☉廣州市真光中學(xué) 金明

三評(píng)三講一變式
——提高試卷講評(píng)課效果之我見

☉廣州市真光中學(xué) 金明

一、問題提出

試卷講評(píng)課是高三數(shù)學(xué)教學(xué)的重要課型.但試卷講評(píng)課的效果如何呢？值得探討.教學(xué)中常常見到這樣的現(xiàn)象：為了追求高效率，教師一節(jié)課講十幾題，甚至更多.教師在講臺(tái)上一題一題的講，學(xué)生在下面默默的聽；教師講得苦，學(xué)生聽得累.課堂教學(xué)沉悶，教學(xué)效果不好.究其原因不是學(xué)生不想學(xué)，而是教師對(duì)學(xué)生存在的問題分析不夠，沒有找準(zhǔn)學(xué)生的困惑點(diǎn)；教師對(duì)學(xué)生思維的閃光點(diǎn)關(guān)注不夠，沒有將其深化、拓展；教師對(duì)學(xué)生存在的問題如何解決重視不夠，沒有設(shè)計(jì)有效的變式練習(xí)、查了漏洞但補(bǔ)救措施不力.長(zhǎng)此下去，學(xué)生對(duì)講評(píng)課興趣不濃，因而效果不好.怎樣提高講評(píng)課的效果呢？筆者通過(guò)一道月考題的講評(píng)實(shí)踐，談?wù)勛约旱目捶?

二、課堂教學(xué)實(shí)踐

問題：平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：（a>0，b>0）的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別是.以 F1為圓心3為半徑的圓與以F2為圓心1為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓C上.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（2）求△ABQ面積的最大值.

本題為我校高三12月月考題，選自2015年高考山東卷.它是一道圓錐曲線綜合題，考查了橢圓的定義、方程、直線與圓錐曲線的位置、求最值等知識(shí)；考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化化歸等數(shù)學(xué)思想方法.通過(guò)該題的考試，發(fā)現(xiàn)了學(xué)生在很多知識(shí)、方法方面的漏洞，也發(fā)現(xiàn)了學(xué)生思維的閃光點(diǎn).講評(píng)前筆者對(duì)學(xué)生的答卷進(jìn)行了認(rèn)真的分析與準(zhǔn)備.講評(píng)時(shí)采取先暴露學(xué)生的問題，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，再師生合作共同探討幫助解決問題.以下是教學(xué)實(shí)錄片斷：

1.評(píng)對(duì)錯(cuò)，找困惑點(diǎn)與著力點(diǎn)，講概念

試卷講評(píng)關(guān)鍵是要找準(zhǔn)學(xué)生的問題：是知識(shí)上存在缺陷還是方法上存在問題？是思維能力達(dá)不到還是別的什么問題？找準(zhǔn)了問題再思考從哪些方面著力，突破學(xué)生的思維障礙.

教學(xué)片斷一：第（1）問的分析與探討.

教師先投影學(xué)生1的解法：設(shè)P（x0，y0），F(xiàn)1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）.

解得a2=……做不下去了.

師：請(qǐng)同學(xué)們思考一下生1的做法，看有什么問題？

生2：這位同學(xué)每一個(gè)式子都是對(duì)的，就是參數(shù)太多，消不了，做不出來(lái).

生4：這道題哪里需要這么繁，只需理解：以F1為圓心3為半徑的圓與以F2為圓心1為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓C上.由橢圓定義可知|PF1|+|PF2|＝2a＝4，口算就能得出結(jié)論.

師：大家的討論都有道理.看來(lái)理解題意很重要，畫出圖形可幫助我們理解題意.用定義解題是解決圓錐曲線問題的重要方法.問題是怎么想到要用定義？何時(shí)用定義，是同學(xué)們學(xué)習(xí)的薄弱環(huán)節(jié).請(qǐng)同學(xué)們思考以下變式題：

變式題1：已知圓M：（x+1）2+y2＝1，圓N：（x-1）2+y2＝0，動(dòng)圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C.求C的方程.

