葉 里，黃禮琳，寧歲婷，滿 海，高英俊（廣西大學物理科學與工程技術(shù)學院 廣西南寧 530004）

晶體相場法模擬微裂紋的擴展行為*

葉 里，黃禮琳，寧歲婷，滿 海，高英俊?
（廣西大學物理科學與工程技術(shù)學院 廣西南寧 530004）

用晶體相場模型模擬預變形條件下的單軸拉伸的裂紋擴展行為. 展示出裂紋擴展過程的演化圖。從裂紋演化圖可以清楚的觀察到，隨著應變量的增加，裂紋長度增加，裂紋呈鈍化-擴展-鈍化的擴展模式，裂紋形狀為鋸齒形；隨著預變形量的增加，解理方式的裂紋擴展減弱, 轉(zhuǎn)變成鋸齒形狀的裂紋擴展方式。

微裂紋；晶體相場；模擬實驗

1 引言

材料的變形與破壞大都源自材料的微結(jié)構(gòu)，如空位、位錯、晶界與微裂紋等。要想深入研究材料的變形與破壞的特性與機理，還需要開展多尺度分析，把宏觀分析與微納觀分析結(jié)合起來，在更深的層次上找到問題的根源和變形破壞機制[1]?，F(xiàn)在，對金屬材料裂紋擴展的研究，早已不再局限于宏觀和介觀層次，而是已經(jīng)逐漸地深入到微納觀層次。由于納米級微裂紋形核與擴展，在金屬材料微觀缺陷中普遍存在，它嚴重地降低了構(gòu)件的使用壽命[2]，因此，研究納米級裂紋的萌生和擴展對預防材料的斷裂，提高構(gòu)件的使用壽命具有重要意義[3]。在當前的實驗測量條件下，對材料的納米級裂紋擴展很難實時觀測[4]，因此，發(fā)揮計算模擬實驗的優(yōu)勢，應用其研究微納米尺度的微裂紋就顯得極為迫切和重要[5-8]。近幾年，基于密度泛函理論建立的晶體相場方法(PFC)[9]，通過引入周期性原子密度函數(shù)，用以描述晶體點陣結(jié)構(gòu)，能夠自洽地耦合了彈性效應等周期性結(jié)構(gòu)的物理特性…PFC方法能很好地用于描述晶界和位錯在擴散時間尺度下的運動特征[10]，并用于模擬納米級的裂紋擴展行為和演化過程[11-13]。本文應用PFC方法研究預變形條件下，單軸拉伸應變的裂紋生長特征和擴展規(guī)律，揭示納米級裂紋擴展對材料斷裂的作用。

2 PFC模型與方法

2.1 PFC模型

PFC模型能夠揭示晶體學結(jié)構(gòu)特性以及空間尺度為原子尺度，時間尺度為擴散時間尺度下的行為。對于固態(tài)金屬材料，其原子的位置呈規(guī)則周期性排列，通過引入周期性相場變量，其局域位置的最大值對應于原子的位置；對于均勻相（液相等）中的原子分布為均值分布，其值為常量。用周期原子密度函數(shù)作為相場變量，符合上述兩方面的要求。其表達式可以寫成[10-12]

式中，等號右邊第1項反映的是晶格原子的周期排列結(jié)構(gòu)特征，第2項反映的是均勻相（如液相）等的原子分布，其均值為常量。此時，系統(tǒng)無量綱的自由能函數(shù)可以寫成[12]

式中，為局域原子密度；為與溫度有關(guān)的唯象參數(shù)；為拉普拉斯算子。在單模近似下，可以求得式子(2)的一個穩(wěn)定特解為

2.2 動力學方程

本文采用保守場Cahn-Hilliard動力學方程[10-12]描述原子密度隨時間的演化。該方程具體如下方程表示：

式中，ρ為原子密度，r表征體系的過冷度，?為拉普拉斯算子，t為時間變量。

圖1 單模近似得出的二維相圖(陰影部分代表兩相共存區(qū))[9]

2.3 數(shù)值計算方法

對無量綱動力學演化方程(4)采用半隱式傅里葉偽譜方法[10-12]求解，其離散形式為

2.4 樣品制備與應變施加

為方便起見，本文選取二維薄膜體系來模擬裂紋擴展。固相基體用三角相點陣表示，選取晶體原子密度參數(shù)為 ρ0=0.49，溫度參數(shù) r =-1.0（圖1中B點）。對單晶樣品的微裂紋擴展進行模擬時，計算模擬區(qū)域為1024 x 512y，單位格子長度x= y=…原子點陣排列方向與y軸夾角為3.5°。在樣品的中心位置，設(shè)置半徑 r =8格子的圓形缺口作為初始裂口，缺口處的熱力學參數(shù)設(shè)置為 ρ0=0.79，溫度參數(shù) r=-1.0，如圖1中A點所示。由于不涉及材料的物性參數(shù)，對模擬所用的參數(shù)進行無量綱化處理，并將連續(xù)空間離散為正方格子分布…計算時四周邊界采用周期性邊界條件。

