福建省寧德第一中學(xué) 陳梅芳

依托“分解”揭示“聯(lián)系”提高“能力”
——2016年高考全國Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)試題例探

福建省寧德第一中學(xué) 陳梅芳

自2016年起，福建省高考告別自主命題模式，統(tǒng)一使用全國Ⅰ卷.在備考教學(xué)過程中，教師全面認(rèn)識新高考，研究新高考，掌握新高考規(guī)律則尤為重要.文中結(jié)合2016年高考全國Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)第17題和21題的分解探析，并充分利用教材，關(guān)注數(shù)學(xué)概念教學(xué)，努力探尋高考試題與教材基礎(chǔ)知識和基本思想方法的有機聯(lián)系，以此促進(jìn)學(xué)生知其然更知其所以然，更好地獲取數(shù)學(xué)知識，提高數(shù)學(xué)綜合解題能力.

高考數(shù)學(xué) 試題 分解 聯(lián)系 能力

2016年高考全國Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)試題嚴(yán)格遵循《課程標(biāo)準(zhǔn)》基本理念和《考試大綱》基本要求，注重以“坡式”結(jié)構(gòu)設(shè)計難度，其預(yù)設(shè)難度要比我省自主命題的難度高，更側(cè)重對學(xué)生的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查，試題的綜合性較高，閱讀量、思維量和計算量也較大.學(xué)生面對這些試題常有極大困惑，難以順利作答.主要原因是我們學(xué)生對試題涉及的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能和基本思想方法還未能深入把握，對題目無法進(jìn)行有效分析、分解，更無法靈活把握試題中體現(xiàn)的聯(lián)系，從而影響了數(shù)學(xué)解題能力的提高.

一、例題評析與分解

2016年數(shù)學(xué)高考試題注重對基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法的考查，試卷基礎(chǔ)題、中等題和難題的梯度明顯，有良好的區(qū)分度.如在基礎(chǔ)題方面，要求學(xué)生掌握必要的基礎(chǔ)知識，能按規(guī)范步驟進(jìn)行準(zhǔn)確運算；而中檔題則要求學(xué)生能利用有效的方法，并根據(jù)具體試題情況應(yīng)用必要的數(shù)學(xué)方法來加以解決；在難題方面，要求學(xué)生在掌握基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法的基礎(chǔ)上，能進(jìn)一步認(rèn)清數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，靈活地將復(fù)雜問題有效轉(zhuǎn)化為難度較低的基礎(chǔ)題.

例1：（2016年高考全國Ⅰ卷理科第17題）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知2cos C（a cos B+b cos A）=c.

（Ⅰ）求C；

評析：試題涉及正弦定理、余弦定理及三角形面積公式等考點，應(yīng)特別注意引導(dǎo)學(xué)生熟練應(yīng)用三角形中的三角變換，尤其注意一些常用的誘導(dǎo)公式.在本題中，學(xué)生首先要了解主要考查的是解三角形知識和相應(yīng)公式的運用能力，然后將題目分解開來.第（Ⅰ）小題題目等式涉及三角形的邊和角，應(yīng)從邊角互化公式入手；通過分析發(fā)現(xiàn)，題目公式中既含有角的余弦又含有邊的一次式，所以利用正弦定理或余弦定理來解題均可.第（Ⅱ）小題由于c=只需求出a+b即可求出周長.結(jié)合題目已知條件及第（Ⅰ）小題的結(jié)論將解題分為兩步，第一步由三角形面積公式得出 ab的值，第二步聯(lián)立余弦定理求出a+ b的值即可得到三角形的周長.

解（Ⅰ）：思路一：由2cos C（a cos B+b cos A）=c聯(lián)立正弦定理可得2cos C（sin A cos B+ sin B cos A）=sin C，要求角C須將角A，B轉(zhuǎn)化為角C，因此利用三角誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為方程2cos C sin（A+B）=sin C，從而得出

思路二：由2cos C（a cos B+b cos A）=c聯(lián)立余弦定理可得化簡得a2+b2-c2=ab，結(jié)合余弦定理得從而

例2：（2016年高考全國Ⅰ卷理科第21題）已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個零點.

（Ⅰ）求a的取值范圍；

（Ⅱ）設(shè)x1，x2是f（x）的兩個零點，證明：x1+x2<2.

