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        電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的雙桿模型歸類與剖析

        2016-02-23 04:37:06鄭行軍
        物理教學(xué)探討 2016年1期
        關(guān)鍵詞:穩(wěn)態(tài)

        鄭行軍

        摘 要:電磁感應(yīng)現(xiàn)象的知識應(yīng)用歷來都是高考的重點,其中有關(guān)桿切割磁感線的問題是典型的綜合題之一,其綜合性強、能力要求高,是高考命題的熱點。利用模型化的思想構(gòu)建出可能會出現(xiàn)的雙導(dǎo)體桿切割問題,引導(dǎo)學(xué)生快速找到此類問題的解題方向,有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和分析問題、解決問題的能力。

        關(guān)鍵詞:雙導(dǎo)體桿;動力學(xué)關(guān)系;功能關(guān)系;交替切割;穩(wěn)態(tài)

        中圖分類號:G633.7 文獻標識碼:A 文章編號:1003-6148(2016)1-0075-3

        在電磁感應(yīng)問題中,常遇到桿在勻強磁場中切割磁感線運動的問題,這類題目的共同特征是導(dǎo)體桿沿互相平行的軌道做切割磁感線運動,簡稱為“桿+導(dǎo)軌”模型。其中,有關(guān)雙導(dǎo)體桿的切割磁感線問題是此類模型的難點,這類問題的特點是研究對象多、運動情況復(fù)雜、知識和能力的綜合性強,不僅要用到電磁學(xué)中的有關(guān)規(guī)律,還要涉及到力學(xué)中的有關(guān)規(guī)律。本文就雙導(dǎo)體桿切割磁感線問題歸納可能構(gòu)建的題型及相應(yīng)的解題策略。

        1.兩導(dǎo)體桿均處于磁場內(nèi),其中一桿切割磁感線,另一桿處于靜止。

        例1 如圖1甲所示,固定在水平桌邊上的L雙軌型平行金屬導(dǎo)軌足夠長,傾角θ=53 °,間距L=2 m,電阻不計。導(dǎo)軌上兩根金屬棒a、b的阻值分別為R1=25 Ω,R2=4 Ω。a棒的質(zhì)量m1=5.0 kg,b棒質(zhì)量m2=1.0 kg。a棒與導(dǎo)軌間的動摩擦因數(shù)μ1=2/15,b棒與導(dǎo)軌間的動摩擦因數(shù)μ2=0.5。設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力,整個導(dǎo)軌置于磁感應(yīng)強度B=5 T、方向垂直傾斜導(dǎo)軌平面向上的勻強磁場中?,F(xiàn)將a棒從導(dǎo)軌上離桌面某一高度處由靜止釋放,當它剛要滑出導(dǎo)軌時,b棒也恰好開始滑動,且a棒下滑階段,通過a棒的電荷量為q=2 C,g取l0 m/s2。

        (1)求在a棒整個下滑階段,b棒中產(chǎn)生的熱量;

        (2)若a棒無論從多高的位置釋放,b棒都不動,求a棒的質(zhì)量滿足的條件。

        解析 (1)因兩棒串聯(lián),所以兩棒所受安培力大小相等。在b棒剛滑動時,設(shè)a棒的速度為v,此時對b棒有:BILsin37 °=μ2(m2g+BILcos 37 °),

        且I= ,聯(lián)立解得:v=1.5 m/s。

        設(shè)a棒下滑的距離為x,

        則q= ,得x=1.2 m。

        對整個系統(tǒng)由功能關(guān)系得:

        Q=(m1gsin53 °-μ1m1gcos53 °)x- m1v2 ,

        由串聯(lián)電路知識可得:b棒產(chǎn)生的熱量

        Q'= Q,

        聯(lián)立上述方程并代入數(shù)據(jù)得Q'=25.05 J。

        (2)分析可知,當a棒勻速運動時,b棒都未滑動,則滿足題目要求。

        勻速運動時對a棒:F =m gsinθ-μ m gcosθ,

        此時對b棒:F ·sin37 °≤μ2(m2g+F cos37 °),

        代入數(shù)據(jù)解得:m ≤ kg≈3.47 kg。

        思路點撥:兩導(dǎo)體桿雖都分布于磁場內(nèi),但在運動過程中只有其中一根桿在切割磁感線,該模型的本質(zhì)仍為單桿問題。分析此類題型可分別對兩根導(dǎo)體桿進行受力分析,切割桿可按單桿模型對其動態(tài)分析,靜止桿可利用平衡方程進行處理,然后以電流強度作為橋梁聯(lián)立求解即可,但在分析時要注意電源的位置及雙桿的連接方式。