采用式(3)設(shè)置一個含有圓形裂口的區(qū)域，經(jīng)過弛豫5步，得到具有穩(wěn)定缺口樣品，如圖2(a)。對樣品分別沿x軸和y軸施加拉伸預變形，變形量分別為ηx和ηy。經(jīng)弛豫后，再在y軸方向施加拉應變，如圖2(b)所示。在變形過程中，x方向空間步長保持不變，y方向空間步長隨著應變速率在每一時間步長下都有一增量d =，其中，為無量綱的應變速率，n為施加拉應變的時間步長數(shù)，t為時間步長。

圖2 (a) 具有初始裂口樣品，圖2(b) 沿y軸方向施加拉應變的示意圖

表1 樣品的熱力學參數(shù)和預變形量

3 結(jié)果與分析

3.1 沿x方向拉伸預變形樣品的裂紋擴展

由圖 3(a1)可以看到，對于沒有預拉伸作用的裂口樣品a，在拉伸的初始階段，當應變量未達到裂紋擴展的臨界應變之時，預制裂口沒有出現(xiàn)明顯的變化。當應變量達到0.138時，樣品中部圓形裂口開始起裂，在裂口左右兩邊邊緣處，出現(xiàn)約2個原子尺度的微裂紋。隨著應變量的不斷增大，裂紋尖端出現(xiàn)鈍化過程，直至裂紋尖端集中的應力，超過某個方向上的原子結(jié)合力，導致該原子鍵斷裂，從而驅(qū)動裂紋開始擴展，如圖3(a2)。此時，裂紋的開裂方向與拉應變方向垂直，拉應變是y軸方向，裂紋的開裂方向為x軸方向。當外加應變量達到0.186時，裂紋開裂長度約為樣品x方向長度的1/3，如圖3(a3)所示。在開裂過程中，裂紋生長呈現(xiàn)擴展-鈍化-擴展的長大特征[14]。這一長大特征，可以看成是裂紋擴展通過主次原子排列方向的原子鍵交替斷裂而進行裂尖擴展，裂紋邊緣呈鋸齒形，如圖3(a4)放大圖所示。這與文獻[20]相互印證。隨著應變量的不斷增加，裂紋繼續(xù)擴展，當應變量達到0.210時，觀察圖3(a4)，可以看到此時裂紋長度約占模擬試樣x軸總長度的 4/5，此時，試樣即將被拉斷。在裂紋擴展模擬的后期，應力的作用直接導致某固定原子排列方向的原子鍵斷裂，出現(xiàn)微裂紋尖端的解理斷裂擴展。解理裂開方向與拉伸應變方向夾角約為 60°，并以裂紋尖端中心線為軸線形成了類似孿晶的對稱原子晶格排列，這與文獻[14]的研究結(jié)果一致。

由圖3(b1)可以看到，在x軸預拉伸量為1%，應變量達到0.138時，樣品中部圓形裂口左右兩邊已經(jīng)各有一條4至5個原子尺度的微小裂紋。觀察圖3(b2)，當外加應變量達到0.162的時候，從微裂紋擴展圖可以看出，這時的微裂紋依舊比圖3(a2)的裂紋要稍長，且此時的裂紋走向比圖3(a2)要趨于水平。對于圖3(b3)可以看到，當外加應變量為0.186時，裂紋呈鋸齒狀，且此裂紋的鈍化程度要比圖3(a3)的裂紋的鈍化程度要高，即此裂紋比較粗。此裂紋的長度幾乎與圖3(a3)的相同，但圖3(b3)的裂紋走向要比圖3(a3)更趨向于水平，這是由于裂紋裂尖處的不同方向的原子層原子鍵交替斷開，使得裂尖擴展方向發(fā)生轉(zhuǎn)向，每次轉(zhuǎn)向時擴展的裂紋長度大致相同。觀察圖3(b4)，此圖的裂紋明顯比圖3(a4)的裂紋長度要短，擴展方向也更趨于水平。

圖3 對應表1各組樣品的裂紋模擬演化圖：圖a1，b1，c1的應變量為0.138；圖a2，b2，c2的應變量為0.162；圖a3，b3，c3的應變量為0.186；圖a4，b4，c4的應變量為0.210；圖a4中的放大圖表示：1為主滑移系，2為次滑移系