評析：試題涉及導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等考點，應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性、極值、零點等問題，學(xué)會善于根據(jù)參數(shù)開展分類討論，并注意互斥、無漏、最簡等分類討論原則，理解解決函數(shù)不等式的證明問題的有效思路就是巧妙構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性或極值等.本題屬于壓軸題，主要考查學(xué)生的運算解答能力以及邏輯思維能力.每當(dāng)學(xué)生們看到卷子后面的解答題時，往往表現(xiàn)得不知所措、一頭霧水，不知道從哪里開始動筆，慢慢地學(xué)生們也對此喪失了興趣，甚至害怕遇見類似的題目，因此教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會將復(fù)雜的問題簡單化.考生要了解本題主要是以函數(shù)的零點、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識來作為背景，考查學(xué)生對這幾個知識點的理解和運用.第（Ⅰ）小題中函數(shù)f（x）有兩個零點，可聯(lián)系教材知識轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）的圖像與x軸有兩個交點，須結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性來判斷函數(shù)f（x）圖像的形狀.由于f'（x）=（x-1）（ex+2a），因此可將解題步驟分解為討論a=0，a>0，a<0三種情形，其中a>0，a<0的討論是解題的難點,須結(jié)合零點存在性定理進(jìn)行判斷；第（Ⅱ）小題要從題目及第（Ⅰ）小題的結(jié)論中理解到應(yīng)如何分解題目，不等式x1+x2<2的證明本質(zhì)上是比較大小，由2-x2<1可將所證不等式轉(zhuǎn)化為證明x1<2-x2，注意到x1，x2是函數(shù)的自變量，通常自變量的大小比較要借助于函數(shù)值，故須由函數(shù)的單調(diào)性及題目的條件轉(zhuǎn)化為證明f（x1）>f（2-x2），即證明f（2-x2）<0，從而再構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行求解.

解（Ⅰ）：由于f'（x）=（x-1）（ex+2a）可知：

（1）當(dāng)a=0時，f（x）=（x-2）ex，故f（x）只有一個零點；

（2）當(dāng)a>0時，由f'（x）=（x-1）（ex+ 2a）可知f（x）在區(qū)間（-∞，1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，因此根據(jù)零點存在性定理可選取f（1）=-e<0， f（2）=a>0，取 b<0且則 f（b）=（自變量b的取值范圍的確定是難點，須易于判斷其函數(shù)值的正負(fù)），由此可以判斷出函數(shù)f（x）存在兩個零點.

（3）當(dāng)a<0時，由f'（x）=（x-1）（ex+2a）=0可得 x=1或 x=ln（-2a），要判斷f（x）圖像的大致形狀須比較1與ln（-2a）的大小，故須分類討論：①當(dāng)ln（-2a）≤1即時，f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，當(dāng) x≤1時，f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2<0，故此時函數(shù)f（x）不存在兩個零點.②當(dāng)ln（-2a）>1即時，由導(dǎo)函數(shù)可判斷f（x）在區(qū)間（1，ln（-2a））上單調(diào)遞減，在區(qū)間（ln（-2a），+∞）上單調(diào)遞增，且f（x）在區(qū)間（-∞，1]上小于0，故函數(shù)f（x）不存在兩個零點.綜上a的取值范圍為（0，+∞）.

解（Ⅱ）：不妨設(shè)x11，故2-x2<1.又由函數(shù)f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，所以x1+x2<2等價于f（x1）> f（2-x2），即 f（2-x2）<0.由于 f（2-x2）= -x2e2-x2+a（x2-1）2且f（x2）=（x2-2）ex2+a（x2-1）2=0，所以f（2-x2）=-x2e2-x2-（x2-2）ex2.設(shè)函數(shù)g（x）=-xe2-x-(x-2）ex（x>1）則g'（x）= （x-1）（e2-x-ex）.所以g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，且g（1）=0，故當(dāng)x>1時，g（x）<0.從而g（x2）=f（2-x2）<0故x1+x2<2.

二、善于揭示知識間的聯(lián)系

1.揭示“聯(lián)系”的重要性.

縱觀多年高考全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題，我們可以找到許多源于教材例題或與教材例題相似的試題，這些試題考查的一個重要原則是“立足基礎(chǔ)、考查能力”，多數(shù)涉及到教材中的基礎(chǔ)知識、基本技能和基本思想，所用的方法也是最普遍和一般的方法.因此在解題過程中很關(guān)鍵的一步是揭示教材知識的聯(lián)系.由于高考答題時間有限，拿到題目時不要急著去解題，而是將題目徹底理解透徹，分解成幾個小問題，在腦海里搜尋知識點，細(xì)致分析與哪些知識點有聯(lián)系，并快速準(zhǔn)確地找到解題方法，穩(wěn)妥地得到分?jǐn)?shù).

2.找尋試題關(guān)聯(lián)知識點.

在學(xué)習(xí)中更重要的是做到針對性學(xué)習(xí)，學(xué)生做好“指哪打哪”針對性的補差，尤其是在試題分解后清晰地梳理好所涉及的章節(jié)內(nèi)容和知識點以及聯(lián)系，有利于彌補他們相對薄弱的環(huán)節(jié).如試題與哪些知識點有關(guān)，是否都理解到位了，還有哪些未弄懂的等等.如在案例1，第一小題中由題可知涉及到解三角形的知識，必須用正弦定理和余弦定理將題目已知的式子進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)而利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行解答；第二小題由題目可聯(lián)系三角形面積公式及余弦定理進(jìn)行求解.案例2第一小題由題目兩個零點可聯(lián)系到教材中有關(guān)函數(shù)零點和函數(shù)單調(diào)性的知識；第二小題則要從所求證的式子出發(fā)，聯(lián)系到比較函數(shù)值的大小，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行求解.在解題中涉及到的細(xì)節(jié)問題是學(xué)生思維發(fā)展的落腳點，更是思維方法的落腳點，能充分地培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，對學(xué)生的發(fā)展起重要的作用.我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生相對缺乏的是對知識點的整體認(rèn)識和對問題的綜合分析能力，因此教師要善于“教”學(xué)生有效提取題目信息，貫通相關(guān)知識以及各部分知識之間的聯(lián)系，指引他們更好地關(guān)注、理解概念“細(xì)節(jié)”，為有效培養(yǎng)思考、分析和解決問題的能力做準(zhǔn)備.

