蘇麗（吉林華橋外國語學院 吉林 長春 130117）

論高等數(shù)學在經(jīng)濟分析中的應用

蘇麗
（吉林華橋外國語學院 吉林 長春 130117）

目前，金融經(jīng)濟水平在飛速發(fā)展，經(jīng)濟數(shù)學在金融領域中也顯示出了越來越重要的作用。一些金融類高校在經(jīng)濟數(shù)學的教學過程會把經(jīng)濟數(shù)學有效地結(jié)合到金融經(jīng)濟專業(yè)課中，這也會導致未來經(jīng)濟數(shù)學的教學改革。數(shù)學方法在現(xiàn)代經(jīng)濟理論的分析中可以用大量的數(shù)理模型從理論框架和實驗檢驗這兩個方面不斷推動現(xiàn)代經(jīng)濟分析的完善以及發(fā)展。本文從金融經(jīng)濟中的實際問題展開，結(jié)合專業(yè)課的內(nèi)容，對經(jīng)濟數(shù)學在金融經(jīng)濟分析里的應用進行一些探討。

經(jīng)濟數(shù)學；經(jīng)濟分析；數(shù)學模型

1.引言

由于現(xiàn)代社會經(jīng)濟的發(fā)展壯大，對一些金融與經(jīng)濟類的專業(yè)問題也逐漸從過去的定性分析轉(zhuǎn)而成為定量和定性相結(jié)合的分析方式。而廣泛地應用數(shù)學方法和理論可以解決許多實際的經(jīng)濟問題，可以將復雜轉(zhuǎn)為簡單，可以更精確地表達研究出來的成果，金融與經(jīng)濟分析中引入數(shù)學方法可以更好地推動自身的發(fā)展。

社會經(jīng)濟行為和經(jīng)濟現(xiàn)象作為現(xiàn)代經(jīng)濟分析的對象很難在人為控制的環(huán)境中進行反復的實驗，因為受到了多方面諸如政治、社會、文化等的影響因素的牽制表現(xiàn)出了巨大的動態(tài)演變性和問題復雜性。此外，數(shù)學工具在有些問題上也產(chǎn)生了一些濫用和誤用現(xiàn)象，這些問題還需要在實際中的使用進行不斷改進和完善，以此更好地將數(shù)學工具應用到經(jīng)濟分析中。

2.數(shù)學在金融與經(jīng)濟分析中的影響和作用

經(jīng)濟分析的形成和發(fā)展與引入數(shù)學方法是密不可分的，在經(jīng)濟學中數(shù)學已經(jīng)占據(jù)著越來越重要的地位，尤其在是構(gòu)建大量的數(shù)理分析模型以及計量經(jīng)濟學方法的應用，從理論分析和實證檢驗這雙重方面都進行著嚴密和準確的分析，從而推動現(xiàn)代經(jīng)濟分析的發(fā)展和進步。

2.1 數(shù)學方法使經(jīng)濟分析可以簡化研究的對象，能夠根據(jù)復雜的社會經(jīng)濟現(xiàn)象中的關(guān)鍵變量和關(guān)鍵因素來討論它們之間的因果關(guān)聯(lián)。在這里數(shù)學方法發(fā)揮了三種作用：一是著重關(guān)鍵變量，忽視次要變量。將數(shù)量和種類都簡化，讓變量之間的分析和因果分析盡可能顯得簡便；二是觀察關(guān)鍵變量，分析社會經(jīng)濟的總體特征以及運作規(guī)律，排除次要因素的阻礙和不利影響；三是緊扣人類經(jīng)濟活動還有社會經(jīng)濟中的重要特征，觀察社會經(jīng)濟現(xiàn)象和人類經(jīng)濟活動的關(guān)聯(lián)和特征規(guī)律。