圖3(c)給出了沿x軸方向預拉伸變形量為2%的樣品的裂紋擴展演化。圖3(c1)給出，當拉應變量為0.138時，在中部圓形裂口左右兩側(cè)各萌生了一條微裂紋，這兩條微裂紋8個原子尺度之長。圖3(c2)給出，裂紋擴展方式為沿主次原子排列方向交替改變裂尖前進方向。在這裂紋擴展階段，裂尖改變方向前進的距離幾乎相等，所以此裂紋呈水平狀分布。隨著應變量的繼續(xù)增加，當應變量增加到0.186時，觀察圖3(c3)，可見此裂紋明顯比圖3(b3)的裂紋趨于水平，且比它要粗。當應變量增加至0.210時，此時裂紋為水平狀，長度約為整個模擬試樣水平長度的三分之二，明顯比圖3(a4)和圖3(b4)要短。

4 結(jié)論

本文采用晶體相場法研究施加預拉伸變形下的裂紋尖端擴展行為，結(jié)果表明：預拉伸量為0的圓形裂口在拉伸應變作用下，在拉伸應變量達到0.13左右時候開始擴展，在此時，沿x軸預拉伸變形量為1%、2%的樣品，在相同的應變量下都已發(fā)生擴展，且預拉伸變形量越大，同一變形量下裂紋越長。不同預拉伸變形下的樣品，在受到拉應變時，預變形量越大，起裂的臨界應變越小。在裂紋擴展模擬的后期，應力的作用直接導致某固定原子排列方向的原子鍵斷裂，出現(xiàn)微裂紋尖端的解理擴展。對于沒有預拉伸作用的裂口樣品, 解理裂開方向與拉伸應變方向夾角約為60°，并以裂紋尖端中心線為軸線形成了類似孿晶的對稱原子晶格排列，這與實驗研究結(jié)果一致。

[1] 邵宇飛, 王紹青. 基于準連續(xù)介質(zhì)方法模擬納米多晶體Ni中裂紋的擴展[J]. 物理學報, 2010, 10: 7258-7265.

[2] S Loehnert, C Prange, P Wriggers. Error controlled adaptive multiscale XFEM simulation of cracks[J]. Int. J. Fracture, 2012, 178:147-156.

[3] Daniele Colombo, PatrickMassinb. Fast and robust level set update for 3D non-planar X-FEM crack propagation modelling[J]. Comput. Method. Appl. M. 2011, 200: 2160-2180.

[4] M A Arafin , J A Szpunar1. A new understanding of intergranular stress corrosion cracking resistance of pipeline steel through grain boundary character and crystallographic texture studies[J]. Corros. Sci, 2009, 51:119-126.

[5] F Cadini, E Zio, D Avram. Monte Carlo-based filtering for fatigue crack growth estimation[J]. Eng. Mech, 2009, 24: 367-373.

[6] 劉曉波, 徐慶軍, 劉劍. 鋁裂紋擴展行為的分子動力學模擬[J]. 中國有色金屬學報, 2014, 24: 1408-1413.

[7] Lei Ma, ShifangXiao, Huiqiu Deng, et al. Molecular dynamics simulation of fatigue crack propagation in bcc iron under cyclic loading[J]. International Journal of Fatigue, 2014, 68: 253-257.

[8] 劉曉驊, 鄧國忠, 黃照峰, 等. 納米晶體材料小角度晶界湮沒過程研究[J]. 廣西物理, 2015, 36: 1-4.

[9] K R Elder, Martin Grant. Modeling elastic and plastic deformations in nonequilibrium processing using phase field crystals[J]. Phys. Rev. E, 2004, 70: 51605-51609.

[10] J Berry, M Grant, K R Elder. Diffusive atomistic dynamics of edge dislocations in two dimensions[J]. Phys. Rev. E, 2006, 73: 609-615.

[11] 毛鴻, 羅志榮, 黃世葉, 等. 材料裂紋擴展分叉機理的晶體相場法研究[J]. 廣西科學, 2015, (05): 499-505.

[12] 高英俊, 羅志榮, 鄧芊芊, 等. 韌性材料的微裂紋擴展與分叉的晶體相場模擬[J]. 計算物理，2014，31: 471-484.

[13] 盧成健, 蔣麗婷, 王玉玲, 等. 晶體相場法模擬小角度晶界的位錯結(jié)構(gòu)及其演化[J]. 廣西科學, 2013, 20(4): 316-320.

[14] 田素貴, 薛永超, 曾征, 等. 一種鎳基單晶合金的中溫蠕變斷裂機制[J]. 稀有金屬材料與工程, 2014, 43: 1092-1098.

O346.1

A

1003-7551(2016)01-0011-05

2016-01-10

國家自然科學基金項目(51161003)；廣西研究生教育創(chuàng)新計劃項目(YCSZ5015029)；廣西大學生科技創(chuàng)新基金項目(201610593218, 201610593220)

? 通訊作者：gaoyj@gxu.edu.cn