☉江蘇省南京市江浦高級(jí)中學(xué)文昌校區(qū)　王禮之

例談新知教學(xué)設(shè)計(jì)的步驟

☉江蘇省南京市江浦高級(jí)中學(xué)文昌校區(qū)王禮之

眾所周知，數(shù)學(xué)新知教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)最核心的部分．?dāng)?shù)學(xué)家、中科院院士王元等多次在公共場(chǎng)合談及數(shù)學(xué)教學(xué)，說(shuō)到底是玩數(shù)學(xué)概念的，而數(shù)學(xué)概念恰是數(shù)學(xué)新知的一部分．近年來(lái)，隨著教育應(yīng)試的愈演愈烈，我們也不難發(fā)現(xiàn)很多地區(qū)在概念教學(xué)、新知教學(xué)中也極其簡(jiǎn)化這些新知感受、理解的過(guò)程，更多地是從后續(xù)解題角度去理解新知，通過(guò)訓(xùn)練、解題去理解新知成為了當(dāng)下數(shù)學(xué)教學(xué)的普遍現(xiàn)象．

這種問(wèn)題一直存在于數(shù)學(xué)教學(xué)中，當(dāng)應(yīng)試更被看重的時(shí)候，這種以解題教學(xué)替代其余多元教學(xué)的方式成為了更一般化的現(xiàn)象．筆者記得章建躍先生多次在本省談及數(shù)學(xué)概念新知教學(xué)，其說(shuō)的較多的一句話是：“你理解這個(gè)課為什么這么設(shè)計(jì)？”對(duì)于很多老師常常將教材中的例題處理、替換，其又常常問(wèn)及：“你為什么換掉了教材中的例題？你的處理好在哪里？”等等.這種問(wèn)題多次讓教師目瞪口呆，啞口無(wú)言．筆者認(rèn)為，這正是教師設(shè)計(jì)新知教學(xué)時(shí)，對(duì)于如何處理教材、引用教材并未作出深層次的思考，更多地是站在解題的角度去思考一堂課，而未從知識(shí)的角度、作用、長(zhǎng)遠(yuǎn)的發(fā)展去思考一堂課，這是教師新知教學(xué)處理亟需提高之處．本文以筆者研究的《一元二次不等式及其解法》第一課時(shí)為例，結(jié)合自身的一些設(shè)計(jì)來(lái)談?wù)勑轮虒W(xué)的一些想法，懇請(qǐng)指出不足之處．

一、地位與作用

教學(xué)設(shè)計(jì)首先需要了解教學(xué)內(nèi)容的地位與作用，這是設(shè)計(jì)第一要素：

一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式解法在知識(shí)上的延伸和發(fā)展，它是解不等式的基礎(chǔ)和核心．在高中數(shù)學(xué)中，許多問(wèn)題的解決都會(huì)借助一元二次不等式的解法，如函數(shù)、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)、解析幾何、三角函數(shù)等．概括地說(shuō)，本節(jié)課的地位體現(xiàn)于它的基礎(chǔ)性，作用體現(xiàn)于它的工具性．

一元二次不等式和二次函數(shù)、一元二次方程是中學(xué)數(shù)學(xué)中的核心內(nèi)容．一元二次不等式能部分地反映函數(shù)的部分性質(zhì)．如，什么時(shí)候二次函數(shù)的值大于零？什么時(shí)候二次函數(shù)的值等于零？什么時(shí)候二次函數(shù)的值小于零？在函數(shù)單調(diào)性的定義中，也是利用不等關(guān)系來(lái)表示的．這是函數(shù)性質(zhì)的主要方面，有助于加深對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)和理解．

實(shí)際上還可以通過(guò)導(dǎo)函數(shù)來(lái)反映原函數(shù)的性質(zhì)，由于研究函數(shù)主要是研究函數(shù)的變化關(guān)系，一元二次不等式正好給我們提供了研究函數(shù)變化的方法．例如，一元三次函數(shù)的變化問(wèn)題就可以通過(guò)它的導(dǎo)函數(shù)，即二次函數(shù)是大于零還是小于零來(lái)判斷．

二、教學(xué)與安排

第一種安排：在高一必修1第一章《集合》的講授過(guò)程中，運(yùn)用因式分解解一元二次不等式，把它的解集作為集合運(yùn)算的載體，有利于強(qiáng)化學(xué)生的運(yùn)算能力，復(fù)習(xí)因式分解起到了初高中的銜接作用．但這只強(qiáng)調(diào)了解一元二次不等式“數(shù)的性質(zhì)”，且只適合能因式分解的一元二次不等式，不利于學(xué)生理解一元二次不等式“形”的意義和解法．

