☉湖北武漢華中科技大學附屬中學 李青林

☉湖北武漢華中科技大學附屬中學 楊宇

高三一輪復習要把握“四度”

☉湖北武漢華中科技大學附屬中學 李青林

☉湖北武漢華中科技大學附屬中學 楊宇

前不久，因為廣西柳鐵二中老師要來華中科技大學附屬中學交流，為此李青林老師上了一堂高三一輪復習課——一元二次不等式及其解法.課后兩所學校的老師在一起探討交流如何上好高三一輪復習課.筆者將其整理成文，與廣大讀者共同探討.

一、課堂實錄

師：今天我們來繼續(xù)復習一元二次不等式及其解法，首先我們看一個例題.

例1解關于x的不等式-2x2+x+3＜0.

師：這是一個解一元二次不等式的問題，那么什么叫一元二次不等式？一元，是指什么？二次，是指什么？（結(jié)合學生的回答板書）

師：那么這樣的不等式怎么解呢？

生1：令-2x2+x+3＝0，用因式分解的方法求方程的根.

師：兩根分別是多少？

師：她之所以難以抉擇，是因為二次項系數(shù)為負，容易犯錯.那么我們應該怎么做？

師：不等式的解集為何不是兩根之間？

生1：畫二次函數(shù)圖像，結(jié)合圖像可以看出原不等式的解集應該是兩根之外.

師：非常好.從她的解答過程我們能體會到二次方程、二次函數(shù)、二次不等式之間的關系密切，三者之間到底有什么樣的關系呢？（結(jié)合學生的回答板書）

師：繼續(xù)回到我們的這個例題中來，通過生1的解答我們總結(jié)一下解一元二次不等式的一般步驟是什么？（通過學生的回答板書）

師：有了這種解題步驟，我們來練習兩個小題.

變式1：解關于x的不等式：x2-（3+a）x+3a＞0.（學生板演）

生2：因為x2-（3+a）x+3a＞0，所以（x-3）（x-a）＞0.

①當a＜3時，x＜a或x＞3，不等式的解集為｛x|x＜a或x＞3｝；

②當a＞3時，x＜3或x＞a，不等式的解集為｛x|x＜3或x＞a｝.

師：你討論了a＞3，a＜3，那么還少了哪一類？

生2：當a＝3時，不等式為（x-3）2＞0，不等式的解集為｛x|x∈R且x≠3｝.

師：非常好，補充之后解答就完整了.變式1中如果將后面的a移至二次項系數(shù)，即ax2-（3+a）x+3＞0，那么我們要如何討論呢？

生3：關注二次項系數(shù)是否為0，以及正負，還有兩根的大小.

師：很好，對于含參的不等式的解題步驟同上，但我們經(jīng)常要討論：①二次項的系數(shù)；②判別式的正負；③兩根的大小.（教師板書補充）

變式2：已知一元二次不等式f（x）＜0的解集為｛x|x＜-1或x＞｝，則（f10x）＞0的解集為________（.學生板演）

師：我們再看變式2，它是一個逆向問題，該同學的解法我們可以看到他始終抓住了二次不等式的解集、二次方程的根與二次函數(shù)的零點之間的聯(lián)系，注重了數(shù)形結(jié)合.

例2設函數(shù)f（x）＝mx2-mx-1.

（1）若f（x）＜0的解集為R，求實數(shù)m的取值范圍.

（2）若f（x）＜-m+5對任意x∈［1，3］恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.（兩名學生同時板演）

師：這個函數(shù)一定是二次函數(shù)嗎？為什么？

生5：不一定.當m＝0時該函數(shù)不是二次函數(shù).所以要討論.當m＝0時，滿足題意；當m≠0時，該函數(shù)是二次函數(shù)，解法如上.綜上-4＜m≤0.

師：非常好.我們注意到這里的解集為R，換句話說就是對?x∈R，f（x）＜0恒成立.同樣是恒成立問題，我們來看生6的解答過程.

生6：將不等式化成mx2-mx+m-6＜0，當m＝0時，滿足題意；當m≠0時，令g（x）＝mx2-mx+m-6，并整理成g（x）＝（x2-x+1）m-6，將g（x）看成關于m的函數(shù)，只要即可，解得m＜.

師：為什么只需要1和3對應的函數(shù)值小于0就可以了呢？

生6：因為x2-x+1的對稱軸為x＝?（1，3），所以函數(shù)在此區(qū)間為單調(diào)函數(shù).

師：有了生6的這種解釋以后，上述解答過程就比較完整了.從生6的解答過程我們可以看到，他將恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.對于恒成立問題我們還有哪些常用解法？

生7：分離參數(shù).

師：這個問題我們能分離參數(shù)嗎？

生7：可以.由題意得原不等式可以轉(zhuǎn)化為mx2-mx-1＜-m+5，故m（x2-x+1）＜6.因為，所以，因為x∈［1，3］，所以φ（x）＝φ（3）＝，所以m＜.min

師：通過以上討論，我們發(fā)現(xiàn)逆向問題可通過以下幾種方法解決——①三個“二”的關系；②轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題；③分離參數(shù).（教師繼續(xù)板書）

師：有了上述方法，你能解決如下問題嗎？

（3）若f（x）＜0對任意m∈［-1，1］恒成立，求實數(shù)x的取值范圍.

（4）若f（x）的值域為（-∞，0］，且關于x的不等式f（x）＞c的解集為（t，t+5），求實數(shù)c和t的值.

生8：把m看作是自變量.