2.2 引入數(shù)學方法利于統(tǒng)一與完善現(xiàn)代經(jīng)濟分析法，更好地描述經(jīng)濟分析中的一些基本理論和概念。因為數(shù)學方法有著嚴密和邏輯性強的特征，對經(jīng)濟分析方法是彌補性的一個工具，能夠準確地定義經(jīng)濟分析中的一些基本的概念比如是需求、供給、效用、偏好等詞，使用這些概念可以避免產(chǎn)生歧義與學術(shù)爭辯；規(guī)范經(jīng)濟分析，能夠在各方面促進經(jīng)濟分析方法的發(fā)展和補充，配合與促進；對經(jīng)濟分析的原理可以進行科學系統(tǒng)的闡述、說明與論證，明確原理使用的邊界和條件，比如薩伊定理、供求原理、凱恩斯定理等。

2.3 引入數(shù)學方法還可以在一定條件下對經(jīng)濟分析里的相關(guān)的結(jié)論和未知命題進行邏輯上的合理驗證，證明真?zhèn)?。采用?shù)學工具可以從假設條件中得出一個一致性的推導結(jié)論，驗證推理過程是否具有準確性和邏輯性，然后對過程驗證是證實還是證偽；數(shù)學方程可以對設定的經(jīng)濟環(huán)境作出精確的描述，能除去模糊的狀態(tài)，清晰地界定變量之間的復雜關(guān)系；對經(jīng)濟分析結(jié)論作出邏輯檢驗，然后對特定結(jié)論或者命題的前提條件進行分析，最后驗證真?zhèn)巍?/p>

2.4 引入數(shù)學方法能夠拓寬經(jīng)濟分析的思路和框架，科學地描述出人類經(jīng)濟活動以及社會經(jīng)濟現(xiàn)象，避免模糊與誤差問題，把之前沒有或者難以納入到人類經(jīng)濟或者社會活動中的現(xiàn)象納入到了現(xiàn)代經(jīng)濟分析框架中來，拓展了現(xiàn)在理論和分析的框架解釋范圍；彌補了定性或者描述性的研究工作在精確方面的欠缺，增加了準確度和提高了解釋力；綜合比較了不同的理論和分析的框架，能促進現(xiàn)代經(jīng)濟分析不斷進步發(fā)展，構(gòu)建新理論與解釋框架，對現(xiàn)在新出現(xiàn)的一些相關(guān)經(jīng)濟活動作出科學合理的解釋；還為各個經(jīng)濟活動的主體比如企業(yè)、政府以及個體消費者等提供了方法論的工具。

2.5 引入數(shù)學方法能夠?qū)鹑谂c經(jīng)濟分析中獲得的許多命題、原理以及定理進行恰當?shù)臋z驗，分析經(jīng)濟現(xiàn)狀是否吻合現(xiàn)實的人類經(jīng)濟活動和社會經(jīng)濟，構(gòu)建出計量經(jīng)濟分析模型，做出假設檢驗和參數(shù)估計，觀察現(xiàn)實數(shù)據(jù)和理論模型的擬合程度；根據(jù)數(shù)學方法選擇樣本數(shù)據(jù)以及經(jīng)典案例，以此提供合理、可靠、科學和準確的驗證證據(jù)；將實證中分析出的結(jié)論用數(shù)學的手法進行理論解析和對策分析，評價經(jīng)濟結(jié)論、命題與原理。

3.數(shù)學理論在經(jīng)濟學中的基本應用

在經(jīng)濟數(shù)學中，微積分里的極限，導數(shù)和微分方程以及線性代數(shù)里的矩陣等都是十分重要的，也是經(jīng)濟問題中研究與解決問題的基本方法。

3.1 運用函數(shù)模型研究經(jīng)濟問題

作為經(jīng)濟數(shù)學的基礎，函數(shù)經(jīng)常被運用來解決經(jīng)濟中的實際問題。比如用經(jīng)濟數(shù)學知識去研究在市場關(guān)系中的供求問題，人們的價值觀、消費水平、商品的可替代程度、價格等都是市場中的影響因素，尤其價格是最重要的因素。因此，用函數(shù)構(gòu)造需求和供給的關(guān)系。

