☉湖北省武漢中學 蔣怡

讓高中數(shù)學課堂更有數(shù)學味道
——一節(jié)《圓的切線問題》教學實錄

☉湖北省武漢中學 蔣怡

我有幸參加了武漢市骨干教師課堂設(shè)計研修班的學習，能夠和武漢市6位特級老師面對面學習交流，收獲頗多.其中有著70歲高齡的數(shù)學特級教師田化瀾一直教導我們：“數(shù)學課堂，老師一定要講出數(shù)學的味，數(shù)學的道，數(shù)學的美.”數(shù)學的美我們體會頗多，一般反映在簡明美、對稱美、奇異美、序列美等方面.那“數(shù)學課堂的味道”又是什么？

結(jié)合數(shù)學的本質(zhì)及數(shù)學教學的本質(zhì)，我認為“數(shù)學的味道”應(yīng)該體現(xiàn)數(shù)學的抽象性、推理性、探索性、問題性及數(shù)學語言表達等特點.我從教學實踐中體會到，課堂上要具有數(shù)學味道，就應(yīng)該把數(shù)學教學放在思想與意義的長河之中，不是單純的數(shù)學知識與技能記憶的訓練，而是通過數(shù)學教學，讓學生在掌握知識和技能的過程中，學會用數(shù)學的思想方法思考，學會用數(shù)學的思維方式觀察.那么，數(shù)學課如何上出“數(shù)學的味道”來呢？我以自己《圓的切線問題》一節(jié)課的課堂實錄及教學反思，來和同行們探討.

一、教學過程簡錄

1.問題引導，經(jīng)歷數(shù)學探索的味道

問題1：已知圓的方程是x2+y2=r2，求經(jīng)過圓上一點M（x0，y0）的圓的切線方程.

（學生動筆，老師巡視，請一名已有解題思路的同學在黑板上完整解答.）

同學1：如圖1，設(shè)所求直線方程的斜率為k，則點斜式寫出直線方程為y-y0=k（x-x0），即kx-y+y0-kx0=0.①

圖1

化簡整理②式得（r2-）k2+2x0y0k+r2-=0.

這位同學寫到這兒，發(fā)現(xiàn)不容易求解k，一籌莫展.

同學2：這種求切線斜率方法太麻煩了，可以利用切點與圓心的連線與切線垂直，直接得到切線斜率為，所以經(jīng)過點M的切線方程是，整理得x0x+y0y=+

因為點M在圓上，所以x0x+y0y=r2.

（不少同學在下面點頭贊同）

教師：同學1是利用直線與圓相切的幾何判定——圓心到直線的距離等于半徑，用方程的思想求解k，因為方程中字母較多，求解k有一定的難度；同學2巧妙借助于圓上切點的性質(zhì)，很快得到切線斜率，點斜式寫出切線方程，很好.

問題2：雖然同學1的解答不是很簡潔，但我在下面巡視時發(fā)現(xiàn)，這也是部分同學第一直觀做法，同樣解答到這兒的困難是求解k，你能幫助他們繼續(xù)完成此題嗎？

（給出2分鐘思考后，我讓解決了此問題的同學談?wù)勈窃趺聪氲模?/p>

同學3：這個關(guān)于k的二次方程的系數(shù)與x0，y0，r有關(guān)，為了方便因式分解，我利用點M在圓上的條件代換得到

教師：這位同學很善于觀察思考，利用等量代換減少方程中變元個數(shù)，使問題變得更清晰，易解答.

問題3：請同學們思考，以上同學解答過程嚴謹嗎？

（立馬有同學舉手）

同學4：用點斜式寫直線方程時，不含與x軸垂直的直線，所以還需分類討論.他們求出的k=-，是在y≠0

0前提下解答的，當y0=0時，x0=±r，也適合x0x+y0y=r2，只有分類討論后解答才算嚴謹?shù)?