三、提高綜合解題能力

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，許多學(xué)生存在著上課聽講很清楚，教材例題看得明白，而當(dāng)解題時卻又無從下手的問題.這一方面原因是學(xué)生對教材知識的理解和掌握只停留在表層上，知識應(yīng)用還未達(dá)到熟練程度；另一方面是沒有形成和掌握必要的數(shù)學(xué)思想方法，獨立解題時便易于陷入解題困境.那么有效提高學(xué)生的解題能力，需要做到哪些？

1.梳理知識、形成完整知識體系.

高中數(shù)學(xué)各個模塊的知識是相互聯(lián)系不是單一存在的，教師在教學(xué)中應(yīng)該在夯實基礎(chǔ)知識和基本技能的基礎(chǔ)上進(jìn)行更高層次的抽象和概括，并將其進(jìn)行歸納、梳理，幫助學(xué)生完善教學(xué)模塊知識，建立模塊知識間的聯(lián)系，形成完整知識體系.只有學(xué)生掌握數(shù)學(xué)各模塊知識間的聯(lián)系，在解題上才能由一個知識點聯(lián)系到相關(guān)的知識，從而實現(xiàn)更好的應(yīng)用，提高綜合解題能力.

2.理解掌握、活用數(shù)學(xué)思想方法.

實際上，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難總是發(fā)生在學(xué)習(xí)過程中，相應(yīng)地，數(shù)學(xué)思想方法則在促進(jìn)數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用進(jìn)程上尤顯重要了.數(shù)學(xué)思想方法即被用來解決數(shù)學(xué)問題的有效程序和必要策略.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師指引學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)知識、用好數(shù)學(xué)技能、解決好實際問題，就必須積極優(yōu)化教學(xué)方式、途徑和手段，促進(jìn)學(xué)生更好地解決具體數(shù)學(xué)問題.我們觀察發(fā)現(xiàn)，全國卷高考數(shù)學(xué)始終重視對數(shù)學(xué)思想方法的考查，檢驗學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的理解、掌握和應(yīng)用程度，特別是試題設(shè)計中還充分體現(xiàn)出考查的層次性，并在同一試題中可能蘊含著兩種以上的數(shù)學(xué)思想方法.所以，教師在試題教學(xué)中要選取靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法的角度，積極引導(dǎo)學(xué)生、有效滲透數(shù)學(xué)思想方法，突出通性通法，帶領(lǐng)他們在學(xué)會應(yīng)用思想方法的學(xué)習(xí)活動中促進(jìn)思維、思想、方法的良性生成，不斷提高解題能力.

3.勤于思考、總結(jié)解題經(jīng)驗策略.

有效學(xué)習(xí)要求學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識、方法和思想的同時，還必須學(xué)會有目的地思考，反觀自己的學(xué)習(xí)過程和狀態(tài)，感悟體會自己的學(xué)習(xí)活動.由此要提升學(xué)生思維能力，培養(yǎng)解題能力，教師必須把試題講解的過程有效轉(zhuǎn)化成學(xué)生的思維過程，通過啟發(fā)、誘導(dǎo)等讓學(xué)生能自主自覺地發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新，總結(jié)獲取屬于自己的解題思路，熟練地養(yǎng)成解決問題后及時反思的習(xí)慣，以及對題目的深層剖析，從中提取出有益的經(jīng)驗和策略，進(jìn)一步培養(yǎng)獨立分析、解決問題的能力和素質(zhì).

4.重視講演、加強典例運算訓(xùn)練.

運算能力是歷年全國卷高考試題考查的重要考點.但是我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在高考或平時的解題活動中計算能力普遍下降.因此，教師在平時教學(xué)中要注重培養(yǎng)學(xué)生的運算能力，同時要借助典例的演示和講解，引導(dǎo)學(xué)生掌握計算技能技巧，重視解題思路，要舍得花時間在典例的分析和總結(jié)上，學(xué)會在汲取優(yōu)秀經(jīng)驗和強化運算訓(xùn)練中努力提高自己的解題能力.

總之，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師應(yīng)始終堅持以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力為目標(biāo)，巧借試題評析和分解，積極引領(lǐng)學(xué)生找尋知識聯(lián)系，利用有效教學(xué)手段來持續(xù)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.

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[4]沈文錦.滲透數(shù)學(xué)思想方法 優(yōu)化學(xué)生知識結(jié)構(gòu)[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué).2015. (1)：16