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        圖形問題中的數(shù)學思想

        2016-03-03 21:24:56朱志偉
        初中生世界·七年級 2016年2期
        關鍵詞:正方體題意線段

        《義務教育數(shù)學課程標準(2011版)》明確了將“數(shù)學的基本思想”作為“四基”目標之一,進一步明確了數(shù)學思想在數(shù)學教育中的地位.數(shù)學思想是數(shù)學的靈魂和精髓,在學習“平面圖形的認識(一)”這一章時,同學們了解、掌握和運用相關的數(shù)學思想方法,有利于提高數(shù)學學習的效率,開發(fā)智力,培養(yǎng)數(shù)學能力,培養(yǎng)解決實際問題的能力.下面通過舉例予以說明.

        一、 轉化思想

        有些數(shù)學題目,初看覺得無從下手,但若能轉化解題思路,問題便能順利得到解決.

        例1 一只蜘蛛在一個正方體的頂點A處,一只蚊子在正方體的頂點B處,如圖1所示,現(xiàn)在蜘蛛想盡快捉到這只蚊子,那么它所走的最短路線是怎樣的,在圖上畫出來.

        【簡析】將正方體展開,A、B的位置如圖2所示,連接AB,根據(jù)“兩點之間,線段最短”,可知線段AB就是符合條件的最短路線,在正方體上這樣的最短路線不止一條.

        二、 方程思想

        在處理有關角的大小、線段大小計算時,借助方程來求出未知量是一種重要策略.

        例2 如果一個角的補角是150°,求這個角的余角.

        【簡析】若設這個角的大小為x,則這個角的余角是90°-x,于是由這個角的補角是150°可列出方程求解.

        解:設這個角的大小為x,則這個角的余角是90°-x,根據(jù)題意,得

        180°-x=150°,解得:x=30°,

        即90°-x=60°.

        故這個角的余角是60°.

        例3 已知線段AC∶AB∶BC=3∶5∶7,且AC+AB=16 cm,求線段BC的長.

        【簡析】在本題中,可設AC=3x cm,則AB=5x cm,BC=7x cm.因為AC+AB=16 cm,所以3x+5x=16 cm,解得x=2,因此BC=7x=14 cm.

        例4 如圖3,直線AB、CD相交于點O,OE平分∠BOC,OF⊥CD,若∠EOB∶∠BOD=3∶2,求∠AOF的度數(shù).

        【簡析】在本題中,可設∠EOB=3x,∠BOD=2x,因為OE平分∠BOC,所以∠EOC=3x,因直線CD,則3x+2x+3x=180°,解得x=22.5°,所以∠BOD=2x=45°.因為OF⊥CD,直線AB,所以∠AOF=45°.

        三、 數(shù)形結合思想

        數(shù)形結合,由數(shù)思形,以形思數(shù),使某些抽象的數(shù)學問題直觀化、生動化、簡單化,變抽象思維為形象思維,有助于同學們把握數(shù)學問題的本質.

        例5 已知線段AB,在BA的延長線上取一點C,使CA=3AB.

        (1) 線段CB是線段AB的幾倍?

        (2) 線段AC是線段CB的幾分之幾?

        【簡析】本題的呈現(xiàn)方式是圖形式,而設問內容卻是一個數(shù)量問題.如果同學們不畫出圖形就不容易發(fā)現(xiàn)其數(shù)量關系,而一旦將畫圖視為自覺行為,其數(shù)量關系就會一目了然.這正是數(shù)形結合思想的具體體現(xiàn).

        參考答案:(1) 4倍;(2) .

        四、 分類討論思想

        物以類聚,人以群分,數(shù)學中的問題也是一樣,在許多情況下,通過分類既可以避免出錯,又可以訓練我們的思維.

        例6 在一條直線上有A、B、C三點,M為線段AB的中點,N為線段BC的中點,若AB=3,BC=2,試求線段MN的長.

        【簡析】根據(jù)題意只能確定A、B、C三點在同一條直線上,但不能確定它們的順序,因此要分情況討論.

        解:(1) 當點C在線段AB外時,如圖4所示,

        MN=(AB+BC)=(3+2)=2.5;

        (2) 當點C在線段AB上時,如圖5所示,

        MN=(AB-BC)=(3-2)=0.5.

        例7 已知∠AOB=100°,∠BOC=60°,OM平分∠AOB,ON平分∠BOC,求∠MON的度數(shù).

        【簡析】根據(jù)題意∠AOB與∠BOC有一公共邊OB,邊OA與邊OC的位置不能確定,因此要分情況討論.

        解:(1) 當邊OC在∠AOB外時,如圖6所示,

        ∠MON=(∠AOB+∠BOC)

        =(100°+60°)=80°.

        (2) 當邊OC在∠AOB內時,如圖7所示,

        ∠MON=(∠AOB-∠BOC)

        =(100°-60°)=20°.

        例8 有四個點A、B、C、D,經(jīng)過其中每兩個點畫直線,可以畫出幾條?

        【簡析】條件中沒有明確4個點或其中3個點是否在同一條直線上,因此應分情況進行討論.

        解:(1) 當A、B、C、D四個點在同一條直線上時,只可以畫出1條直線,如圖8所示.

        [圖8]

        (2) 當A、B、C、D四個點中有3個點在同一條直線上時,可以畫出4條直線,如圖9所示.

        [圖9]

        (3) 當A、B、C、D四個點中任意3個點都不在同一條直線上時,可以畫出6條直線,如圖10所示.

        [圖10]

        例9 AB、AC是同一條直線上的兩條線段,M在AB上且AM=AB,N在AC上且AN=AC,線段BC和MN的長度有什么關系?請說明理由.

        【簡析】根據(jù)題意可知,線段AB、AC是同一條直線上的兩條線段,但是線段AB、AC的位置不確定,也就是說A、B、C三點的位置不確定,因此應分B、C在A點的同側和B、C在A點的兩側兩種情況討論.

        解:BC=3MN,理由如下:

        (1) 當B、C在A點同側時,如圖11所示,

        MN=AM-AN=AB-AC

        =(AB-AC)=BC,

        即BC=3MN.

        [圖11]

        (1) 當B、C在A點兩側時,如圖12所示,

        MN=AM+AN=AB+AC

        =(AB+AC)=BC,

        即BC=3MN.

        [圖12]

        因此線段BC的長度是MN的3倍.

        以上介紹了4種常見的數(shù)學思想方法,數(shù)學思想方法還有很多,限于篇幅,這里不再一一贅述,但需要提醒同學們的是,數(shù)學思想方法不是靠老師灌輸?shù)模怯勺约翰粩喾此?、體悟出來的,脫離了問題來談數(shù)學思想方法是毫無意義的.另外,各種思想方法并不是相互孤立地發(fā)揮作用,有時需要多種思想方法共同起作用才能解決問題.筆者認為,從初一開始就注重數(shù)學思想方法的學習,將為今后的學習打下堅實的基礎,從而受益終生.

        (作者單位:江蘇省吳江區(qū)實驗中學)

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