A.|MO|-|MT|＞b-aB.|MO|-|MT|＜b-a

C.|MO|-|MT|＝b-aD.|MO|-|MT|與b-a無(wú)關(guān)

教學(xué)感悟：教師首先投影學(xué)生的解題過(guò)程，讓學(xué)生分析、討論，找出存在的問題與不足，并讓學(xué)生幫忙解決問題.問題從學(xué)生中來(lái)，解決措施也來(lái)自學(xué)生，更貼近學(xué)生的實(shí)際，吸引更多的學(xué)生參與到教學(xué)中來(lái).找到了問題，教師引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)相關(guān)的核心概念，并設(shè)計(jì)了2個(gè)變式題讓學(xué)生思考練習(xí)，強(qiáng)化鞏固所學(xué)概念，解決難點(diǎn).

2.評(píng)差異，找重點(diǎn)與閃光點(diǎn)，講方法

所謂評(píng)差異就是展示學(xué)生不同的解題思路，并進(jìn)行比較分析，找出優(yōu)缺點(diǎn)，找學(xué)生解題中的閃光點(diǎn)；然后確定應(yīng)該突破的重點(diǎn)與難點(diǎn)，講此題用到的基本方法.

教學(xué)片斷二：第（Ⅱ）題第（1）問的分析與探討.

教師先投影學(xué)生5、學(xué)生6的解法：

設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則有

設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則直線OP的方程為y＝

師：請(qǐng)同學(xué)們分析一下生5與生6的做法，有無(wú)問題，能否做下去？

生7：我覺得生5的做法沒問題，每個(gè)式子都是對(duì)的，就是參數(shù)太多，運(yùn)算量太大.至于怎么做下去，我沒想好.

生8：我的做法與生5的差不多，我的解法如下：設(shè)OP的方程為y＝kx，由可求P點(diǎn)坐標(biāo)，得.同理，由可求Q點(diǎn)坐標(biāo)，得

（生眾非常激動(dòng)，不自覺地為生8鼓掌.）

生9：我覺得生8的做法有點(diǎn)小問題，他沒考慮直線OP的斜率不存在的情況，所以還要將這種特殊情況寫出來(lái).

生10：生6的解法也可進(jìn)行下去，她還有個(gè)條件沒用：點(diǎn)P（x1，y）1在橢圓C：所以有

師：剛才幾位同學(xué)分析得非常好.生5、生6的思路是對(duì)的，也能做下去，但在考場(chǎng)上出現(xiàn)了問題，說(shuō)明了此方法不夠簡(jiǎn)潔.究其原因是參數(shù)設(shè)得太多，影響了順利消參.為此，解題時(shí)參數(shù)不要設(shè)得太多.另外，設(shè)點(diǎn)斜式時(shí)要考慮特殊情況（即斜率不存在的情況），本題中從特殊情況出發(fā)可很快得出結(jié)論，還有別的解法嗎？

生11：設(shè)P（x，kx），Q（x，kx）.由點(diǎn)P在橢圓C上知+

1122.由點(diǎn)Q在橢圓E上知，得

生12：我是用參數(shù)方程解的.設(shè)P（2cosα，sinα），則Q（4cos（α+π），2sin（α+π））.

師：非常不錯(cuò)，這些同學(xué)的解法非常優(yōu)秀.生11的解法與生8的解法類似，但更簡(jiǎn)潔.生12的解法用到橢圓的參數(shù)方程，他關(guān)注到P、Q在同一直線上，設(shè)角度分別為α，π+α，解法更加快捷方便.生13化未知為已知，設(shè)＝λ，將比值問題轉(zhuǎn)化為向量問題＝-λ，方法獨(dú)到，非常好.經(jīng)過(guò)同學(xué)們的合作，我們找到此題的6種解法.

教學(xué)感悟：教學(xué)過(guò)程中，教師要有意識(shí)地創(chuàng)設(shè)問題情境，投影展示生5、生6不成功的解法，以此創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生思考.讓學(xué)生思考、探究、交流，留有充裕的時(shí)間讓學(xué)生質(zhì)疑問難；引導(dǎo)學(xué)生討論，暢所欲言，積極發(fā)表意見.學(xué)生的思維在交流中得到了碰撞，大大地激發(fā)了學(xué)生的求知欲望和探索興趣；經(jīng)過(guò)教師的追問和學(xué)生的積極探究，課堂生成了6種解法，溝通了知識(shí)之間的聯(lián)系，拓展了學(xué)生思維空間.從以上教學(xué)片斷，不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生掌握了探究知識(shí)的主動(dòng)權(quán)，教師幾乎沒有講解，只是預(yù)設(shè)問題，適時(shí)追問，極力營(yíng)造生動(dòng)和諧的課堂氛圍，寬松的思維環(huán)境，最大化地激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，學(xué)生由被動(dòng)接受變?yōu)橹鲃?dòng)思考、主動(dòng)探究、主動(dòng)解決問題，教師只是引導(dǎo)學(xué)生歸納、提煉解題的基本方法.

