☉福建省福州第三中學(xué)　林　風(fēng)

數(shù)學(xué)教學(xué)要重視核心知識(shí)的“核效應(yīng)”

☉福建省福州第三中學(xué)林風(fēng)

數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容雖然紛繁復(fù)雜、縱橫交錯(cuò)，但每節(jié)課都有居于教學(xué)內(nèi)容中心的核心知識(shí)，它們是每節(jié)課的主干，也是課堂教學(xué)的關(guān)鍵.正如章建躍博士所言“數(shù)學(xué)核心知識(shí)是數(shù)學(xué)課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)和功能的基本單位”，這些核心知識(shí)具有超越課堂之外的持久價(jià)值和遷移價(jià)值的概念、方法和技能，是整個(gè)教學(xué)活動(dòng)鏈條的關(guān)鍵鏈環(huán)，是推動(dòng)教學(xué)活動(dòng)的軸心和棲息地.當(dāng)下數(shù)學(xué)課堂教學(xué)普遍存在“內(nèi)容多但缺核心少味道，有知識(shí)但缺思想”的現(xiàn)象，多為繁雜冗余的知識(shí)技能枝節(jié)所羈絆，為反復(fù)重疊的題海所困擾，疲憊不堪卻不得要領(lǐng).如何在課堂教學(xué)中理解、尋找和把握核心知識(shí)，發(fā)揮核心知識(shí)的“核效應(yīng)”是教學(xué)是否能夠有效落實(shí)課程目標(biāo)、體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)和促進(jìn)課堂有效生成的關(guān)鍵，筆者從以下四個(gè)方面淺談一些教學(xué)體會(huì)和思考.

一、從數(shù)學(xué)內(nèi)涵上理解核心知識(shí)的本質(zhì)性

數(shù)學(xué)的概念、性質(zhì)、定理和公式是教學(xué)的主要內(nèi)容，從中尋找和把握數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容是課堂教學(xué)的重中之重.數(shù)學(xué)的核心知識(shí)是指位于學(xué)科中心的概念性知識(shí)（重要概念、原理、規(guī)律、理論等的基本理解和解釋以及數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中所形成的基本思想和方法），這些內(nèi)容能夠展現(xiàn)當(dāng)下學(xué)習(xí)的途徑，具有前沿性、綱領(lǐng)性、思想性和延續(xù)性，是學(xué)科結(jié)構(gòu)的主干部分.同時(shí)核心知識(shí)又具有雙重特性，即表觀特征和本質(zhì)特征，表觀特征是外在的、宏觀的和表象的，而本質(zhì)特征則是內(nèi)隱的、微觀的和本質(zhì)的.

著名的數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家赫斯指出：數(shù)學(xué)教學(xué)的問(wèn)題“并不在于教學(xué)的最好的方式是什么，而在于數(shù)學(xué)到底是什么……如果不正視數(shù)學(xué)的本質(zhì)問(wèn)題，便解決不了關(guān)于教學(xué)上的爭(zhēng)議”，如何深刻理解和詮釋教學(xué)內(nèi)容中的核心知識(shí)是教學(xué)的首要任務(wù).照本宣科、依樣畫葫蘆的教學(xué)只能蜻蜓點(diǎn)水，浮光掠影，死背硬記，套題應(yīng)試.重視知識(shí)的機(jī)械記憶和表層運(yùn)用，以及知識(shí)在學(xué)習(xí)過(guò)程中的程序性和操作性的作用，死摳知識(shí)的一些“犄角旮旯”，力求通過(guò)大量的題型和練習(xí)讓學(xué)生記住概念、定理、公式，掌握解題步驟，學(xué)會(huì)應(yīng)用技巧，懂得應(yīng)付考試，在一定的情況下可能可以幫助學(xué)生對(duì)知識(shí)的“工具性理解”.但是往往會(huì)肢解或淡化數(shù)學(xué)內(nèi)在的“關(guān)系性理解”，因此難免隔靴搔癢，甚至相去甚遠(yuǎn).

