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y= k/x（k≠0）中k值幾何意義的應(yīng)用

□鄒新

圖1

一、與等積變形相結(jié)合運用k值的幾何意義

例1如圖2，已知點A在反比例函數(shù)y＝k＞0）上，作Rt△ABC，

點D為斜邊AC的中點，連DB并延長交y軸于點E，若△BCE的面積為8，則k＝.

解析：連接AE、AO.

如圖2，∵點D為AC的中點，

圖2

∴S△DEC＝S△DEA，S△DBC＝S△DBA，

∴S△BEC＝S△BEA＝8.

又∠ABC＝90O，∴AB∥y軸，

由等底等高的三角形面積相等

可得S△BEA＝S△BOA＝8＝|k|，

∴k＝±16.

又k＞0，∴k＝16.

點評：靈活等積變換后結(jié)合k值的幾何意義解題是關(guān)鍵.運用“等底等高的三角形面積相等”進(jìn)行等積變形是比較常用的方法.

例2雙曲線y1＝在第一象限的圖象如圖3所示，過y2上的任意一點A，作x軸的平行線交y1于B、交y軸于C，過A作x軸的垂線交y1于D、交x軸于E，連接BD、CE，則

圖3

解析：連接BE、CD、OB、OD，

如圖3，由AC∥x軸可得，

S△EBC＝S△OBC＝

又AD⊥x軸，則AD∥y軸，

分別過點D、B作△CDE、△EBC的高DM、BN.運用三角形面積公式可證明BN＝DM.

易證四邊形NMDB為矩形，

點評：利用k值的幾何意義實施等積變形是解題的關(guān)鍵.

例3如圖4，一次函數(shù)y＝ax＋b的圖象分別與x軸、y軸交于點M、N，與反比例函數(shù)y＝的圖

象相交于點A、B.過點A分別作AC⊥x軸，AE⊥y軸，垂足分別為C、E.過點B分別作BF⊥x軸，BD⊥y軸，垂足分別為F、D.AC與BD交于點K.若點A、B分別在反比例函數(shù)y＝的圖象的不同分支上.則：

①S四邊形AEDK與S四邊形BFCK相等嗎？

②AN＝BM嗎？

圖4

解析：①

如圖4，易證四邊形BFCK、AEDK、CODK、AEOC、BDOF

均為矩形.

②如圖4，連接DC、DA、BC，

設(shè)B的坐標(biāo)為（x，y），

仿例2可證CD∥AB.

易證四邊形ANDC、MBDC為平行四邊形，

∴AN＝DC＝BM.

即AN＝BM.

點評：本題通過應(yīng)用k值的幾何意義，簡化了等積變形的過程，與例2比較，解題過程更簡潔.

二、與相似三角形結(jié)合運用k值的幾何意義

例4如圖5，在x軸的上方，直角∠BOA繞原點O按順時針方向旋轉(zhuǎn).若∠BOA的兩邊分別與函數(shù)y＝的圖象交于B、A兩點，則∠OAB大小的變化趨勢為（）.

A.逐漸變小B.逐漸變大

C.時大時小D.保持不變

解析：分別過點B、A作x軸的垂線，設(shè)垂足為C、D，

圖5

則由k值的幾何意義可得，

易證△OBC∽△OAD，

在Rt△OBA中，

所以銳角∠OAB大小保持不變.故選擇D.

點評：本例利用反比例函數(shù)中k值的幾何意義，結(jié)合相似三角形、解直角三角形的知識解題，思維具有跳躍性，有利于培養(yǎng)解題的轉(zhuǎn)化意識.

“學(xué)而時習(xí)之，不亦說乎？”我們平時在學(xué)習(xí)的過程中能自覺總結(jié)，自然能取得舉一反三的效果.探究解題方法的數(shù)學(xué)解題是非常有樂趣的事情.