教師：非常好，這也是我們平時作業(yè)中的易錯點，同學們要注意用點斜式寫直線方程的局限性，要分斜率存在或不存在兩種情況討論，分類討論也是數(shù)學中常見的一種數(shù)學思想.

問題4：切點與圓心的連線與切線垂直的條件，能否不用兩直線斜率乘積為-1表示，進而也可以求出直線方程？

（學生紛紛回答，可以用向量的數(shù)量積為0來說明兩直線垂直的關(guān)系，我于是請一個成績中等學生回答）

同學5：這個題還可以用向量的方法來解決，更簡潔！

如圖2，設(shè)切線上任一點P的坐標為P（x，y），

所以x0·（x0-x）+y0·（y0-y）=0

故所求的直線方程為x0x+y0y=r2.

圖2

教師：兩直線垂直用直線的方向向量的數(shù)量積為0表示，其優(yōu)點在于不用考慮直線的斜率是否不存在，這樣可以避免分類討論.這種解法的實質(zhì)是利用直線l上任一點的坐標P（x，y）滿足·=0的關(guān)系而得的.請同學們思考一下與有何關(guān)系？

問題5：是否還有解決問題1的方法？

得所求的直線方程為x0x+y0y=r2.

（同學們此時情不自禁喊，用向量數(shù)量積的幾何意義解好簡潔啊?。?/p>

教師：大家體會到了向量這個工具給我們解決問題帶來的方便，很爽吧！它的實質(zhì)還是數(shù)形結(jié)合，這是高中數(shù)學的一個重要的思想方法.大家再觀察所得的直線方程，與圓的方程有無關(guān)聯(lián)？

同學8：結(jié)構(gòu)上很形似，圓中的x，y由二次變成了直線中的一次.

教師：大家可這樣記憶過圓心為坐標原點的圓上一點的切線方程：將圓方程中的x2拆成x·x，其中一個x變成x0，y2拆成y·y，其中一個y變成y0，常數(shù)項不變.

請同學們思考，你能類比寫出圓心不在原點，過圓上一點的圓的切線方程嗎？

（趁熱打鐵，提出新的問題）

2.猜想驗證，展現(xiàn)數(shù)學發(fā)展的味道

問題6：（1）若圓O的方程為標準方程（x-a）2+（y-b）2= r2，求過圓上一點M（x0，y0）的圓的切線方程；

（2）若圓O的方程為一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+ E2-4F＞0），求過圓上一點M（x0，y0）的圓的切線方程.

請同學們先類比猜想，再證明.

第一個問題同學們很快類比猜想出，過圓O：（x-a）2+（y-b）2=r2上一點M（x0，y0）的切線方程為（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2，并利用·=r2得以證明.

第二個問題對切線方程猜想五花八門：

同學2：肯定不正確，因為這時x，y必須大于等于0.

同學3：猜想是x0x+y0y+Dx0+Ey0+F＝0，自己也不敢肯定，

教師：圓的一般方程中出現(xiàn)了x，y的一次項，不能類比x，y的二次項來猜測，那我們推導一下吧.你選擇證明問題1的哪種方法？

教師：我們在這個問題中采用了先猜想，再論證的方法.數(shù)學猜想是推動數(shù)學理論發(fā)展的強大動力，是創(chuàng)造數(shù)學思想方法的重要途徑.如歐拉猜想，哥德巴赫猜想，周氏猜測等等.這些猜想有的被驗證為正確的，并成為定理；有的被驗證為錯誤的；還有一些正在驗證過程中.實現(xiàn)猜想的途徑，可以是探索試驗、類比、歸納、構(gòu)造、聯(lián)想等.當然，數(shù)學猜想是有一定規(guī)律的，如類比的規(guī)律、歸納的規(guī)律等，并且要以數(shù)學知識和經(jīng)驗為支柱，最后都要去驗證它的正確性.正所謂“大膽地猜想，小心地論證”.