        2.兩導(dǎo)體桿均處于磁場內(nèi),其中一桿切割磁感線,另一桿與磁場方向共線運動(v∥B)。

        例2 如圖2甲所示,彎折成90 °角的兩根足夠長的金屬導(dǎo)軌平行放置,形成左右兩導(dǎo)軌平面,左導(dǎo)軌平面與水平面成53 °角,右導(dǎo)軌平面與水平面成37 °角,兩導(dǎo)軌相距L=0.2 m,電阻不計。質(zhì)量m=0.1 kg,電阻R=0.1 Ω的金屬桿a、b與導(dǎo)軌垂直接觸形成閉合回路,金屬桿與導(dǎo)軌間的動摩擦因數(shù)均為μ=0.5,整個裝置處于磁感應(yīng)強度B大小為1.0 T、方向平行于左導(dǎo)軌平面且垂直右導(dǎo)軌平面向上的勻強磁場中。t=0時刻開始,a桿以初速度v0沿右導(dǎo)軌平面下滑。t=l s時刻開始,對a桿施加一垂直a桿且平行右導(dǎo)軌平面向下的力F,使b桿開始做勻加速直線運動。b桿運動的v-t圖像如圖2乙所示(其中第1 s、第3 s內(nèi)圖線為直線)。若兩桿在下滑過程中均保持與導(dǎo)軌垂直且接觸良好,g取10 m/s2,sin37 °=0.6,cos37 °=0.8。求:

        (1)a桿的初速度v0;

        (2)若第2 s內(nèi)力F所做的功為9 J,求第2 s內(nèi)b桿所產(chǎn)生的焦耳熱。

        解析 (1)由題意第1 s內(nèi)對b桿:由圖2乙得:a1=4 m/s2。

        由牛頓第二定律得:

        mgsin53 °-μ(mgcos53 °+FB1)=ma1。

        設(shè)1 s時a桿速度為v1,第1 s內(nèi)a桿:E=BLv1,I= ,F(xiàn)B1=BIL, 解之得:v0=v1=1 m/s。

        (2)由題意第3 s內(nèi)對b桿:

        由圖2乙得:a3=-4 m/s2。

        設(shè)2 s時a桿的速度為v2,對b桿,由牛頓第二定律得:

        mgsin53 °-μ(mgcos53 °+ )=ma3,解之得:v2=9 m/s。

        第2 s內(nèi)a桿的位移:x2= t=5 m。

        由動能定理得:WF+mgx2sin37 °-μmgx2cos37 °-2Qb= mv - mv ,解之得:Qb=3 J。

        思路點撥:此類題目分析時,切割桿按單桿模型進行分析和處理,共線桿(速度方向平行于磁場方向)對其進行動態(tài)分析,尋找最終穩(wěn)態(tài)的動力學(xué)關(guān)系,然后以電流強度為橋梁聯(lián)立兩桿方程進行求解,該模型的本質(zhì)仍為單桿問題。

        3.兩導(dǎo)體桿交替切割磁感線。

        例3 如圖3所示,兩根電阻忽略不計的平行光滑金屬導(dǎo)軌豎直放置,導(dǎo)軌足夠長,其上端接一阻值為3 Ω的定值電阻R。在水平虛線L1、L2之間有一與導(dǎo)軌所在平面垂直的勻強磁場,磁場區(qū)域的高度為d,d=0.5 m。導(dǎo)體棒a的質(zhì)量ma=0.2 kg、電阻Ra=3 Ω;導(dǎo)體棒b的質(zhì)量mb=0.1 kg、電阻Rb=6 Ω。它們分別從圖中M、N處同時由靜止開始在導(dǎo)軌上無摩擦向下滑動,都能勻速穿過磁場區(qū)域,且當導(dǎo)體棒b剛離開磁場時,導(dǎo)體棒a正好進入磁場。設(shè)重力加速度g=10 m/s2,不計導(dǎo)體棒a、b之間的相互作用,導(dǎo)體棒始終與導(dǎo)軌垂直且與導(dǎo)軌接觸良好。求:

        (1)在整個過程中,導(dǎo)體棒a克服安培力所做的功;

        (2)M處、N處與L1的高度差各是多大。

        解析 (1)因為導(dǎo)體棒a勻速通過磁場,克服安培力做的功等于重力做的功,即:

