☉重慶市墊江第一中學(xué)校 嚴(yán)達強

探究題目結(jié)論拓展曲線內(nèi)涵

☉重慶市墊江第一中學(xué)校 嚴(yán)達強

數(shù)學(xué)問題中通常蘊含著豐富的結(jié)論，對結(jié)論的探究可拓展我們思考問題的視角.圓錐曲線問題一直以來都是學(xué)生最為頭疼的問題之一，在平時的解題訓(xùn)練中若善于挖掘題目中隱含的一般結(jié)論，并借助該結(jié)論解題，可減少計算過程，這對于分秒必爭的高考有實際意義.本文以一道橢圓問題的題目探究為例進行說明.

（1）求動點E的軌跡C的方程；

（2）設(shè)過點F（1，0）的直線l與曲線C相交于不同的兩點M、N.若點P在y軸上，且|PM|＝|PN|，求點P的縱坐標(biāo)的取值范圍.

（2）略.

本題的命制可追根于人教版一道教材例題：

例2如圖1，設(shè)點A、B的坐標(biāo)分別為（-5，0）、（5，0）.直線AM、BM相交于點M，且它們的斜率之積是-，求點M的軌跡方程.

圖1

由此可見，在坐標(biāo)軸內(nèi)，動點（x，y）到兩定點（a，0）、（-a，0）的斜率乘積等于常數(shù)m（-1＜m＜0）的點的軌跡為橢圓（除去x＝±a）.

一、結(jié)論探究

圖2

證明：如圖2，設(shè)點A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）（x0≠x1，x0≠x2）.

這個結(jié)論我們常稱之為橢圓的第三定義.

若將A、B為頂點的條件換成A、B是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，結(jié)論是否成立呢？

二、探究變換

圖3

解析：如圖3，構(gòu)造△PAB，設(shè)邊PA所對的中位線為OC.設(shè)點A（x1，y1），B（x2，y2），于是所以整理得，即kAP·kOC=-.又OC∥BP，所以kOC=kBP，于是kA·PkBP=-.

三、結(jié)論拓展

圖4

解析：如圖4，構(gòu)造△PAB，設(shè)邊PA所對的中位線為OM.設(shè)點A（x1，y1），B（x2，y2），于是所以整理得

又OM平行于BP，所以kOM=kPB，于是kPA·kPB=

四、結(jié)論應(yīng)用

（1）求橢圓E的方程；

（2）過坐標(biāo)原點O作不與坐標(biāo)軸重合的直線l交橢圓于P、Q兩點，過點P作x軸的垂線，垂足為D，連接QD并延長交橢圓于點E，試判斷隨著直線l的轉(zhuǎn)動，直線PE與直線l的斜率的乘積是否為定值？并說明理由.

圖5

（2）方法1：設(shè)直線l的方程為y=kx，P（x1，y1），E（x2， y2），則Q（-x1，-y1），D（x1，0），直線QD的斜率直線QD的方程為得，所以kPE·.所以直線PE與直線l的斜率的乘積是定值-.

方法2：設(shè)P（x1，y1），E（x2，y2），則Q（-x1，-y1），D（x1，0），

橢圓具有第一、第二定義，反映了現(xiàn)實中橢圓的不同生成方式，多重性正是橢圓性質(zhì)的豐富體現(xiàn).以上我們通過對問題的探究，從不同的視角認(rèn)識了圓錐曲線，也了解了利用一些結(jié)論處理問題的方法，進而拓寬了我們解決問題的思維.F