一般來說，需求函數(shù)是一個減函數(shù)，價格上漲會引起需求量的減少。供給函數(shù)是一個增函數(shù)，價格上漲會帶動供給量增加。在市場經(jīng)濟的供需變化中，價格是使供需兩方達成一致的成交價格，也就是說價格決定問題。在產(chǎn)品價格和技術(shù)水平不變的情況下，就自然形成了成本與產(chǎn)量之間的成本函數(shù)關(guān)系：C(x)=C0+C1(x)。而收入是生產(chǎn)方生產(chǎn)商品得到的收入，因為生產(chǎn)商品的時候和成本有關(guān)，還和商品收入有關(guān)，商品銷量和收入的關(guān)系形成了收益函數(shù)關(guān)系R(x)=xp，利潤則是生產(chǎn)方在售出商品后扣除成本之后的剩余部分，是產(chǎn)量函數(shù)。

3.2 極限理論在經(jīng)濟分析中的應用

很多數(shù)學理論和概念將極限理論作為一個基礎才能引導出許多結(jié)論來，因此說極限理論就是經(jīng)濟數(shù)學的靈魂。有句古話“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”就是對極限理論的一個精準描述。而且，極限思想在經(jīng)濟數(shù)學中的金融管理、經(jīng)濟管理和經(jīng)濟分析的領域中也占有了非常重要的地位，比如經(jīng)濟中許多事物增長衰減的一個定律，人口增長以及設備折舊的價值等都用到了極限思想。還有經(jīng)濟學里的儲蓄連續(xù)復利更是具體體現(xiàn)了極限思想在經(jīng)濟數(shù)學中的重要分析應用。

3.3 導數(shù)在經(jīng)濟分析中的應用

在經(jīng)濟學中導數(shù)也有邊際的概念，從而使經(jīng)濟學研究對象從常量變?yōu)榱俗兞?，這也是數(shù)學理論的一個極為經(jīng)典的運用，在經(jīng)濟學中有著重要的含義。

邊際函數(shù)包括邊際收益函數(shù)、邊際成本函數(shù)、邊際需求函數(shù)以及邊際利潤函數(shù)等，用導數(shù)來研究變化率的問題能夠準確反映出微小變化發(fā)生的自變量和因變量，比如用來研究人口問題、種群變化率的問題等。實質(zhì)上，邊際分析就是用導數(shù)來研究經(jīng)濟學中函數(shù)的變化量的，即為自變量發(fā)生在實際含義里的微小變化的時候，相應的因變量所產(chǎn)生的變化量。舉一個成本函數(shù)的例子，先算出一個產(chǎn)品在固定產(chǎn)量下的邊際成本，這個成本也就是再生產(chǎn)出一個這種產(chǎn)品花費的成本量，對比平均成本，根據(jù)結(jié)果決定該產(chǎn)品生產(chǎn)量究竟該擴大還是縮小，也就是說，邊際成本如果低于平均成本的話，那么需要擴大生產(chǎn)，而邊際成本高于平均成本則應該減少生產(chǎn)量。此外，導數(shù)還可以用來研究經(jīng)濟分析中的彈性問題，也就是函數(shù)的相對變化率問題。

舉例來說，一個工廠對其生產(chǎn)的產(chǎn)品情況作出大量的統(tǒng)計和分析后得到總利潤L(Q)(元)和每月的產(chǎn)量Q(噸)之間的關(guān)系是：L=L(Q)=250Q-5Q2，設每月產(chǎn)出比如20噸，25噸，35噸的邊際利潤，然后作出經(jīng)濟學中的解釋。邊際利潤函數(shù)L′(Q) =250-10Q，則L′(Q)|Q=20=L′(20)=50，L′(Q)|Q=25=L′(25)=0，L′(Q)|Q=35=L′(35)=-100。這個結(jié)果說明，當生產(chǎn)量為每月20噸的時候增加一噸就會使利潤增加50元；而當產(chǎn)量為每月25噸的時候，再加一噸，利潤則不變；當產(chǎn)量為每月35噸的時候，再加一噸，那么利潤會減少100元。這個結(jié)果充分說明了，對生產(chǎn)方而言，不是說生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)越多利潤就越高。

