陳小明

摘 要：第32屆全國中學生物理競賽預賽第12題考查了拋體運動的相遇情況。本文中靈活選用參考系解此題，簡化運動過程，拓展了思維，以期為教學帶來借鑒。

關鍵詞：物理競賽；拋體運動；參考系

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148（2016）1-0036-2

1 試題展現(xiàn)

從左至右在同—水平地面上依次有3個質點a、b、c，且三者共線，a與b相距l(xiāng)1，b與c相距l(xiāng)2?，F(xiàn)同時將它們從其初始位置拋出。已知質點b以初速度v0豎直上拋，質點c以某一初速度豎直上拋。設在這3個質點的運動過程中，a能碰到質點b和質點c，并假設質點a的質量遠大于質點b的質量，且a與b的碰撞時間極短。求質點c的初速度vc和質點a的初速度所滿足的條件。所求的結果均用題中的已知量表示出來。

2 地面參考系

以向右為x軸正向，向上為y軸正向。質點a的初速度的x和y分量分別為vx和vy，設經(jīng)過t1時間質點a與質點b相遇，如圖1，由拋體運動可知

vyt1- gt =v t - gt ，

l1=vxt1。

運動過程中相遇，要求

v t - gt ≥0，聯(lián)立解得

vx≥ ，v =v 。

由于質點a、b碰撞的時間極短，可認為兩質點系統(tǒng)碰撞前后動量守恒和動能不變。設碰前質點a的分速度和b的速度分別為vx、vy 和vby ，碰后a的分速度分別為v'x、v'y ，b的分速度分別為v'bx、v'by

mavx=mav'x+mbv'bx，

mavy +mbvby =mav'y +mbv'by ，

m （v +v ）+ m v =

m （v +v ）+ m （v +v ）。

由題意知ma>>mb，代入可得

vx=v'x，vy =v'y ，vby =v'by 。

即質點b對質點a的運動的影響可以忽略。同理設經(jīng)過t2時間質點a、c相遇，則滿足

vyt2- gt =v t - gt ，

l1+l2=vxt2，

vct - gt ≥0。解得

vc=vy，vx≥ 。

故最終可得，質點c的速度vc=v0。

質點a的速度滿足vx≥ ，vy=v0。

點評 地面是拋體運動最常用的參考系，易于接受，但其過程往往較為復雜。例如：本題即為斜拋與豎直上拋的相遇問題，有些學生還會仔細考慮是上升還是下降階段，并且這類方程的求解也相對較為繁瑣。

3 自由落體參考系

另以一個做自由落體運動的物體為參考系，則3個質點均以原速度做勻速直線運動，如圖2所示。運動過程中相遇，b、c做豎直上拋運動，時間關系滿足t1≤ ，t2≤ 。a若要與b相遇，其豎直分運動需相同，故滿足vy=v0，水平方向vx= ≥ 。依題意，碰撞對a的速度無影響，同理分析a、c若相遇，其豎直分運動相同vc=vy=v0，水平方向vx= ≥ 。

故質點a的速度滿足vx≥ ，vy=v0，質點c的速度vc=v0。

點評 自由落體參考系是拋體運動中常用的參考系。由于此參考系的加速度與其他物體相同，而初速度為零，在此參考系中，做拋體運動的物體將以原速度做勻速直線運動。將復雜的曲線運動相遇簡化為勻速直線運動相遇，降低了思維難度。

4 質點b參考系

3個質點都為拋體運動，加速度相同，故以b為參考系，a、c均為勻速直線運動。質點a若要和質點b相遇，其速度v'a必須水平向右，如圖3。題中要求在運動過程中相遇，b、c做豎直上拋運動，故t1≤ ，t2≤ 。由此可知質點a的速度滿足：

豎直分量vy=v0，水平分量vx= ≥ 。

質點a的質量遠大于質點b，碰撞之后可認為對a的速度無影響，仍然水平向右。因此，若要與c相碰，c需保持在原位置，即v'c=0，可得vc=v0。且vx= ≥ 。

綜合可得vx≥ ，vy=v0。

點評 選質點b為參考系，將原來拋物線軌跡的斜拋運動和有往返的豎直上拋運動大大簡化，成為水平方向的勻速直線運動與靜止物體相遇問題，運動過程最為簡單。

5 兩點商榷

首先，題中給出a的質量遠大于b，其意為b對a的運動無影響。參考答案中是由碰撞時間極短，得出動量守恒和動能不變的結論。而實際上時間短只能認為內力極大，可以忽略重力得到動量守恒，而動能不變需要說明是彈性碰撞。

再次，a與b碰撞時，由于兩質點豎直方向分速度相同，所以碰后b的豎直分速度不變，水平分速度大于a。在此情形下，b必然會先于a與c碰撞，且b、c碰撞豎直速度也不變，b其實一直在a、c之間，這點可以在質點b參考系解法中直接看出。題中交代了a能碰到質點b和c，相當于第一次碰撞后將b撤去。從賽后學生的反饋情況來看，如果只告訴a、c能相碰，會讓學生誤以為碰后還會經(jīng)過一些復雜過程才使a、c相碰，筆者認為描述時不如直接告訴碰后撤去b，以使題意更加清晰。

參考文獻：

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（欄目編輯 羅琬華）