以《函數(shù)的單調(diào)性》為例，不少教師在單調(diào)性教學(xué)中把重點(diǎn)放在單調(diào)性的證明、單調(diào)區(qū)間的求解、含參數(shù)函數(shù)單調(diào)性的討論，力求把“取點(diǎn)、作差、變形、定號(hào)、作答”形式化的操作作為教學(xué)的落腳點(diǎn)，開(kāi)門見(jiàn)山，直奔解題，無(wú)疑這些內(nèi)容也是本節(jié)課的重要組成部分，但僅此還不能體現(xiàn)概念的核心和本質(zhì).事實(shí)上，單調(diào)性是學(xué)習(xí)函數(shù)定義之后的一個(gè)重要核心概念，是反映函數(shù)變化規(guī)律的最基本的性質(zhì)（第一個(gè)函數(shù)性質(zhì)），也是學(xué)生在高中階段遇到的第一個(gè)用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言刻畫的概念，對(duì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)的其他性質(zhì)具有示范和引領(lǐng)作用.因此需要從知識(shí)的特點(diǎn)、教材的地位和學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)出發(fā)思考《函數(shù)的單調(diào)性》是如何從淺表直觀抽象到理性解析，從松散零散中貫通成一脈相承的知識(shí)鏈.教學(xué)中有兩條關(guān)鍵的線索：①初中對(duì)函數(shù)圖像性質(zhì)的研究以直觀感知的經(jīng)驗(yàn)性認(rèn)知為基礎(chǔ)（能說(shuō)出函數(shù)圖像上升還是下降，并會(huì)畫圖說(shuō)明），高中的單調(diào)性研究則以抽象的形式化（符號(hào)化）分析為手段，要求能用符號(hào)形式表述和理解函數(shù)的單調(diào)性，并能加以證明；②從函數(shù)的整體宏觀的感知（圖像）開(kāi)始走向通過(guò)“算法”（數(shù)學(xué)化）研究局部微觀法”，從函數(shù)三要素（函數(shù)的宏觀感知）的學(xué)習(xí)到定義域上的某一區(qū)間上函數(shù)單調(diào)性的研究（微觀圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系的研究），是從粗放型直覺(jué)性認(rèn)知走向嚴(yán)謹(jǐn)性理性思維的開(kāi)端，通過(guò)符號(hào)的算法進(jìn)行推理論證，以保證結(jié)論的嚴(yán)密性，這種“算法思維”在后續(xù)的奇偶性、周期性和最值等學(xué)習(xí)中有著重要的意義，起到引領(lǐng)性和奠基性的作用.通過(guò)分析、提煉，最終落實(shí)到一根“線”，將它們串起來(lái)，即“兩域、四數(shù)、兩個(gè)不等”是單調(diào)性概念的特征屬性，其中借助符號(hào)進(jìn)行推理的“算法思維”本質(zhì)是數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn).需要突破的難點(diǎn)就是“上升、下降、單調(diào)等名詞的數(shù)學(xué)意義與學(xué)生的生活理解之間的差異，通過(guò)函數(shù)圖像上升——“x越大，y也越大，即當(dāng)x2>x1時(shí)，y2>y1，則f（x）為增函數(shù)”實(shí)現(xiàn)自然語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言有機(jī)結(jié)合和有效融合.因此教學(xué)內(nèi)容的核心就是在知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程中讓學(xué)生體會(huì)直觀抽象和形式化思維，在知識(shí)與能力的交融中且行且清晰.如何用“任意”刻畫無(wú)限、解決概念中自變量不能窮盡的矛盾，如何用符號(hào)語(yǔ)言（x1>x2時(shí)，f（x1）>f（x2）……等）表述“y隨x的增大而增大”……而這些內(nèi)涵僅靠解題是不能看到的.從定性到定量，從具體到抽象、從宏觀到微觀需要讓形式化的概念抽象在文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化交融中自然地“生長(zhǎng)”出來(lái)，而不是想當(dāng)然地“天上掉下個(gè)林妹妹”，需要伴隨歸納、抽象、概括的教學(xué)“慢”過(guò)程中，才能尋找和淬煉出知識(shí)表層下的核心內(nèi)涵，洞穿知識(shí)的本質(zhì)，使學(xué)生不僅獲得知識(shí)，更多的是逐步提高學(xué)生自我分析、理性領(lǐng)悟的能力.