第二種安排：老教材是在必修2第二章《函數(shù)》之后，從二次函數(shù)角度解一元二次不等式，較順理成章，二次函數(shù)模型是初高中數(shù)學(xué)重要模型之一，體現(xiàn)了知識(shí)的螺旋上升過(guò)程，但要分配好課時(shí)．

第三種安排：新課程把本節(jié)內(nèi)容設(shè)置在必修5第三章《不等式》中就比較合適，在此之前，學(xué)生高一已經(jīng)學(xué)完了基本函數(shù)模型，包括一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列等，有了基本函數(shù)的知識(shí)儲(chǔ)備，同時(shí)在數(shù)學(xué)思想方法上，學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)了向量、函數(shù)與方程，有了一定的數(shù)形結(jié)合思想的意識(shí)．向量在整個(gè)高中階段有非常重要的地位，也是幾年來(lái)高考的熱點(diǎn)，是“數(shù)形結(jié)合”標(biāo)志性知識(shí)點(diǎn)．在《函數(shù)與方程》這節(jié)中，對(duì)函數(shù)的“形”的認(rèn)識(shí)已經(jīng)有了較高的基礎(chǔ)．所以本節(jié)課主旨設(shè)計(jì)就是用數(shù)形結(jié)合的思想，把三個(gè)“二次”之間的關(guān)系，銜接“等”與“不等”的關(guān)系．不僅在知識(shí)技能上起了鞏固作用，還在數(shù)學(xué)思想方法上進(jìn)一步加深，有助于學(xué)生今后的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)．

三、設(shè)計(jì)的前瞻

1.如何呈現(xiàn)定義

在解決這一困難時(shí)，筆者大膽處理教材，舍棄課本上枯燥的應(yīng)用題．通過(guò)“回顧熱身”，引導(dǎo)學(xué)生回憶二次函數(shù)的圖像、零點(diǎn)、方程的根等概念，設(shè)置了題組一，用具體題目明晰了函數(shù)與方程之間的關(guān)系．在題組一的基礎(chǔ)上設(shè)置了題組二，通過(guò)函數(shù)圖像的“區(qū)域”直觀地呈現(xiàn)了“不等”關(guān)系，因此抽象出代數(shù)式，給出了一元二次不等式的定義．方程、函數(shù)和不等式是關(guān)系非常密切的“兄弟”，通過(guò)題組一的函數(shù)圖像，讓學(xué)生在還沒(méi)有開(kāi)始解決解一元二次不等式之前，就已經(jīng)讓它們攜手上陣了．為后面本節(jié)課的重點(diǎn)突破，埋下了伏筆．同時(shí)題組二中“潛伏”著f（x）>0，f（x）>C，f（x）>g（x）三種不等式的基本形態(tài)，在學(xué)生的頭腦中埋下種子．

2.如何突破本節(jié)課的重點(diǎn)

利用函數(shù)法求解一元二次不等式，是圍繞學(xué)習(xí)“一元二次不等式”的主要目的展開(kāi)的，并且在一元二次函數(shù)、一元二次方程學(xué)習(xí)之后，既對(duì)一元二次函數(shù)的圖像、性質(zhì)及一元二次方程進(jìn)行了全面復(fù)習(xí)，又使得重要數(shù)學(xué)內(nèi)容得到了應(yīng)用，同時(shí)也有利于理解一元二次不等式的意義和一元二次函數(shù)的關(guān)系．對(duì)于其他函數(shù)，如指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等的一元二次不等式，利用函數(shù)法求解也比較方便．因此利用函數(shù)法求解一元二次不等式的解是通性通法．本節(jié)課筆者重點(diǎn)用函數(shù)法求解一元二次不等式．

在題組一中已經(jīng)出現(xiàn)了函數(shù)圖像，在解決題組二的前兩個(gè)問(wèn)題時(shí)自然想到了用函數(shù)圖像，但在課堂討論中進(jìn)一步歸納簡(jiǎn)化解法．之后在題組二中第三個(gè)問(wèn)題的錯(cuò)誤解法中再把解法進(jìn)一步改良，在兩次改良后，在題組三中學(xué)生體驗(yàn)，把解一元二次不等式的解法變?yōu)橥ǚǎㄟ^(guò)一次歸納、兩次改良、最后總結(jié)，使得學(xué)生的思維螺旋式上升，在不知不覺(jué)中掌握了求解一元二次不等式的解法．

3.如何安排教學(xué)

