陳義萬，杜海霞，陳昭蓉，閔 銳( . 湖北工業(yè)大學理學院，湖北 武漢，40068；. 火箭軍工程大學，陜西 西安，7005; . 廣西大學計算機與電子信息學院，廣西 南寧，5000)

二維光子晶體中電磁波的傳播特性*

陳義萬1?，杜海霞2，陳昭蓉3，閔 銳1
( 1. 湖北工業(yè)大學理學院，湖北 武漢，430068；2. 火箭軍工程大學，陜西 西安，710025; 3. 廣西大學計算機與電子信息學院，廣西 南寧，530003)

K.S.Yee提出的FDTD方法，在差分的過程中，引進了時間、空間的半個步長，需要對格點按半整數(shù)進行標記，而矩陣元都是按整數(shù)編號，使計算中對矩陣元編號很不方便。本文分析了FDTD差分方法的實質，全部用整數(shù)步長和整數(shù)格點的中心差分法，得到與K.S.Yee提出的FDTD方法相同的計算效果；在中心介質區(qū)對進行分離，用PML層中的統(tǒng)一公式，而令公式中自然得到中心介質區(qū)的公式，使中心介質區(qū)與PML層的公式在形式上統(tǒng)一起來。本文還計算了高斯型點信號源電磁波在二維均勻介質、在 2×2 和 5×5 空氣洞陣列介質中的傳播，發(fā)現(xiàn)在介質中，信號幅值下降，在空氣洞中，電磁場的幅值明顯上升，說明介質背景中的空氣洞有增強電磁波的功能。

有限時域差分方法FDTD；完全匹配層PML；二維光子晶體

1 引言

在周期性排列的原子構成的晶體中，電子的能級形成能帶，能帶之間有間隙；人們馬上猜測：按周期性排列的電介質，當電磁波在其中傳播時，也會出現(xiàn)類似能帶的特點。這種按周期性排列的介質，叫光子晶體[1 ][2][3]，一維的周期性結構是光纖光柵[4]。本文研究二維光子晶體對電磁波的傳播性質。

2二維TE模方程及其差分格式

由(8)式得：

由(9)式：

用中心差分法，寫成FDTD差分格式[5][6]。由(11)式得：

為便于標記， yxjyix ΔΔ→→ ,,, 是相鄰空間格點距離，則有：

同理，(12),(13)式分別表示為：

3 完全匹配層的Maxwell方程及其差分格式

為了避免電磁波的反射，通常在介質層的四周設立完全匹配層 (PML)[7,8]，在電介質與PML層的分界面，由于電磁波的阻抗相同，電磁波沒有反射；在PML層中，電磁波在傳播中被逐步衰減。在PML層中，Maxwell方程為：

σ*為磁導率，σ為電導率。

由(18)式得：

令Hz=Hzx+Hzy,帶入(19)式中，得：

把該式分成兩個式子，得到該式成立的充分條件：

由(20)式得：

由(21)式得 ：

對(22)式用中心差分法，為了避免計算中的數(shù)值發(fā)散，取

（22）式變?yōu)椋?/p>

化簡得

同理得

在介質區(qū)，用 Hz分量，在PML層區(qū)，用分量。為了在計算上銜接，在中心介質區(qū)也對 Hz分解，考慮到PML層中的公式(27),(28)中，令=0就可以得到：

圖1 中心區(qū)域為介質，四周為PML層

4 高斯型脈沖信號在二維介質中的傳播性質

在圖1中，常數(shù)的確定如下：

PML層厚度為11 xΔ 或者11 yΔ

計算中σ取100；用Matlab軟件編程計算，并用快速傅里葉變換對觀察點的信號進行頻譜分析，觀察不同頻率的電磁波在二維介質中的傳播情況。

4.1 高斯型點源信號在二維均勻介質中的傳播

圖2 高斯型點源信號在二維均勻介質中的傳播

說明：在a,b c三個圖中，上方為點信號源，為了便于與下部的圖對比。a為PML層中（6,6）計算得到的信號，衰減很明顯；b圖為介質中（106,106）計算得到的信號，與信號源相比有衰減；c圖為PML層（116,116）計算得到的信號，衰減很明顯。

4.2 點源高斯型電磁波在 2×2 個空氣洞陣中的傳播

圖3 點源高斯型電磁波在2×個空氣洞陣中的傳播

說明：a,b c ,d 三個圖的上部是點信號源，為了便于與下部的圖對比。a為PML層中（6,6）計算得到的信號，衰減很明顯；b圖為介質中（106,106）計算得到的信號，與信號源相比有衰減，波形有所變形；c圖為PML層（116,116）計算得到的信號，衰減很明顯，波形有變形；d圖是空氣洞內的點（80,76）上計算得到的信號，可以看到，脈沖信號在空氣洞中變?yōu)椴▌?，振幅增強到信號源?倍。

4.3 電磁波在二維 5×5 空氣洞陣中的傳播

介質εr1 =5，空氣洞中εr2 =1；空氣洞為正方形，邊長 a =1×10-5m，按 5×5 在介質中均勻排列，點源信號位于（20,20）格點處，分別觀察PML層中（6,6），介質中（106,106），PML層（116,116），以及空氣洞（96,94）四個點上的信號，結果如圖4：

圖4 電磁波在二維5×5空氣洞陣中的傳播

說明：a,b c,d 三個圖的上部是點信號源，為了便于與下部的圖對比。a為PML層中（6,6）計算得到的信號，衰減很明顯；b圖為介質中（106,106）計算得到的信號，與信號源相比有衰減，波形有所變形；c圖為PML層（116,116）計算得到的信號，衰減很明顯，波形有變形；d圖是空氣洞內的點（92,94）上計算得到的信號，可以看到，脈沖信號在空氣洞中振幅加強為信號源振幅的10倍以上。

5 結論

K.S.Yee 提出的FDTD方法，在差分的過程中，引進了時間、空間的半個步長，需要對格點按半整數(shù)進行標記，而矩陣元都是按整數(shù)編號，使計算中對矩陣元編號很不方便[5]。本文分析了FDTD差分方法的實質，全部用整數(shù)步長和整數(shù)格點的中心差分法，得到與K.S.Yee提出的FDTD方法相同的計算效果；在中心介質區(qū)對進行分離，用PML層中的統(tǒng)一公式，而令公式中σx=σy=0,σx*=σy*=0，自然得到中心介質區(qū)的公式，使中心介質區(qū)與 PML層的公式在形式上統(tǒng)一起來。本文還計算了高斯型點信號源電磁波在二維均勻介質、在 2×2 和 5×5 空氣洞陣列介質中的傳播，發(fā)現(xiàn)在介質中，信號幅值下降，在空氣洞中，電磁場的幅值明顯上升，說明介質背景中的空氣洞有增強電磁波的功能。

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： 1003-7551(2016)01-0034-06

2016-01-20

湖北省教育科學“十二五”規(guī)劃重點課題，編號2012A016

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