二、從教材的脈絡(luò)上感悟核心知識(shí)的整體性

核心知識(shí)不是單一的、離散的、碎片化的，涵括的不僅僅是知識(shí)點(diǎn)，而且還綜合了數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)和思想方法的內(nèi)容體系，圍繞核心知識(shí)建立起來(lái)的教材結(jié)構(gòu)體系，是以核心知識(shí)為中心的“概念圖”，包括縱向發(fā)展的主線和橫向聯(lián)系的節(jié)點(diǎn)，具有知識(shí)聯(lián)系的聯(lián)結(jié)性、緊密性、持續(xù)性和多向性特點(diǎn).它所承載的知識(shí)和技能是學(xué)生發(fā)展所必不可少的知識(shí)網(wǎng)狀體系.通過(guò)螺旋上升的組織形式，漸次加強(qiáng)所學(xué)概念和觀念的深度以及復(fù)雜程度，使數(shù)學(xué)核心知識(shí)的發(fā)展過(guò)程與學(xué)生內(nèi)部心理認(rèn)知體驗(yàn)融合起來(lái).我們重視核心知識(shí)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用和意義不僅讓學(xué)生能夠掌握核心知識(shí)的基礎(chǔ)性內(nèi)容，還要著眼于促進(jìn)培養(yǎng)學(xué)生一種思想觀、辯證觀和整體觀，能夠從整體上理解知識(shí)鏈上每個(gè)節(jié)點(diǎn)的意義與內(nèi)涵，了解知識(shí)和方法的辯證轉(zhuǎn)化過(guò)程，而不是簡(jiǎn)單地就事論事，熱衷于奇技淫巧，一葉障目不見(jiàn)森林.

以直線的斜率為例，如果只是停留在具體概念辨識(shí)和解題技能的訓(xùn)練，局限在狹隘的解題一招一式中，拘泥于知識(shí)的枝節(jié)碎片里，可能覺(jué)得內(nèi)容淺顯，方法單一.其實(shí)，縱觀教材的設(shè)置，本節(jié)內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展經(jīng)歷從粗到精、從單一到多元、從形象到抽象的過(guò)程，從幾何感知（平面幾何）—代數(shù)分析（解析幾何）—三角函數(shù)的發(fā)展過(guò)程，從坡度（直角三角形）—傾斜角的正切值（三角函數(shù)）—斜率（坐標(biāo)）.體現(xiàn)數(shù)學(xué)認(rèn)知從具象到形象再到抽象的不斷上升的過(guò)程，從實(shí)驗(yàn)幾何（傾斜角）—平面幾何（坡度）—三角函數(shù)（k=tanα）—解析幾何這些脈絡(luò)既貫穿著數(shù)學(xué)的本質(zhì)與內(nèi)涵，也蘊(yùn)含著研究現(xiàn)實(shí)客觀事物的方法，既是一種知識(shí)觀，更是一種方法論，或許看不到具體的問(wèn)題，也沒(méi)有常見(jiàn)的題型套路，但卻深刻地勾勒了直線斜率的知識(shí)內(nèi)容的豐富性、聯(lián)系的廣泛性以及表現(xiàn)方式的多樣性的特點(diǎn).體現(xiàn)了數(shù)學(xué)既有特性又有交融的發(fā)展特點(diǎn)，從中可以感悟到數(shù)學(xué)的辯證觀、發(fā)展觀和思想觀.讓學(xué)生在大視野和頂層處中閱讀、詮釋和領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)，涵養(yǎng)深嵌其間的數(shù)學(xué)理性精神、思辨品質(zhì)和創(chuàng)新意識(shí).在當(dāng)下應(yīng)試教學(xué)盛行的時(shí)候，數(shù)學(xué)教學(xué)更需要“不為浮云遮望眼，風(fēng)物長(zhǎng)宜放眼量”的視野和情懷.