本節(jié)課始終貫穿數(shù)形結(jié)合的思想，用圖像法解一元二次不等式．那么如何設(shè)計(jì)教學(xué)“用因式分解法解一元二次不等式”，存在自己的疑慮．把求解一元二次不等式的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解一元一次不等式組的問(wèn)題，是根據(jù)“數(shù)”的性質(zhì)，把它理解為集合運(yùn)算的一個(gè)載體，理解集合的交、并運(yùn)算．一方面考慮到一元二次不等式用數(shù)軸的區(qū)間來(lái)刻畫(huà)的方法，可以延伸到高次不等式的解法（數(shù)軸法）；另一方面，一元二次不等式可以用來(lái)刻畫(huà)數(shù)軸上的區(qū)間，類似地可以推廣：二元不等式組，可以刻畫(huà)平面上的區(qū)域，三元不等式可以刻畫(huà)空間中的區(qū)域．

雖然用因式分解求解一元二次不等式解決的問(wèn)題具有一定的局限性，但學(xué)生對(duì)十字相乘的認(rèn)識(shí)深刻，所以這里只是作為特殊技巧介紹給學(xué)生，因?yàn)橐辉尾坏仁狡毡槭遣荒芊纸獾亩谓Y(jié)構(gòu)．另外非一元二次不等式，使用因式分解就很難求解，例如sinx<0等等．

四、教學(xué)與過(guò)程

題組一：

（1）求函數(shù)y=x2-3x-4的零點(diǎn)；（2）求函數(shù)y=x2-3x與函數(shù)y=4的交點(diǎn)；（3）求函數(shù)y=x2-4與函數(shù)y=3x的交點(diǎn).

問(wèn)題1-1什么是函數(shù)的零點(diǎn)？畫(huà)圖（圖1，略）觀察．

問(wèn)題1-2什么是兩圖像交點(diǎn)？畫(huà)圖（圖2，略）觀察．

問(wèn)題1-3從題組一中得到的三個(gè)式子，你會(huì)有什么奇妙的發(fā)現(xiàn)？

設(shè)計(jì)意圖：

①讓學(xué)生鞏固畫(huà)圖的基本技能，如一次函數(shù)、二次函數(shù)；

②回顧區(qū)分概念（一元二次方程、二次函數(shù)）；

③體會(huì)回顧方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)和圖像交點(diǎn)三者之間的關(guān)系．

題組二：

（1）求滿足函數(shù)y=x2-3x圖像在函數(shù)y=4圖像的上方的x的取值范圍.

（2）求滿足函數(shù)y=x2-4圖像在函數(shù)y=3x圖像的上方的x的取值范圍.

（3）求滿足函數(shù)y=-x2圖像在函數(shù)y=-3x-4圖像的上方的x的取值范圍.

問(wèn)題2-1聯(lián)系題組一的圖2，題組二的（1）中“函數(shù)y=x2-3x圖像在函數(shù)y=4圖像的上方”指的是什么？從圖像可以看出，“在函數(shù)y=4圖像的上方”的區(qū)域中涵蓋了函數(shù)y=x2-3x的兩段圖像，這兩段圖像在x軸上的投影即為要求的x的取值范圍．

問(wèn)題2-2這是我們從圖像上得到的結(jié)果，那如何用代數(shù)式來(lái)進(jìn)行描述呢？

問(wèn)題2-3比較題組一中的代數(shù)式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

設(shè)計(jì)意圖：從函數(shù)圖像的角度來(lái)體會(huì)“等”與“不等”的關(guān)系，在銜接上一節(jié)內(nèi)容《不等關(guān)系與不等式》的同時(shí)，引入了一元二次不等式的概念，直觀地發(fā)現(xiàn)了一元二次方程和一元二次不等式之間的聯(lián)系．

問(wèn)題2-4上述內(nèi)容我們是從“形”看解一元二次不等式x2-3x-4>0，能否從“數(shù)”的角度來(lái)繼續(xù)研究呢？

問(wèn)題2-5比前面用“形”的方法解一元二次不等式，哪種更好？

設(shè)計(jì)意圖：用“數(shù)”的性質(zhì)再解一元二次不等式只是作為介紹，不作為本節(jié)課的重點(diǎn)，其中數(shù)軸法是后面解高次不等式的一種方法，這里只是鋪墊，后續(xù)訓(xùn)練環(huán)節(jié)不再贅述．

總之，新知教學(xué)需要教師在新知理解環(huán)節(jié)加深自身對(duì)于這些知識(shí)的理解，并在問(wèn)題設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)多作一些設(shè)計(jì)意圖的思考.對(duì)教師而言這些理解和思考大大加深了教師對(duì)于教材、新知的理解，而不再是一味地以解題教學(xué)去替代多元的數(shù)學(xué)教學(xué)，這樣的教學(xué)是有益于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的，值得教師多作一些嘗試和探索．

1.方明.陶行知教育名篇［M］.北京：教育科學(xué)出版社，2005.

2.姜興榮.探求教學(xué)思路的幾種有效策略［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2013（7-8）.