        Wa=magd,故Wa=1.0 J。

        (2)設(shè)導(dǎo)體棒b在磁場中勻速運動時速度為vb,回路總電阻R1=7.5 Ω,Eb=BLvb。

        導(dǎo)體棒b中的電流Ib= ,mbg=BIbL。

        同理,設(shè)導(dǎo)體棒a在磁場中勻速運動時速度為va,回路總電阻R2=5 Ω,Ea = BLva,

        Ia= ,mag=BIaL,得 = 。

        設(shè)導(dǎo)體棒b在磁場中運動的時間為t,d=vbt,va=vb+gt,得:v = m2/s2,v =15 m2/s2 。

        設(shè)M、N與L1的高度差為ha、hb,

        有:v =2gha,v =2ghb,

        得:ha= m,hb= m 。

        思路點撥:兩導(dǎo)體棒在交替切割時,等效電源的位置會發(fā)生變化,產(chǎn)生感應(yīng)電流的閉合回路的連接方式也會發(fā)生變化,故在分析時要同時對兩導(dǎo)體棒進行動力學(xué)分析和電路的動態(tài)分析,并挖掘兩桿中關(guān)聯(lián)隱含量的關(guān)系(一般為時間關(guān)系),聯(lián)立求解。

        4. 兩導(dǎo)體桿均分布于磁場內(nèi),同時切割磁感線。

        例4 如圖4,兩條平行的長直金屬細導(dǎo)軌KL、PQ固定于同一水平面內(nèi),它們之間的距離為d,電阻可忽略不計。a和b是兩根質(zhì)量分別為m1、m2的金屬細桿,桿與導(dǎo)軌垂直,且與導(dǎo)軌接觸良好,并可沿導(dǎo)軌無摩擦地滑動。兩桿的電阻均為R,導(dǎo)軌和金屬細桿都處于垂直于導(dǎo)軌所在平面向上的勻強磁場中,大小為B。在桿b的中點施加一水平恒力F,兩桿都從靜止開始運動,直至流過兩桿中的電流不再變化,求:

        (1)兩桿的初始加速度分別為多少?

        (2)兩桿最終的加速度分別為多少?

        (3)兩桿速度差的最大值為多少?

        (4)當流過兩桿中的電流不再變化時,再經(jīng)過時間t,回路中產(chǎn)生的熱量為多少?

        解析 (1)初始時,無速度,無安培力。所以,a桿的加速度a1=0,b桿的加速度a2= 。

        (2)b開始加速,v↑?圯E ↑?圯I ↑?圯F ↑,b桿的加速度減小,a桿的加速度增大。當兩者加速度相等時,即Δv不變時,F(xiàn) 不變,則加速度a不再變化,兩桿中感應(yīng)電流恒定,兩桿最終加速度相同,a= (a桿:F =m a,b桿:F-F =m a)。

        (3)加速度a相同時,Δv最大,F(xiàn) = =

        B d?圯Δv= 。

        (4)由于I感恒定,Q=I 2Rt=( )2·2R·t= 。

        思路點撥:兩根桿同時在切割磁感線,此時回路中會同時存在兩個感應(yīng)電動勢,該模型的分析涉及兩電源的連接方式問題和雙桿的動態(tài)分析問題。在涉及動態(tài)分析時,應(yīng)注意雙桿系統(tǒng)有外力作用和無外力作用的最終穩(wěn)態(tài)問題。

        從以上題型分析可知,掌握住這類問題的處理方法是根本,即使題型再發(fā)生變化,處理方法也是不會變的。處理電磁感應(yīng)現(xiàn)象中雙桿切割磁感線問題的基本方法和思路是:先由法拉第電磁感應(yīng)定律確定閉合電路中的感應(yīng)電動勢,然后根據(jù)歐姆定律確定感應(yīng)電流,再根據(jù)F=BIL確定安培力,對兩根導(dǎo)體桿進行受力分析,由于安培力的大小一般與導(dǎo)體切割磁感線的速度有關(guān),速度變化時,安培力也隨之變化,從而使研究對象的受力情況發(fā)生變化,而力的變化必然導(dǎo)致物體運動狀態(tài)的變化,因而在分析有關(guān)問題時要注意上述的聯(lián)系。由于這類問題中物理過程比較復(fù)雜,狀態(tài)變化過程中變量比較多,要求學(xué)生要有較高的動態(tài)分析能力,所以分析、求解過程更能體現(xiàn)學(xué)生思維的靈活性和嚴密性。

        參考文獻:

        [1]張更新.電磁感應(yīng)中另一類“桿+導(dǎo)軌”問題[J].中學(xué)物理,2015,33(1):91—92.

        [2]陶成龍.導(dǎo)體滑軌類問題的分類解析[J].數(shù)理化解題研究,2003(10):43—44.

        (欄目編輯 鄧 磊)

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