三、在教學(xué)拓展中催發(fā)核心知識(shí)的生發(fā)性

數(shù)學(xué)核心知識(shí)的意義與價(jià)值在于它能產(chǎn)生“1+x”的擴(kuò)容與增值的“核效應(yīng)”，讓教材具有更為廣闊的寬度，讓思維有升華的空間.數(shù)學(xué)知識(shí)一方面大道至簡(jiǎn)，另一方面又能衍化至繁，由核心知識(shí)滋長(zhǎng)出來(lái)的知識(shí)的“衍生性”能在和具體情境、具體問(wèn)題的對(duì)接中生發(fā)出一系列新知識(shí).例如函數(shù)的奇偶性，函數(shù)f（x）圖像成中心對(duì)稱及其關(guān)系f（-x）=-f（x）是其表征和核心.由奇函數(shù)的定義知，f（-x）=-f（x）或f（-x）+f（x）=0；其圖像關(guān)于原點(diǎn)（0，0）對(duì)稱，由此出發(fā)可以衍生，關(guān)于x軸上點(diǎn)（a，0）對(duì)稱的函數(shù)具有怎樣的關(guān)系？（f（a-x）=-f（a+x）或f（a-x）+f（a+x）=0或f（x）+f（2a-x）=0）；再進(jìn)一步關(guān)于平面上任意一點(diǎn)（a，b）對(duì)稱的函數(shù)具有怎樣的特征？（f（a-x）+f（a+x）=2b或f（x）+f（2a-x）=2b），由原點(diǎn)到x軸上的任意點(diǎn)再到平面上的任意點(diǎn)，圖像的中心對(duì)稱關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)解析式的關(guān)系：f（-x）=-f（x）→f（2a-x）=-f（x）→f（2a-x）=-f（x）+2b，從形式上看也是復(fù)合函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）的一種表征，奇函數(shù)的多元表征、辯證轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合在合情推理中自然推廣，在數(shù)學(xué)關(guān)系解構(gòu)和重組中熠熠生輝，那種脫離知識(shí)本源，盲目進(jìn)行一題多解、一題多變和高考“母題”其實(shí)只得皮毛，未見(jiàn)本質(zhì)，不得其味.只有超越對(duì)零散知識(shí)的片段式，零散式的模仿和記憶，在教學(xué)拓展和演繹生成中核心知識(shí)才能展現(xiàn)其廣闊和厚重的教學(xué)意蘊(yùn)，體現(xiàn)其特有的教學(xué)價(jià)值與意義.

四、在思想滲透中品味核心知識(shí)的精髓性

“核心知識(shí)其實(shí)就是一顆思想的種子，它是具有思維生發(fā)力的.”教學(xué)的意蘊(yùn)在于超越具體的事例和知識(shí)對(duì)問(wèn)題的一般性意義和內(nèi)核能作出合理的抽象和深刻的概括，對(duì)知識(shí)進(jìn)行過(guò)濾、篩選、提純，把那些無(wú)用、冗余、偏多的“旁枝末節(jié)”剔除出去，讓被教學(xué)花樣遮蔽了的核心重現(xiàn)出來(lái)，將凝結(jié)在數(shù)學(xué)知識(shí)和技能中的數(shù)學(xué)思想內(nèi)涵揭示出來(lái).

