李文略(嶺南師范學(xué)院基礎(chǔ)教育學(xué)院，廣東 湛江 524037)

應(yīng)用電各向異性介質(zhì)電多極展開(kāi)計(jì)算電勢(shì)

李文略?
(嶺南師范學(xué)院基礎(chǔ)教育學(xué)院，廣東 湛江 524037)

應(yīng)用張量分析的矩陣方法得到電各向介質(zhì)中多極展開(kāi)式在主軸坐標(biāo)系下的具體形式。應(yīng)用該具體形式結(jié)合廣義坐標(biāo)變換法計(jì)算均勻帶電圓盤(pán)、橢圓盤(pán)、橢圓環(huán)、圓環(huán)和旋轉(zhuǎn)橢球在電各向異性介質(zhì)中遠(yuǎn)場(chǎng)的電勢(shì)，所得的結(jié)果在ε22=ε33=ε的情況下，可過(guò)渡到在電各向同性介質(zhì)中遠(yuǎn)場(chǎng)的電勢(shì)。

電各向異性介質(zhì)；電勢(shì)；電多極展開(kāi)；張量；橢圓盤(pán)；旋轉(zhuǎn)橢球

1 引言

電各向同性介質(zhì)靜電場(chǎng)的求解方法很多，如分離變量法、電像法、格林函數(shù)法、電多極展開(kāi)法等等。陳燊年[1]等系統(tǒng)的研究了電各向異性介質(zhì)（限于有且只有三個(gè)正交主軸方向的電介質(zhì)）的靜電場(chǎng)，其中有應(yīng)用分離變量法和電多極展開(kāi)法有效的求解了電各向異性介質(zhì)中的靜電場(chǎng)。李洲圣，唐長(zhǎng)紅[2]系統(tǒng)的定義了張量分析的矩陣方法，文[3-4]應(yīng)用該方法研究了電（磁）各向異性介質(zhì)的電磁場(chǎng)。本文將在前人研究[1、5]的基礎(chǔ)上，應(yīng)用張量分析的矩陣方法推導(dǎo)得到電多極展開(kāi)式在主軸坐標(biāo)系下的具體形式，進(jìn)而應(yīng)用該具體形式結(jié)合廣義坐標(biāo)變換法計(jì)算電各向異性介質(zhì)中均勻帶電圓盤(pán)、圓環(huán)、橢圓盤(pán)、橢圓環(huán)和旋轉(zhuǎn)橢球等典型的連續(xù)帶電體在遠(yuǎn)場(chǎng)處激發(fā)的電勢(shì)，可作為應(yīng)用電多極展開(kāi)式計(jì)算電勢(shì)的補(bǔ)充。

2 各向異性介質(zhì)中電多極展開(kāi)式的具體形式

在電各向異性介質(zhì)中在主軸坐標(biāo)系321xO- 下，坐標(biāo)原點(diǎn)建在源區(qū)，當(dāng)電荷系統(tǒng)分布在小區(qū)域內(nèi)，在遠(yuǎn)處產(chǎn)生的電勢(shì)多極展開(kāi)式為[1、5]

式中: x→、x′→分別表示場(chǎng)點(diǎn)和源點(diǎn)的位矢)(x′→ρ、Ωd 分別表示源電荷密度和源電荷體積元；)0(φ、)1(φ 和)2(φ分別稱(chēng)為電零極項(xiàng)、電偶極項(xiàng)和電四極項(xiàng)；，11ε 、22ε、33ε為沿著主軸坐標(biāo)系中:

設(shè)電各向異性介質(zhì)的主軸坐標(biāo)系O-x1x2x3，記為的轉(zhuǎn)置形態(tài)，它們均表示同一坐標(biāo)系?，F(xiàn)應(yīng)用張量分析的矩陣方法計(jì)算φ(1)（x）和φ(2)（x）在主軸坐標(biāo)系下的具體形式。三個(gè)坐標(biāo)軸正方向的介電常數(shù)。在實(shí)際中用得較多的通常只到)2(φ，因而本文涉及的計(jì)算也到)2(φ 為止。)2(φ 項(xiàng)

將式（2）（3）代入式（1）中，由多元函數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)及鏈?zhǔn)椒▌t，可得

式（4）（5）（6）即為電各向異性介質(zhì)中電多極展開(kāi)在主軸坐標(biāo)系下的具體形式。若令ε22=ε33=ε代入式（4）（5）（6）中，則可得到電各向同性介質(zhì)中電多極展開(kāi)的具體形式。應(yīng)用具體形式結(jié)合廣義坐標(biāo)變換法可直接方便的計(jì)算連續(xù)帶電體系在遠(yuǎn)場(chǎng)處的電勢(shì)，而無(wú)需求解電偶極矩或電四極矩以及進(jìn)行張量的多重點(diǎn)積運(yùn)算.以下應(yīng)用該具體形式直接計(jì)算典型連續(xù)帶電體遠(yuǎn)場(chǎng)處的電勢(shì)。

3 電各向異性介質(zhì)中均勻帶電圓盤(pán)、圓環(huán)遠(yuǎn)場(chǎng)處的電勢(shì)

