《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)》明確了將“數(shù)學(xué)的基本思想”作為“四基”目標(biāo)之一,進(jìn)一步明確了數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)教育中的地位.數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂和精髓,在學(xué)習(xí)“平面圖形的認(rèn)識(shí)(一)”這一章時(shí),同學(xué)們了解、掌握和運(yùn)用相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法,有利于提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率,開發(fā)智力,培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力,培養(yǎng)解決實(shí)際問題的能力.下面通過舉例予以說明.
一、 轉(zhuǎn)化思想
有些數(shù)學(xué)題目,初看覺得無從下手,但若能轉(zhuǎn)化解題思路,問題便能順利得到解決.
例1 一只蜘蛛在一個(gè)正方體的頂點(diǎn)A處,一只蚊子在正方體的頂點(diǎn)B處,如圖1所示,現(xiàn)在蜘蛛想盡快捉到這只蚊子,那么它所走的最短路線是怎樣的,在圖上畫出來.
【簡(jiǎn)析】將正方體展開,A、B的位置如圖2所示,連接AB,根據(jù)“兩點(diǎn)之間,線段最短”,可知線段AB就是符合條件的最短路線,在正方體上這樣的最短路線不止一條.
二、 方程思想
在處理有關(guān)角的大小、線段大小計(jì)算時(shí),借助方程來求出未知量是一種重要策略.
例2 如果一個(gè)角的補(bǔ)角是150°,求這個(gè)角的余角.
【簡(jiǎn)析】若設(shè)這個(gè)角的大小為x,則這個(gè)角的余角是90°-x,于是由這個(gè)角的補(bǔ)角是150°可列出方程求解.
解:設(shè)這個(gè)角的大小為x,則這個(gè)角的余角是90°-x,根據(jù)題意,得
180°-x=150°,解得:x=30°,
即90°-x=60°.
故這個(gè)角的余角是60°.
例3 已知線段AC∶AB∶BC=3∶5∶7,且AC+AB=16 cm,求線段BC的長(zhǎng).
【簡(jiǎn)析】在本題中,可設(shè)AC=3x cm,則AB=5x cm,BC=7x cm.因?yàn)锳C+AB=16 cm,所以3x+5x=16 cm,解得x=2,因此BC=7x=14 cm.
例4 如圖3,直線AB、CD相交于點(diǎn)O,OE平分∠BOC,OF⊥CD,若∠EOB∶∠BOD=3∶2,求∠AOF的度數(shù).
【簡(jiǎn)析】在本題中,可設(shè)∠EOB=3x,∠BOD=2x,因?yàn)镺E平分∠BOC,所以∠EOC=3x,因直線CD,則3x+2x+3x=180°,解得x=22.5°,所以∠BOD=2x=45°.因?yàn)镺F⊥CD,直線AB,所以∠AOF=45°.
三、 數(shù)形結(jié)合思想
數(shù)形結(jié)合,由數(shù)思形,以形思數(shù),使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動(dòng)化、簡(jiǎn)單化,變抽象思維為形象思維,有助于同學(xué)們把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì).
例5 已知線段AB,在BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)C,使CA=3AB.
(1) 線段CB是線段AB的幾倍?
(2) 線段AC是線段CB的幾分之幾?
【簡(jiǎn)析】本題的呈現(xiàn)方式是圖形式,而設(shè)問內(nèi)容卻是一個(gè)數(shù)量問題.如果同學(xué)們不畫出圖形就不容易發(fā)現(xiàn)其數(shù)量關(guān)系,而一旦將畫圖視為自覺行為,其數(shù)量關(guān)系就會(huì)一目了然.這正是數(shù)形結(jié)合思想的具體體現(xiàn).
參考答案:(1) 4倍;(2) .
四、 分類討論思想
物以類聚,人以群分,數(shù)學(xué)中的問題也是一樣,在許多情況下,通過分類既可以避免出錯(cuò),又可以訓(xùn)練我們的思維.
例6 在一條直線上有A、B、C三點(diǎn),M為線段AB的中點(diǎn),N為線段BC的中點(diǎn),若AB=3,BC=2,試求線段MN的長(zhǎng).
【簡(jiǎn)析】根據(jù)題意只能確定A、B、C三點(diǎn)在同一條直線上,但不能確定它們的順序,因此要分情況討論.
解:(1) 當(dāng)點(diǎn)C在線段AB外時(shí),如圖4所示,
MN=(AB+BC)=(3+2)=2.5;
(2) 當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí),如圖5所示,
MN=(AB-BC)=(3-2)=0.5.
例7 已知∠AOB=100°,∠BOC=60°,OM平分∠AOB,ON平分∠BOC,求∠MON的度數(shù).
【簡(jiǎn)析】根據(jù)題意∠AOB與∠BOC有一公共邊OB,邊OA與邊OC的位置不能確定,因此要分情況討論.
解:(1) 當(dāng)邊OC在∠AOB外時(shí),如圖6所示,
∠MON=(∠AOB+∠BOC)
=(100°+60°)=80°.
(2) 當(dāng)邊OC在∠AOB內(nèi)時(shí),如圖7所示,
∠MON=(∠AOB-∠BOC)
=(100°-60°)=20°.
例8 有四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D,經(jīng)過其中每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)畫直線,可以畫出幾條?
【簡(jiǎn)析】條件中沒有明確4個(gè)點(diǎn)或其中3個(gè)點(diǎn)是否在同一條直線上,因此應(yīng)分情況進(jìn)行討論.
解:(1) 當(dāng)A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)在同一條直線上時(shí),只可以畫出1條直線,如圖8所示.
(2) 當(dāng)A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)中有3個(gè)點(diǎn)在同一條直線上時(shí),可以畫出4條直線,如圖9所示.
(3) 當(dāng)A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)中任意3個(gè)點(diǎn)都不在同一條直線上時(shí),可以畫出6條直線,如圖10所示.
例9 AB、AC是同一條直線上的兩條線段,M在AB上且AM=AB,N在AC上且AN=AC,線段BC和MN的長(zhǎng)度有什么關(guān)系?請(qǐng)說明理由.
【簡(jiǎn)析】根據(jù)題意可知,線段AB、AC是同一條直線上的兩條線段,但是線段AB、AC的位置不確定,也就是說A、B、C三點(diǎn)的位置不確定,因此應(yīng)分B、C在A點(diǎn)的同側(cè)和B、C在A點(diǎn)的兩側(cè)兩種情況討論.
解:BC=3MN,理由如下:
(1) 當(dāng)B、C在A點(diǎn)同側(cè)時(shí),如圖11所示,
MN=AM-AN=AB-AC
=(AB-AC)=BC,
即BC=3MN.
(1) 當(dāng)B、C在A點(diǎn)兩側(cè)時(shí),如圖12所示,
MN=AM+AN=AB+AC
=(AB+AC)=BC,
即BC=3MN.
因此線段BC的長(zhǎng)度是MN的3倍.
以上介紹了4種常見的數(shù)學(xué)思想方法,數(shù)學(xué)思想方法還有很多,限于篇幅,這里不再一一贅述,但需要提醒同學(xué)們的是,數(shù)學(xué)思想方法不是靠老師灌輸?shù)?,而是由自己不斷反思、體悟出來的,脫離了問題來談數(shù)學(xué)思想方法是毫無意義的.另外,各種思想方法并不是相互孤立地發(fā)揮作用,有時(shí)需要多種思想方法共同起作用才能解決問題.筆者認(rèn)為,從初一開始就注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí),將為今后的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ),從而受益終生.
(作者單位:江蘇省吳江區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué))