陳亞琦，蔣純志(湘南學(xué)院電子信息與電氣工程學(xué)院， 湖南 郴州 423000)

論力的功與力矩功之間的邏輯關(guān)系*

陳亞琦?，蔣純志
(湘南學(xué)院電子信息與電氣工程學(xué)院， 湖南 郴州 423000)

討論了力的功與力矩功之間的邏輯關(guān)系，通過討論分析明確了力矩功是力的功在轉(zhuǎn)動(dòng)形式中的引申，當(dāng)物體繞參考點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，力的功就是力矩功，否則，力的功不等于力矩功。

力的功；力矩 ；力矩功

1 引言

經(jīng)典力學(xué)是一門以力的概念和定義為邏輯起點(diǎn)，以與之相關(guān)的定律（定理）為主線的理論體系。在這個(gè)體系內(nèi)，概念的定義之間，都有嚴(yán)密的邏輯關(guān)系，即以力為邏輯起點(diǎn)的定量的因果律和嚴(yán)密的數(shù)學(xué)方程式化[1]。功是描述外力在物體位移過程中的空間累積效應(yīng)，是能量變化的一種量度。在許多大學(xué)物理教材[2-4]中，先給出力做功的概念，然后從剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)引出力矩功的概念，從力矩功的推導(dǎo)過程看，力做的功就是該力矩的功。但學(xué)生在實(shí)踐中，發(fā)現(xiàn)力矩功為零時(shí)，力的功卻不一定為零，學(xué)生對(duì)此感到困惑不解。本文將從功的定義式出發(fā)，詳細(xì)討論力的功與力矩功之間的邏輯關(guān)系，讓學(xué)生從本源上理解這兩個(gè)概念的異同。

2 理論分析

2.1 質(zhì)點(diǎn)相對(duì)參考點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)

如圖1所示，一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在力F的作用下，繞參考點(diǎn)O做圓周運(yùn)動(dòng)。t時(shí)刻dt時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)m 在 P處發(fā)生微小位移 vd t ，根據(jù)功的定義[2]：力的元功等于力F與受力質(zhì)點(diǎn)無窮小位移d的標(biāo)積，所以即質(zhì)點(diǎn)相對(duì)參考點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，力F的功與力F相對(duì)參考點(diǎn)的力矩功完全一樣，力產(chǎn)生的效果使物體發(fā)生了轉(zhuǎn)動(dòng)，力F的功是質(zhì)點(diǎn)繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能大小的量度。

圖1 圓周運(yùn)動(dòng)分析圖

2.2 質(zhì)點(diǎn)相對(duì)參考點(diǎn)做非圓周運(yùn)動(dòng)

如圖2所示，質(zhì)點(diǎn)m在力F作用下繞參考點(diǎn)O做一橢圓運(yùn)動(dòng)。以方向?yàn)榉ㄏ蚍较?，建立自然坐?biāo)系，把質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)分解成繞O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)及在法向方向的移動(dòng)兩種分運(yùn)動(dòng)，則質(zhì)點(diǎn)在P處發(fā)生微小位移 vd t時(shí)，力F所作的功為：

圖2 非圓周運(yùn)動(dòng)分析圖

2.3 剛體平面運(yùn)動(dòng)

剛體作平面運(yùn)動(dòng)時(shí),剛體上每一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)都可分解為隨質(zhì)心的平動(dòng)與繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。如圖 3所示，設(shè)力作用于作平面運(yùn)動(dòng)的剛體上的第i 個(gè)質(zhì)點(diǎn)，由圖可知，第i 個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位置矢量為所以第i 個(gè)質(zhì)點(diǎn)的元位移為，根據(jù)功的定義式，可知力iF對(duì)剛體做的元功為：

式中ω為質(zhì)點(diǎn)i繞C點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。通過分析，我們可以發(fā)現(xiàn)力對(duì)剛體作的功可分解為兩個(gè)部分：式中第一項(xiàng)表明剛體質(zhì)心平動(dòng)動(dòng)能的變化量；式中第二項(xiàng)表明剛體繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的變化量，即力相對(duì)質(zhì)心軸的力矩功。若剛體質(zhì)心相對(duì)參考點(diǎn)的位移為零，則剛體繞質(zhì)心軸做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，這時(shí)力的功就是為力矩功。

圖3 剛體平面運(yùn)動(dòng)

3 實(shí)例分析

常見實(shí)例：光滑桌面上有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，拴在一根穿過桌面光滑小孔的繩子上。初始時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)離中心距離為r0，并以角速度ω0旋轉(zhuǎn)，現(xiàn)向下拉繩，使質(zhì)點(diǎn)的徑向距離減少，質(zhì)點(diǎn)從r0變到r0/2繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，求拉力作的功。

分析：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的徑向距離逐漸減少時(shí)，質(zhì)點(diǎn)繞圓孔的運(yùn)動(dòng)是非圓周運(yùn)動(dòng)，拉力的功與拉力相對(duì)圓孔參考點(diǎn)的力矩功不相等。

解法一：利用動(dòng)能定理求解。質(zhì)點(diǎn)m所受繩子拉力相對(duì)小孔的力矩始終為零，所以拉力矩的功為零，角動(dòng)量守恒，有

解法二：利用功的定義式求解。設(shè)質(zhì)點(diǎn)m由r0非常緩慢地漸變到，繩子的拉力也隨之逐漸增加，由角動(dòng)量守恒定律及繩子拉力提供向心力，可得。根據(jù)功的定義式，計(jì)算拉力功

式中拉力使質(zhì)點(diǎn)m沿矢徑方向靠近O點(diǎn)的效果，所以雖然力矩功為0，但拉力的功不為0。

4 結(jié)論

力對(duì)物體有移動(dòng)效應(yīng)，也有使物體繞某點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的效應(yīng)，力矩是物體轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的量度。功是描述力在物體位移過程中的空間累積效應(yīng)，是能量變化的一種量度。當(dāng)力使物體相對(duì)參考點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，力的功等于力矩功；當(dāng)力使物體相對(duì)參考點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)僅有矢徑方向上的平動(dòng)時(shí)，該力相對(duì)參考點(diǎn)力矩的功為零，但力的功不為零；當(dāng)力使物體相對(duì)參考點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)既有轉(zhuǎn)動(dòng)，也有徑向方向上的平動(dòng)，則力的功為力矩功與物體相對(duì)參考點(diǎn)方向發(fā)生移動(dòng)效應(yīng)的所做功兩部分之和，力的功不等于力矩功。力的功是物體動(dòng)能變化的量度，力矩功是轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能變化的量度，是力的功在轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)形式中的引申。

[1] 張立新. 物理學(xué)中的演繹邏輯[J]. 江蘇教育學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2013, 29(5): 42-45.

[2] 漆安慎, 杜嬋英. 普通物理學(xué)教程-力學(xué)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2004: 113-184.

[3] 趙凱華, 羅蔚茵. 力學(xué)[M]. 北京: 高等教育出版社, 1995: 211-214.

[4] 程守珠. 普通物理學(xué)（第六版）（上冊(cè)）[M]. 北京: 高等教育出版社, 2006: 120-122.

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1003-7551(2016)01-0040-03

2015-1-20

湖南省教改項(xiàng)目(湘教通【2015】291-487)；湖南省教育廳教改項(xiàng)目(編號(hào)：2013-223-452)

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