導數(shù)還經(jīng)常用在經(jīng)濟中的最優(yōu)選擇問題中，這是經(jīng)濟決策中的重要根據(jù)，也是相當重要的。最優(yōu)化問題包括了最大利潤、最優(yōu)收入分配、最佳資源配置和最大經(jīng)濟效益等問題，其中還用到了求極值的數(shù)學基本方法。舉例來說，設某工廠一個月生產(chǎn)某產(chǎn)品Q件時, 總共花費成本為C(Q)=200+5Q(萬元), 所得總收益為R(Q)=10Q-0.01Q2, 計算每個月生產(chǎn)數(shù)為多少時能夠獲得最大利潤？根據(jù)題意知：L(Q)=R(Q)-C(Q)=10Q-0.01Q2-5Q-200=5Q-0.01Q2-200(0≤Q<1)，令L′(Q)=5- 0.02Q=0得Q=250。又因為L"(Q)=-0.02<0，L"(250)<0。因此，L(250)=425(萬元) 是L一個極大值，所以當每月生產(chǎn)250件產(chǎn)品的時候，能夠獲得最大利潤是425萬元。

3.4 微分方程在經(jīng)濟問題中的實際應用

在一些實際問題中經(jīng)常遇到十分復雜的函數(shù)關(guān)系，如何能夠客觀地運用函數(shù)建立反應量與量之間的關(guān)系是一個重要的問題。但是建立變量和導數(shù)或者微分之間的關(guān)系卻是比較容易的，因此用到了微分方程。微分方程就是一個方程中含有自變量、未知函數(shù)和它的導數(shù)或者微分。在經(jīng)濟學的分析中是經(jīng)常能用到微分方程的，比如可以用于商品銷售的預測當中，可以建立微分方程，其中商品增長速度已知，可以算出銷售量；預測可再生資源產(chǎn)量；分析商品在市場中的供需關(guān)系函數(shù)；分析國民收入、投資和儲蓄的問題等等。

另外，經(jīng)濟學中還可能碰到關(guān)于兩個或者兩個以上更多自變量的函數(shù)問題，這樣就先把一個變量看作是常量，按照一個變量的方法先解決出該問題，通?？捎闷珜?shù)的理論還解決。更復雜的問題還可以同微分、全微分等的知識來求解。比如說計算近似值，可以利用微分中的推到公式求出。

4.數(shù)學在金融領域的主要應用

4.1 資產(chǎn)估價模型

不同時間點上，現(xiàn)金流動無法直接進行互相加減的比較，所以資金是具有時間價值的。美國經(jīng)濟學家歐文就提出了資產(chǎn)目前的價值和未來現(xiàn)金流量貼現(xiàn)值之和相等這一思想，建立了資產(chǎn)估價模型的基礎，最簡單的模型也就是復制公式：投資未來時刻設為t的現(xiàn)金流量是C(t)，貼現(xiàn)率R(t)，期數(shù)n，總現(xiàn)值PV，那么PV=∑C(t)[1+R(t)]-1，這個表達式就是用來計算證券投資價值資本化的基礎，具有多種表現(xiàn)形式。美國投資理論家威廉斯有提出了貼現(xiàn)現(xiàn)金流模式DCF，說明了股票內(nèi)在價值和未來股息貼現(xiàn)值之和相等：P(t)=∑∞k=1D(t+k)(1+i)-(1+k)，P是時刻t的股票價格，D(t+k)是時刻t+k時獲得股息，i是貼現(xiàn)利率。之后以此公式為基礎還產(chǎn)生了其他條件下的價值模型，比如股息零增長模型、固定收入證券價值模型等。

4.2 證券投資組合模型

由于金融市場的不確定性，在投資時候要注意和收益會存在時間的滯后，這樣就有很多未來不確定性的因素影響，可能導致投資者資金虧損，這就是投資風險。用數(shù)學工具來表達，股票未來價格是一個隨機變量，不同時間的股票不能比較價格，因此將價格序列轉(zhuǎn)化為百分數(shù)表示的收益率序列表，將收益率作為隨機變量就能用數(shù)學處理了。比如收益率R的數(shù)學期望E(R)是未來收益率的點值預測，R的方差D(R)=σ2用來測量未來實際收益率和預期收益率中偏離程度的數(shù)字特征,也就是采用方差(或者標準差)衡量關(guān)于投資風險的大小。

