來驚訝、興奮、激動的感覺，令人身心愉悅，產生美感。大自然進化的鬼斧神工，人類社會發(fā)展的奇象異態(tài)，演繹多少具有美感的奇異事物，構成了富含奇異之美的大千世界。哲學家培根指出：“沒有一樣極美的東西不是在調和中存在著某種奇異。”對于未知世界的好奇心促使人類對事物奇異美的渴望與追求。

數學是對現實世界的精確描寫，必然包含豐富的奇異之美。正如數學的對稱美一樣，數學的奇異美也可分為數(式)與形及思想方法這幾個方面。

關于形的奇，幾何中許多圖形都有很多奇妙的性質。例如二次曲線中的圓被古希臘人認為是最美的平面曲線。而一般的橢圓則更為神奇。早在17世紀上半葉，德國天文學家、數學家開普勒就公布了行星運動三大定律，第一條即為：行星運動的軌道是橢圓，太陽位于該橢圓的一個焦點上?，F代物理學研究表明，在原子中，電子圍繞質子運轉的軌道也是(近似)橢圓。在幾何學中，橢圓有著豐富有趣的性質定量。如射影幾何中相互對偶的巴斯卡定理與布良雄定理。又如現代分形幾何、混沌理論中的一些奇特曲線、曲面，無不使人覺得匪夷所思，奇妙無比。

數學的奇異美是數學發(fā)展的重要動力之一。例如，在數系的發(fā)展過程中，人們剛開始僅認識離散的有理數，然而幾何量則是連續(xù)的，古希臘畢達哥拉斯成員發(fā)現：單位正方形對角線與邊長不可通約，即對角線不是有理量。無理數或不可通約幾何量的發(fā)現嚴重觸犯了畢達哥拉斯學派的信條，沖擊了當時希臘人的普遍見解，這種奇異性的結果導致了第一次數學危機。隨著數系的擴張，危機消除了，數學得到了新的發(fā)展。

二、結語

數學的形式美在自然科學與工程技術、文學藝術、建筑、工藝等方面有著廣泛的應用。

首先，數學有著廣泛的應用，數學語言現已成為科學的語言。憑借數學的符號美，自然科學與工程技術才可以簡明地表達普遍的、深刻的原理、法則、規(guī)律。這種數學表達，不僅成就科學之美，而且還可促進科學的發(fā)展。例如，麥克斯韋方程組，分為積分形式：

與微分形式：

這組公式完美的統一了電磁場理論，它融合了電與磁的麥克斯韋定理、法拉第定律及安培定理，成為近現代電磁學理論的基礎。同時，麥克斯韋正是由這組公式預言了電磁波的存在，對近現代物理學及相關工程技術影響巨大。

又如簡明的薛定諤方程：

卻描述了微觀世界基本粒子的變化規(guī)律，它是物理學、化學中應用最廣泛的公式。

其次， 數學的對稱美、奇異美在自然科學，特別是建筑、工藝美術中的應用廣泛，更是不勝枚舉。

數學還有著更為深刻的內在美，我們將另文討論。數學的形式美與內在美相互表現、相互促進與融合，呈現出絢麗的科學之美。

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2095-4654(2016)12-0003-05

2016-10-25 基金項目:長江大學教學研究項目(JY2014007)

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