以“曲線上一點(diǎn)處切線的斜率”為例，常見(jiàn)的教學(xué)思路大致是：曲線上一點(diǎn)處切線的斜率的定義敘述（教學(xué)中往往是一帶而過(guò)）——提煉求法步驟（“一切三式”，即一個(gè)切點(diǎn)、三個(gè)表達(dá)式：切點(diǎn)在曲線上，切點(diǎn)在切線上，切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為切線的斜率）——鞏固練習(xí).這種設(shè)計(jì)重知識(shí)輕過(guò)程，重技能輕內(nèi)涵，重應(yīng)試輕領(lǐng)悟，關(guān)注短期效益，缺乏知識(shí)的提煉和思想的提升，雖然可以“漲知識(shí)”，但是難以“漲智慧”，可謂“小數(shù)學(xué)”，其價(jià)值取向是知識(shí)取向和應(yīng)試技巧.如果我們注意到認(rèn)知的發(fā)展過(guò)程不只是知識(shí)的簡(jiǎn)單疊加和復(fù)合，它應(yīng)當(dāng)伴隨核心內(nèi)容的不斷凸顯和思維方式的逐漸孵化的歷程，重視“一個(gè)概念、一個(gè)過(guò)程、一次探究、一種思想”，通過(guò)一系列的設(shè)問(wèn)和追問(wèn)，知識(shí)才能波浪起伏，意蘊(yùn)深長(zhǎng).

教學(xué)剪影：設(shè)曲線y=f（x），y=g（x）均過(guò)點(diǎn)A、B兩點(diǎn).（1）兩曲線在區(qū)間［xA，xB］上的平均變化率是否都是（否）——在區(qū)間［xA，xB］上的變化趨勢(shì)都一樣嗎？（否）——如何刻畫二者的變化趨勢(shì)（縮小區(qū)間，即取極限令Δx趨于0），問(wèn)—疑—思，切線斜率的思想內(nèi)涵——以直代曲、割線逼近切線的內(nèi)核才能逐漸顯現(xiàn)出來(lái)，數(shù)學(xué)思想的張力才能得以伸長(zhǎng)，再通過(guò)具體案例深化理解，求函數(shù)y=x3在（1，1）處的切線方程，并觀察該切線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，以此引起學(xué)生對(duì)相切問(wèn)題認(rèn)知的沖突，思考“Δ=0?相切?切線與曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn)”這樣一個(gè)似是而非的問(wèn)題，通過(guò)示例“y=x3在（1，1）處的切線與y=x3的交點(diǎn)不止有一個(gè)”說(shuō)明以往的對(duì)相切的認(rèn)知不能遷移到一般的曲線上.用割線無(wú)限逼近的極限思想理解切線，不僅是微積分發(fā)展的過(guò)程，也是數(shù)學(xué)探究、思想進(jìn)步、認(rèn)知升華的過(guò)程.只有詮釋核心知識(shí)的思想內(nèi)涵的教學(xué)才能實(shí)現(xiàn)“大數(shù)學(xué)”教育的終極追求，只有透過(guò)文字和符號(hào)的表象思考其數(shù)學(xué)本真和思想內(nèi)涵，這樣才能登臨教學(xué)的“智”高點(diǎn).

1.石志群.對(duì)課堂教學(xué)“回顧與反思”的幾點(diǎn)思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2014（3）.

2.林風(fēng).從問(wèn)題本質(zhì)出發(fā)，演繹精彩“好數(shù)學(xué)”——一次講評(píng)課的反思［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2013（8）.

3.荀步章.“核心知識(shí)”基點(diǎn)：認(rèn)知塊問(wèn)題串思維場(chǎng)［J］.教育科學(xué)論壇，2014（1）.

*本文是福建省電化教育館教育信息技術(shù)研究課題（閩電教館kt412）《基于t3的數(shù)學(xué)教學(xué)轉(zhuǎn)型與優(yōu)化的研究》的成果.