4.3 均值方差模型

用這個模型可以將金融學由描述性科學轉(zhuǎn)為分析性的科學，也就是投資組合選擇理論。當投資時候選擇全部風險資產(chǎn)，模型的表述就是：X=(x1,x2,…,xn)T是一個n維的投資向量,而xi(1≤i≤n)是投資比例；I=(1,1,…,1) T；E(R)=[E(R1),E(R2)…E(Rn)]T，其中E(Ri)(i=1,2,…,n)是資產(chǎn)的期望收益率。

5.數(shù)學在現(xiàn)代經(jīng)濟學中面臨的問題以及前進方向

數(shù)學工具在經(jīng)濟學中也存在一些相應的問題，具體分析數(shù)學在經(jīng)濟學中所面臨的問題以及未來的方向。

5.1 引入數(shù)學方法會導致經(jīng)濟分析對象過于復雜或者過于簡單化，弱化了經(jīng)濟分析的能力。因為在實際問題中，除了社會現(xiàn)象的一些關(guān)鍵因素和關(guān)鍵變量，還有其他的許多非關(guān)鍵變量與次要變量，但是也有可能轉(zhuǎn)變?yōu)橹饕蛩鼗蛘哧P(guān)鍵變量，因此變量之間的相互演化會對現(xiàn)在的經(jīng)濟分析方法產(chǎn)生不利影響。

5.2 引入數(shù)學方法雖然利于經(jīng)濟分析方法的完善和統(tǒng)一，但是也會導致教條化，使得很多基本的概念和原理脫離了社會現(xiàn)象與人類活動這個實際范圍。因為數(shù)學本身強大的邏輯性和嚴密性也會產(chǎn)生對其他學科的研究方法的排擠效應，各個可能使用的分析工具之間會有沖突、矛盾以及不相協(xié)調(diào)的現(xiàn)象，這樣導致了思路的混亂。

5.3 雖然數(shù)學方法可以對各種經(jīng)濟分析出的命題、原理、定理等進行實證檢驗，但是如果收集樣本數(shù)據(jù)的方式有限，技術(shù)也有限，那么這種驗證也只是理想中的準確度，現(xiàn)實無法達到真正的準確，存在著在假定的條件下對經(jīng)濟中相關(guān)問題和結(jié)論不能夠證實的可能性。

5.4 引入數(shù)學方法雖然會擴大現(xiàn)在的經(jīng)濟分析思路在人類活動以及社會現(xiàn)象中的描述，但是也會出現(xiàn)泛數(shù)學化、泛模型化等超出數(shù)學解釋的應有的邊界，這樣會嚴重阻礙人類的思想進步。人類活動中的實際情況并不會是預算中那么準確的，在有些方面無法用數(shù)學精準刻畫，過度定量的話將會導致過于簡單地裁決了現(xiàn)實中多重復雜的問題。

5.5 那么如何針對以上問題進行提升和改進呢？

（1）必須做到提高使用數(shù)學方法的合理性、科學性以及嚴謹性，嚴防數(shù)學工具被濫用或者誤用。完善數(shù)學分析的手段和工具；準確掌握社會經(jīng)濟中許多變量的演變規(guī)律，區(qū)別多重變量的類型，避免濫用變量進行關(guān)于因果和相關(guān)的分析；在分析經(jīng)濟問題時不能放棄其他好的科學方案，可以試著把數(shù)學方法和其他的方法合并利用。

（2）運用數(shù)學原理的時候要確保充分地認識與了解了某些方面的局限性和存在的不足問題，避免產(chǎn)生誤差和偏差導致結(jié)果的錯誤。防止數(shù)學工具被非定義領域內(nèi)濫用或者誤用，嚴防歧義造成的概念偏差。對無法用數(shù)學工具表達的原理和結(jié)論要給予尊重，恪守科學上的多樣化研究方法原則。