師：非常好.那么原函數(shù)表達式可看成是關于變量m的什么函數(shù)？此函數(shù)小于零恒成立需要滿足什么條件？

生8：一次函數(shù)，兩個端點的函數(shù)值小于0就可以了.即令h（m）＝mx2-mx-1＝（x2-x）m-1，令

師：解決第（4）小問之前，首先思考一個問題：f（x）＜0恒成立與f（x）的值域為（-∞，0］有區(qū)別嗎？

生9：f（x）＜0恒成立即函數(shù)f（x）的圖像恒在x軸下方，f（x）的值域為（-∞，0］，即函數(shù)f（x）的圖像與x軸相切.

師：回答得很好，這個問題留給同學們課后解決.

師：本節(jié)課你學到了什么知識或數(shù)學思想方法？你能總結(jié)一下嗎？請把你的總結(jié)寫在草稿本上.

師：李老師也對這節(jié)課進行了一個框圖式的總結(jié)，現(xiàn)跟大家分享一下（課件展示如圖1）.

圖1

二、專家點評與課后反思

高三一輪復習課要有“四度”.

1.坡度

人們常說一個好的老師必需尊重學生、關愛學生.尊重學生、關愛學生不僅要體現(xiàn)在對學生文化成績、身體健康與心理狀況上的關注，更要體現(xiàn)在課堂上如何尊重學生、關愛學生.因為學生有個體差異，教師精心設置出低起點、又層層遞進的課堂是真正關愛學生的體現(xiàn).蘇霍姆林斯基說過：“人的心靈深處都有一種根深蒂固的需求——這就是希望自己是一個發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者.”設置好了坡度，便是給學生提供了一個臺階讓其成為發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者.本節(jié)課例題的設置由淺入深，問題的提出從易到難.讓所有學生的思維都能動起來，又不會輕而易舉地解決問題，形成一種金字塔式的思維上升的模式.

2.深度

數(shù)學課堂是一種重視思維的課堂，思維的訓練是通過題目為載體的，離開了例題就談不上什么方法，所以例題的選取對整堂課起著很重要的作用.數(shù)學課堂又不僅僅做題.光是習題的堆砌學生不會有太大的收獲，充其量是刷題，所以，一堂好的復習課必須要有深度.要使一節(jié)復習課有深度，除精心選題外，更主要的是解題后上升到一種思想方法.如果說好的例題是一杯白開水的話，那么思想方法的總結(jié)就是白糖，只有加入適量的白糖，水才會甘甜.本節(jié)課從例題中提煉知識和方法，水到渠成.正所謂“題不在多，有思則靈，法不在全，有度則深”.但是“深度”不是“難度”.本節(jié)課從一個簡單的問題小結(jié)出解一元二次不等式的步驟，從學生的解答過程中體現(xiàn)出由數(shù)到形、由形又到數(shù)的數(shù)形結(jié)合思想，在展示學生錯誤的解法過程中引起了認知沖突，挖掘了轉(zhuǎn)化與化歸的思想.一節(jié)課有了思維沖突，才有深度；有了深度，才有內(nèi)涵；有了內(nèi)涵，才有味道.

3.高度

許多老師對數(shù)學的理解有獨特見解，但只顧著自己講題過癮，給人的感覺便是老師到了“會當凌絕頂，一覽眾山小”的高度，而“學生卻云深不知處”，最后只剩下老師“高處不勝寒”.究其原因，老師過多地代替學生思考、代替學生講解、代替學生總結(jié).而高三的學生基礎知識都已經(jīng)學習過，一輪復習主要是夯實基礎，形成知識網(wǎng)絡，建立聯(lián)系.只有這樣，學生才能真正地體會到登到山頂?shù)耐纯?課堂小結(jié)無疑是學生建立聯(lián)系的好的機會，何不把這樣的機會讓給學生.不管他總結(jié)得是否全面，是否完美，但只要認真想，他自己的結(jié)果往往比老師的總結(jié)更有幫助.本節(jié)課教師先給學生一個思想升華的空間，然后與學生一起分享自己的成果，在和學生平等的前提下共同提高.教師做到了站得高看得遠，真正落實了以學生為主體，以教師為主導的教育思想.

4.精度

數(shù)學語言的最大特點就是嚴密與精煉.斯托利亞在《數(shù)學教育學》一書中指出：“數(shù)學教學也就是數(shù)學語言的教學.”教師在教學過程中，要想將抽象、嚴密的邏輯推理過程直觀形象地表現(xiàn)出來，數(shù)學語言作為一種科學語言工具，它是數(shù)學的載體，通過它，師生共同學習，探索數(shù)學規(guī)律，領會數(shù)學知識，會更加簡單而快捷.因此，一方面，教師講課的時候要注意數(shù)學語言的規(guī)范使用，通過數(shù)學語言的交流使學生對數(shù)學問題由淺入深、由表及里、由特殊到一般地去仔細品味，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，使他們有機會由感性認識上升到理性認識，由實踐到認識產(chǎn)生質(zhì)的飛躍.另一方面，在給學生講解的過程中，要特別重視語言的準確、嚴密，引導學生用科學的語言進行敘述，對學生形成潛移默化的引導；學生在討論、回答問題時也運用數(shù)學語言，不斷增強運用數(shù)學語言的能力，課堂的實效性才會真正地得到提高.本節(jié)課教師的語言不是特別的精煉，有時略顯啰唆，可以進一步提高.

（本文的撰寫感謝華中科技大學附屬中學和廣西柳州鐵二中的老師的點評和意見）

1.楊愛云，蔡小雄.數(shù)學復習課應有的“二味”“三度”［J］.數(shù)學通訊，2015（4）.

2.王曉蘇，“好”題還要講“好”——高三數(shù)學復習課教學的一點體會［J］.中學數(shù)學（上），2015（4）.F