均勻帶電面密度為σ，電量為Q，半徑為R圓盤(pán)放置在主軸坐標(biāo)系 O-x1x2x3（原點(diǎn)在圓盤(pán)中心）的 O -x1x2面上，應(yīng)用具體形式求其在遠(yuǎn)場(chǎng)點(diǎn) P()處的電勢(shì)。

若此圓盤(pán)變?yōu)榘霃綖镽的圓環(huán)，帶電線密度為λ，電量為Q，取極坐標(biāo)r、θ，則 x1′ =Rcosθ、x ′2=R sinθ，

4 電各向異性介質(zhì)中均勻帶電橢圓盤(pán)、橢圓環(huán)遠(yuǎn)場(chǎng)處的電勢(shì)

4.1 均勻帶電橢圓盤(pán)遠(yuǎn)場(chǎng)處的電勢(shì)

均勻帶電面密度為σ，電量為Q，長(zhǎng)、短半軸為a、b的橢圓盤(pán)放置在主軸坐標(biāo)系321xxxO- （原點(diǎn)在橢圓盤(pán)中心，長(zhǎng)半軸沿著1x軸）的21xxO- 面上，應(yīng)用具體形式求其在遠(yuǎn)場(chǎng)點(diǎn)),,(321xxxP 處的電勢(shì)。

若令 Rba == （橢圓盤(pán)變?yōu)榘霃綖镽的圓盤(pán)），代入式（11）中可得圓盤(pán)在遠(yuǎn)場(chǎng)激發(fā)的電勢(shì)，結(jié)果與式（8）一致，藉此可驗(yàn)證用多極展開(kāi)具體形式計(jì)算遠(yuǎn)場(chǎng)電勢(shì)的正確性.

4.2 均勻帶電橢圓環(huán)遠(yuǎn)場(chǎng)處的電勢(shì)

帶電線密度為λ，電量為Q，長(zhǎng)、短半軸為a、b的橢圓環(huán)，放置在主軸坐標(biāo)系321xxxO- （原點(diǎn)在橢圓環(huán)中心，長(zhǎng)半軸沿著1x軸）的21xxO- 面上，應(yīng)用具體形式求其在遠(yuǎn)場(chǎng)點(diǎn) ),,(321xxxP 處的電勢(shì).在環(huán)面上取廣

若令 Rba == 代入式（12）中，即可得均勻帶電圓環(huán)在遠(yuǎn)場(chǎng)的電勢(shì)，如果與式（9）相同.

5 電各向異性介質(zhì)中均勻帶電旋轉(zhuǎn)橢球遠(yuǎn)場(chǎng)處的電勢(shì)

均勻帶電密度為ρ，電量為Q，長(zhǎng)、短半軸為a、b的橢球，主軸坐標(biāo)系 O - x1x2x3的原點(diǎn)在球心，長(zhǎng)半軸沿著x3軸，應(yīng)用電多極展開(kāi)的具體形式求其在遠(yuǎn)場(chǎng)點(diǎn) P ( x1, x2,x3)處的電勢(shì)。

橢球電荷分布關(guān)于x1軸、 x2軸和 x3軸對(duì)稱(chēng)，故(P)=0，且由式（6）得

6 結(jié)語(yǔ)

文[1、5]應(yīng)用電多極展開(kāi)式計(jì)算電各向異性介質(zhì)的靜電場(chǎng)時(shí)，需先求出電多極矩，然后再進(jìn)行（矢量）張量間的多重點(diǎn)積運(yùn)算。本文應(yīng)用電多極展開(kāi)式的具體形式結(jié)合廣義坐標(biāo)變換法可方便的計(jì)算均勻帶電圓盤(pán)、圓環(huán)、橢圓盤(pán)、橢圓環(huán)和旋轉(zhuǎn)橢球在遠(yuǎn)場(chǎng)處電勢(shì)，計(jì)算的過(guò)程充分的利用電荷對(duì)稱(chēng)分布的條件簡(jiǎn)化了計(jì)算，也避免了求電多極矩、進(jìn)行（矢量）張量間的多重點(diǎn)積和涉及橢圓積分的繁瑣運(yùn)算，可作為現(xiàn)有應(yīng)用電多極展開(kāi)求解電各向異性介質(zhì)中靜電場(chǎng)的補(bǔ)充。在令ε22=ε33=ε的情況下，所得的結(jié)果適用于電各向同性介質(zhì)中的靜電場(chǎng)。

[1] 陳燊年, 洪清泉, 王建成.介質(zhì)為各向異性的電磁場(chǎng)[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2012.

[2] 李洲圣, 唐長(zhǎng)紅. 三維空間張量分析的矩陣方法[M]. 北京: 航空工業(yè)出版社, 2010.

[3] 李文略. 各向異性磁介質(zhì)中ζ空間與χ空間的變換關(guān)系及應(yīng)用[J]. 廣西物理, 2015, 36(2): 20-23.

[4] 李文略. 電各向異性介質(zhì)中泊松方程的具體形式[J]. 泉州師范學(xué)院學(xué)報(bào), 2015, 33(2): 93-96.

[5] 郭震寧, 陳燊年. 在各向異性介質(zhì)中電勢(shì)的多極矩展開(kāi)[J]. 華僑大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 1993, 14(4): 440-446.

[6] 袁德榮. 球張量的多極展開(kāi)法[J]. 湖北大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 1988, (1): 94-98.

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2015-12-20

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