3.評(píng)核心，找難點(diǎn)與回避點(diǎn)，講思想方法

評(píng)核心就是評(píng)此題用到的核心概念、核心方法.找到學(xué)生解題時(shí)遇到的難點(diǎn)，從而確定不同層次的學(xué)生（優(yōu)生、中等生、后進(jìn)生）應(yīng)當(dāng)在哪些方面努力，哪些方面可以暫時(shí)回避.

教學(xué)片斷三：第（Ⅱ）題第（2）問的分析與探討.

教師先投影學(xué)生14的解法：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），將y＝kx+m代入橢圓E的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-16＝0，由Δ＞0可得m2＜4+16k2①.

又x1+x2＝故|AB|＝

設(shè)Q（x0，y0），由Q到直線AB的距離為

師：請(qǐng)同學(xué)們分析一下生14的解法有什么問題，如何改正.

生15：還是參數(shù)太多，無(wú)法消參.

生16：參數(shù)k、m是題中所給，是必要的.但多出的參數(shù)x0、y0不好處理.

師：上面兩位同學(xué)點(diǎn)出了關(guān)鍵，怎么求解呢？能聯(lián)想到第（1）問嗎？

生17：哦，先求△AOB的面積，再利用S△QAB＝3S△OAB即可，這樣就不會(huì)有參數(shù)x0、y0了.

生18：我也是先求△AOB的面積，但是做到S△AOB＝時(shí)就不知該如何求最值了.

生19：有兩個(gè)參數(shù)k、m，解題方法通常是換元成一個(gè)參數(shù)或者用基本不等式.先變形為換元設(shè)t＝，這樣就容易了，當(dāng)然要注意求t的范圍.

師：經(jīng)過(guò)同學(xué)們的討論我們發(fā)現(xiàn)這一問的難點(diǎn)是轉(zhuǎn)化.將不易解決的問題（如求S△QAB）轉(zhuǎn)化為易解決的問題（如求△AOB的面積），關(guān)鍵是要發(fā)掘第（1）問的結(jié)論，還有一個(gè)是要學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化.轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)的核心與靈魂.

教學(xué)感悟：教學(xué)過(guò)程中，教師投影展示生14不成功的解法，引導(dǎo)學(xué)生交流，讓學(xué)生發(fā)表看法，引出學(xué)生的疑問與困惑，然后導(dǎo)出核心思想：轉(zhuǎn)化與化歸的思想；核心方法：直線與圓錐曲線聯(lián)立，韋達(dá)定理，設(shè)而不求；換元法，基本不等式求最值等.對(duì)不同層次學(xué)生提出不同的要求，如所有學(xué)生應(yīng)掌握：直線與圓錐曲線聯(lián)立，韋達(dá)定理，設(shè)而不求；中等生應(yīng)領(lǐng)悟基本不等式求最值；優(yōu)生要熟練掌握以上各種方法.

4.變式訓(xùn)練，解決存在問題

通過(guò)此題的解答，發(fā)現(xiàn)了學(xué)生在基礎(chǔ)知識(shí)與能力方面存在的問題.既然有問題，就要及時(shí)解決，這樣學(xué)生就有興趣上講評(píng)課了.同時(shí)設(shè)計(jì)針對(duì)性的練習(xí)，有助于學(xué)生鞏固基礎(chǔ)，提高能力.為此，本節(jié)課筆者設(shè)計(jì)的變式練習(xí)如下：

（1）△ABC的頂點(diǎn)A（-5，0），B（5，0），△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x＝3上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是__________.

圖1

（2）如圖1所示，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M在AB上，且AM＝AB，點(diǎn)P在平面ABCD上，且動(dòng)點(diǎn)P到直線A1D1的距離的平方與點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離的平方差為1，在平面直角坐標(biāo)系xAy中，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是____________.

（4）已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2+y2-2x+4y=0，則x-2y的最大值是________.

（6）如圖2，已知兩條拋物線E1：y2=2p1x（p1>0）和E2：y2=2p2x（p2>0），過(guò)原點(diǎn)O的兩條直線l1和l2，l1與E1、E2分別交于A1、A2兩點(diǎn)，l2與E1、E2分別交于B1、B2兩點(diǎn).