3.變式探究，體驗數(shù)學思考的味道.

問題7：如圖3，已知點M（x0，y0）為圓O：x2+y2=r2外一點，過點M作圓的切線MA，MB，其中A，B為切點，求切點弦AB所在的直線方程.

圖3

（讓同學們以小組形式討論）

同學1：我們發(fā)現(xiàn)直線AB與直線OM垂直，直線AB的斜率好表示出來，但想求出A點坐標，有困難.借助于|MA|=|MB|的條件，聯(lián)想將直線AB看作兩相交圓的公共弦所在的直線.

再觀察，知MA⊥OA，MB⊥OB，推出|MA|=|MB|.

所以A，B，M三點共圓.AB是以M為圓心，

半徑為|AM|的圓與已知圓x2+y2=r2的公共弦.

同學2：還可以簡單一點.由題意知MA⊥OA，MB⊥OB，

所以O(shè)，A，M，B四點共圓，且OM為此圓的直徑，即圓O′：

又AB為圓O、圓O′的公共弦，兩圓方程相減，得切點弦AB所在直線方程為x0x+y0y=r2.

教師：同學們根據(jù)圓的切線長的性質(zhì)，抓住了切點弦AB所在直線即為兩相交圓的公共弦所在直線求解，很簡潔.我在巡視時，看到有的同學也利用直線AB與直線OM垂直，得到直線AB的斜率，但想求出A點坐標，困難很大，能否對于A，B坐標設(shè)而不求，借助于問題1的結(jié)論求解呢？

同學3：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

由問題1結(jié)論得，切線MA方程為x1x+y1y=r2，切線MB方程為x2x+y2y=r2.

即A（x1，y1），B（x2，y2）兩點坐標都滿足關(guān)于x，y的二元一次方程x0x+y0y=r2，而過A，B兩點的直線有且只有一條，因此，切點弦AB所在直線方程即為x0x+y0y=r2.

教師：這種直線與曲線相交，對于交點設(shè)而不求的方法確實不容易想到，這種方法我們在后面學習解析幾何時要常常用到.我們發(fā)現(xiàn)點在圓外時，過此點作圓的兩切線，所得到的切點弦方程與過圓上一點的圓的切線方程結(jié)論一模一樣，很有意思吧.既然如此，我們能否另辟途徑，求切點弦AB所在直線方程？

教師：這個聯(lián)想不錯，大家試試看.

（緊張思考與計算后，同學們臉上露出了笑容，我請一位同學講講做法）

同學5：連接OA，OB，OM，則MA⊥OA，MB⊥OB，且OM垂直平分AB.設(shè)AB與OM相交于T，任取直線AB上一點P，則在方向上的投影是|OT|.因為|OT|·|OM|= |OA|2=r2，所以·=r2，AB所在直線方程即為x0x+y0y=r2.

教師：我們再次感受到向量這個工具的強大，正因為存在著MA⊥OA，OM⊥AB這兩種垂直關(guān)系，利用射影定理和向量數(shù)量積的幾何意義才巧妙得到直線方程.

4.發(fā)散思維，挖掘出數(shù)學的內(nèi)在味道

問題8：若M（x0，y0）是圓O：x2+y2=r2上一點，則直線x0x+y0y=r2與圓O：x2+y2=r2的位置關(guān)系如何？

教師：我改變點M與圓O的位置關(guān)系.

問題9：若M（x0，y0）是圓O：x2+y2=r2內(nèi)一點，則直線x0x+y0y=r2與圓O：x2+y2=r2的位置關(guān)系如何？你能畫出這條直線嗎？

同學：因為點M（x0，y）0在圓x2+y2=r2內(nèi)，所以滿足+＜r2.

還可以知此直線與直線OM垂直，我在想這條直線位置能唯一確定嗎？

教師：這個同學提出一個很好問題，大家想想，這條直線位置唯一確定嗎？

同學：直線方程中x，y的系數(shù)和常數(shù)項已經(jīng)給定，所以直線是唯一確定的.