（3）要牢記數(shù)學方法主要是為了研究經(jīng)濟活動中的人類活動和社會現(xiàn)象，不是某種技能的顯現(xiàn)和脫離現(xiàn)實的教條。經(jīng)濟分析中的理論和結(jié)論都要對人類活動和社會現(xiàn)象能夠作出一定程度上合理的解釋，如果數(shù)學方法在其中成為了擺設或者是教條都會喪失本身的應用價值。在使用過程中必須保持案例分析的代表性和典型性，確保數(shù)據(jù)真實可靠性，盡可能消除掉在驗證過程中產(chǎn)生的偏差，從實際出發(fā)而不是簡單地套用，這樣才能提升數(shù)學在經(jīng)濟學中的有效應用。

（4）數(shù)學方法中還需不斷推動和改善才能得到更好的應用，成為研究現(xiàn)代經(jīng)濟分析的可靠的工具，要緊隨時代不停地擴寬思路和框架，提高關(guān)于經(jīng)濟學理論的解釋力。充分研究定量和定性之間的優(yōu)勢，并做配合與補充，提升分析中的科學性與精確性。把之前未被納入或者很難納入的一些人類活動和社會現(xiàn)象納入到現(xiàn)代經(jīng)濟分析中，擺脫僵化思想的束縛。適應時代需求，開發(fā)出更新更好的分析工具，為使用這些工具的企業(yè)、政府以及消費者提供更好、更科學、更先進的理論工具。

6.結(jié)語

通過分析復雜的社會經(jīng)濟系統(tǒng)中含有的經(jīng)濟變量之間產(chǎn)生的聯(lián)系、演變規(guī)律以及產(chǎn)生的影響效果，現(xiàn)代經(jīng)濟分析能夠進一步地研究出經(jīng)濟運作中的一般規(guī)律，還可以為決策主體提供可靠的理論和實踐經(jīng)驗作為參考。數(shù)學方法在經(jīng)濟分析中占據(jù)著非常重要的地位，準確的應用會提升經(jīng)濟分析的科學性、可靠性和準確性。數(shù)學的理論思想和計算方法可以被廣泛應用于許多學科領域中，對于經(jīng)濟和金融的領域更是離不開數(shù)學的理論思想來分析和解決問題。經(jīng)濟現(xiàn)象通常有許多的影響因素，這門學科也是不容易被量化和定性分析的，并且還具有一定規(guī)律的周期性。因此，用數(shù)學方法對其進行分析和預測是十分必要的。金融類高等院校所教授的經(jīng)濟數(shù)學是起著核心作用的基礎學科，和金融經(jīng)濟等學科交叉滲透，對金融、管理和會計等專業(yè)課的學習提供了充足的數(shù)學知識。隨著數(shù)學學科、金融數(shù)學以及經(jīng)濟學科的進步，數(shù)學與這些學科會越來越緊密地進行融合，共同促進走向成熟。

[1]張慶.高校經(jīng)濟類專業(yè)大學數(shù)學課程教學模式的探索[J].中國成人教育，2008(6).

[2]吳建國.財經(jīng)類經(jīng)濟數(shù)學課程改革的探索與實踐[J].中國大學教學，2007(5).

[3]趙秀恒等.經(jīng)濟應用數(shù)學的教學實踐與認識[J].河北師范大學學報(教育科學版)，2008(10).

[4]盧達平.微積分在經(jīng)濟管理中的應用[M].龍巖學院學報，2006(6).

[5]楊麗賢等.談高等數(shù)學理論在經(jīng)濟領域中的應用[J].長春大學學報，2006(12)；

[6]李衛(wèi)華.數(shù)學推理方法與現(xiàn)代經(jīng)濟學的杜撰性質(zhì)[J].經(jīng)濟理論與經(jīng)濟管理，2010(1)。

F224

A

1009-5624（2016）06-0180-04