證明：A1B1∥A2B2.

圖2

①求橢圓C的方程；

②當(dāng)過(guò)點(diǎn)P（4，1）的動(dòng)直線l與橢圓C相交于兩不同點(diǎn)A、B時(shí)，在線段AB上取點(diǎn)Q，滿足證明：點(diǎn)Q總在某定直線上

設(shè)計(jì)意圖：（1）、（2）兩題是用定義解題，第（3）題是用三角換元或數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為切線問題解題，第（4）題是用三角換元或化未知為已知轉(zhuǎn)化為直線與圓有交點(diǎn)問題，第（5）題是解決如何用基本不等式求最值問題，第（6）題是解決如何設(shè)參數(shù)問題，第（7）題是探討如何將比例式化為向量式和如何消參等問題.以上問題的設(shè)計(jì)是針對(duì)學(xué)生在解題時(shí)出現(xiàn)的問題（有知識(shí)層面也有方法層面）而設(shè)計(jì)的，目的是鞏固學(xué)生的基礎(chǔ)與提升學(xué)生的能力，選題針對(duì)性強(qiáng)，為學(xué)生的進(jìn)一步探索提供了素材.

三、上好試卷講評(píng)課的思考

當(dāng)前，講評(píng)課教學(xué)效率不高，學(xué)生興趣不濃是普遍現(xiàn)象，可能很大程度是我們老師貪多求快，對(duì)學(xué)生不放心；企圖課堂上多講幾道題，以為學(xué)生就會(huì)多領(lǐng)會(huì)一點(diǎn)，多掌握一些；對(duì)學(xué)生的需求關(guān)注不夠，對(duì)學(xué)生的思維能力的培養(yǎng)研究不夠，對(duì)學(xué)生的試卷分析不到位.

1.上好試卷講評(píng)課，要做好研究、交流剖析問題、拓展思維空間

上好講評(píng)課首先要認(rèn)真分析學(xué)生的試卷，善于發(fā)現(xiàn)存在的問題與思維的閃光點(diǎn).課堂上教師要展示學(xué)生的解法，讓學(xué)生討論，讓學(xué)生辯析，找出存在的問題與閃光點(diǎn)，并讓學(xué)生討論解決錯(cuò)誤的方法；盡可能多地展示來(lái)自學(xué)生的不同解法，拓展學(xué)生的思維空間.如本節(jié)課教師研究了學(xué)生的解法，都是從學(xué)生解題過(guò)程的剖析入手，讓學(xué)生討論存在的問題與思維的閃光點(diǎn)，讓學(xué)生探索此題的正確解法.教師要善于總結(jié)與引導(dǎo)，幫助學(xué)生理清解題思路與解題方法，使思路與方法系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化.試卷講評(píng)課如何吸引學(xué)生使學(xué)生愿聽、愿想、愿探究，關(guān)鍵是要研究學(xué)生與試題，課堂上通過(guò)對(duì)重點(diǎn)題的研究，能輻射到多種思想方法或能起到構(gòu)建知識(shí)框架的作用，或能揭示一般性的解題方法，從而達(dá)到教學(xué)效益的最大化.

2.上好試卷講評(píng)課，要做好查漏補(bǔ)缺、一題多思、一題多變等工作

對(duì)學(xué)生的不足之處，要設(shè)計(jì)變式題補(bǔ)救，不能放任自由.有的變式題在課堂上完成，有的要作為課后作業(yè).變式題的設(shè)計(jì)要有針對(duì)性，針對(duì)學(xué)生存在的問題，使學(xué)生通過(guò)變式題的練習(xí)與探索，能查漏補(bǔ)缺、拓展思維、提升能力.如本節(jié)課設(shè)計(jì)的7道變式題就是根據(jù)學(xué)生存在的問題而設(shè)計(jì)的，針對(duì)性強(qiáng).同時(shí)通過(guò)以上問題的變式探究，使學(xué)生在思考、比較、歸納的過(guò)程中，理清基礎(chǔ)知識(shí)，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，形成思維能力.

1.金明，葉東芳.數(shù)學(xué)教學(xué)要重視知識(shí)的形成過(guò)程［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2015（7）.

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5.李真福.對(duì)一道高考模擬題的思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2011（7）.F