（學生分組討論，我參與其中，最后請作出圖形的一組同學上臺一邊講自己小組探索的過程，一邊作出圖形）

同學：我們從結(jié)論入手分析：P點肯定在與直線OM垂直的某一條直線l上，因為直線與圓O相離，所以連結(jié)OM，并延長交l于P點，·=|OM|·|OP|，要使得這個乘積等于r2，取圓x2+y2=r上一點A，則|OA|=r.我們也思考這個A點在圓的什么位置？我們連結(jié)AP，發(fā)現(xiàn)當AP⊥OA，且OM⊥AM時，恰好符合直角三角形的射影定理，這個位置的A點即為所求.

同學：我們的作圖過程如下：連結(jié)OM，過M作OM的垂線交圓x2+y2=r2于A，B兩點，過A作圓O的切線交OM的延長線于P，過P且與直線OM垂直的直線即為所求.

（掌聲響起）

教師：我們的同學很聰明，在直接解決問題遇到困難時，采用了由果索因的分析法來找到解題思路.類比著

②若M（x0，y0）是圓Ox2+y2=r2外一點，則直線x0x+y0y= r2與圓O：x2+y2=r2的位置關(guān)系如何？你能畫出這條直線嗎？

同學：同理可知，直線與圓相交，這條直線就是過M點引圓O的兩條切線，切點弦所在的直線即為所求.

教師：交換了問題1的條件和結(jié)論，又生成了一個新的命題.特別是要作出滿足條件的直線，借助問題1的解決思路，抓住問題共性，形成了思維“回路”.同學們在解題時，要理清解題思路，生成解題方法，優(yōu)化解題過程，弄清解題通法，發(fā)現(xiàn)解題巧法，形成解題體系.這樣學習數(shù)學，才會覺得數(shù)學越來越有味道.

二、教學反思

新的課程改革已經(jīng)實施了幾年，高中數(shù)學課堂教學正經(jīng)歷著一場重大的轉(zhuǎn)型，從“知識型課堂”向“智慧型課堂”轉(zhuǎn)變，老師們也在課堂教學中花了不少心思.比如制作精美的課件，補充很多現(xiàn)實中的例子，分小組討論學習等等，課堂形式是豐富了，學生學的是熱鬧了，時間長了卻發(fā)現(xiàn)學生感興趣的不是數(shù)學知識，而是補充的內(nèi)容.教學效果并不是很好.教學中注重生活化，注重實踐都如同是做一道菜所必須的調(diào)味品一般，我們應(yīng)用的合理，處理的恰到火候了才好，但是不能喧賓奪主，數(shù)學課就該體現(xiàn)出數(shù)學的味道.我想我們要努力的方向是做到“適合”而非“迎合”.

因為我這節(jié)課是一節(jié)解題教學課，解題教學更能發(fā)展學生思維，所以我以訓練學生的思維為主脈，以問題串、知識鏈展開.在解題教學的每個環(huán)節(jié)，無論是解題策略的形成階段——思路的產(chǎn)生和方法形成，還是在類比遷移階段——變式拓展和方法遷移，用問題引導學生獨立思考，自主探究，“思考——反思——再思——遷移”一步步推進，激發(fā)了學生學習的熱情，使學生經(jīng)歷“不得其解時的困惑——頓悟時的激動——突破時的愉悅”的過程，從中品味到思考的樂趣，發(fā)展了思維的能力，獲得了數(shù)學的思想與方法.上完這節(jié)課后，許多同學反映有一種意猶未盡、欲罷不能的“味道”.我想這種有數(shù)學味道的課堂，才能有厚重感、力量感，才能讓學生長信心、長才干、長睿智.

1.黃繼紅.圓的切線和切點弦方程［J］.數(shù)學教學，2009（8）：34-35.Z