□ 李曉華 夏瑞雪

例談計數(shù)器在三年級口算乘、除法中的運用

□ 李曉華 夏瑞雪

計數(shù)器的使用范圍大多是在教學(xué)認識數(shù)的時候，借助計數(shù)器來體會十進制計數(shù)單位，包括數(shù)的組成、讀數(shù)和寫數(shù)。其實在三年級口算乘、除法時也可以使用計數(shù)器，幫助學(xué)生理解算理、掌握算法，從而完成從生活世界到數(shù)學(xué)世界的數(shù)學(xué)化過程。

計數(shù)器 抽象概括 口算乘除法

計數(shù)器是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中常見的教學(xué)工具，從認識十以內(nèi)的數(shù)開始，一直到大數(shù)的認識，都離不開計數(shù)器，教材中將生活中的具體數(shù)量引入，然后半抽象到計數(shù)器上，最后再抽象成數(shù)字，計數(shù)器在這個過程中起到了中轉(zhuǎn)的作用。因為計數(shù)器有別于生活中的具體數(shù)量，既略為抽象，又具有一定的操作性。小學(xué)生思維能力的發(fā)展是沿著操作水平到表象水平再到分析水平逐步提高的，對應(yīng)的智力發(fā)展階段是從動作認知到圖形認知再到符號認知。因此，計數(shù)器是學(xué)生從生活世界走向數(shù)學(xué)世界的橋梁。然而在課堂教學(xué)中，計數(shù)器的使用還有待于挖掘和提高，目前，計數(shù)器的使用范圍大多是在教學(xué)認識數(shù)這一內(nèi)容時使用，借助計數(shù)器來體會十進制計數(shù)單位，包括數(shù)的組成、讀數(shù)和寫數(shù)。有的教師在教學(xué)進位加法和退位減法時也會用到計數(shù)器。但是很少有教師在三年級上冊的口算一個數(shù)是整十、整百、整千數(shù)……的乘法時使用計數(shù)器，更少有教師在三年級下冊的口算被除數(shù)是整十、整百、整千數(shù)……的除法時使用計數(shù)器。筆者通過自身的教學(xué)實踐，來談如何在三年級口算乘除法時使用計數(shù)器，幫助學(xué)生理解算理、掌握算法，完成從生活世界到數(shù)學(xué)世界的數(shù)學(xué)化過程。

一、計數(shù)器在三年級上冊口算乘法中的運用

（一）生活引入

人教版三年級上冊第56頁主題圖：坐碰碰車每人20元，3人需要多少錢？

學(xué)生根據(jù)題意列出算式：20×3。很多學(xué)生都知道答案等于60，這時教師提問：你是怎么想的？引出學(xué)生的各種想法。

從生活中引入學(xué)習(xí)內(nèi)容，喚起學(xué)生的已有經(jīng)驗，尤其是大部分學(xué)生都知道20×3的積是60，部分學(xué)生能表達出自己的思考過程：因為2×3=6，所以20×3=60，在算法上確實如此計算，但是隱藏在這個背后的算理是什么？我們可以借助計數(shù)器來幫助學(xué)生理解算理。

（二）半抽象：計數(shù)器

大部分學(xué)生都是因為2×3=6，所以20×3=60。提出疑問：2×3=6與20×3=60之間有什么聯(lián)系呢？借助計數(shù)器演示：20在計數(shù)器上是表示2個十，2個十乘3是6個十，就是60。

在算式上看到的是20×3，而在計數(shù)器上看到的是2×3，因為計數(shù)器上有數(shù)位，學(xué)生很清楚地理解了20表示2個十，2個十乘3是6個十，就是60。計數(shù)器將2×3=6和20×3=60串聯(lián)起來，溝通了算法和算理，不僅知其然，更是知其所以然。

（三）遷移：從整十?dāng)?shù)遷移到整百、整千、整萬數(shù)……

計數(shù)器上的這些珠子可以用哪道乘法算式來表示呢？出示下圖，列式并說算理：200在計數(shù)器是表示2個百，2個百乘3是6個百，等等。從20遷移到200、2000、20000，數(shù)字變了，算理也隨著計數(shù)器上珠子的位置變化而變化，從幾個十到幾個百，再到幾個千乘3。

（四）抽象

觀察這四個計數(shù)器及乘法算式，你發(fā)現(xiàn)了什么？引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)算式不同，但是在計數(shù)器上珠子的數(shù)量是一樣，都是2顆珠子，都是可以用2×3= 6來思考。如下圖。

（五）概括

如果把2×3=6換成2×4=8，那么可以寫成哪些一個數(shù)是整十、整百、整千數(shù)的乘法？

如果換成是3×3=9呢？

觀察這三組算式，一個因數(shù)是整十、整百、整千數(shù)，一個因數(shù)是一位數(shù)，在計算方法上有什么相同的地方？全都可以轉(zhuǎn)化成表內(nèi)乘法。為什么可以這么算？因為可以把整十、整百、整千數(shù)看成是幾個十、幾個百或者幾個千乘一位數(shù)。

至此，從生活中的數(shù)學(xué)計算，到計數(shù)器上的計算，再到純符號的運算，學(xué)生不僅掌握了計算方法，更明白了算理，從操作水平開始，通過計數(shù)器這一載體，發(fā)展到符號水平，完成了數(shù)學(xué)化的過程。

二、計數(shù)器在三年級下冊口算除法中的運用

（一）生活引入

人教版三年級下冊第11頁例1：把60張彩色手工紙平均分給3人，每人得到多少張？

學(xué)生根據(jù)題意列出算式是60÷3，問學(xué)生是怎么計算的，很多學(xué)生都說是因為6÷3=2，所以60÷3= 20，再追問為什么可以這么計算呢？就回答不了了。其實這是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)算法背后的算理。沒有算理的支撐，算法是單薄的，必須讓學(xué)生明白6÷3= 2和60÷3=20之間的關(guān)系。

（二）半抽象：計數(shù)器

將60÷3=20在計數(shù)器上表示出來是怎樣的呢？請看下圖，計數(shù)器將60轉(zhuǎn)化成了6個十，學(xué)生發(fā)現(xiàn)60÷3=20就是6個十除以3等于2個十，就是20。在計算的過程中深刻領(lǐng)會了算理，再去計算其他題目時，就會調(diào)用頭腦中計數(shù)器這個表象，快速地實現(xiàn)從生活數(shù)學(xué)到符號數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化。

（三）遷移：移動珠子在計數(shù)器上的位置

如果將計數(shù)器上的珠子從十位移動到百位，你得到的是哪道除法算式？如果移動到千位呢？萬位呢？學(xué)生根據(jù)計數(shù)器上珠子在不同的位置列出不同的除法算式。

（四）抽象

根據(jù)計數(shù)器上的珠子，分別寫出下列算式，再進行抽象：這些算式在計算方法上有什么相同點？都是可以轉(zhuǎn)換成6÷3=2來計算。

（五）概括

變換數(shù)字，又可以寫成哪些算式？然后觀察這些算式，進行思考：這些算式有什么相同的地方和不同的地方？被除數(shù)是整十、整百、整千的，除以一位數(shù)，為什么可以化成表內(nèi)除法來計算？挖掘計算方法背后的算理，那就是把整十、整百、整千數(shù)看成幾個十、幾個百、幾個千來計算。算式從特殊到一般，再從一般到特殊，深刻理解了算理，掌握了算法。

三、利用計數(shù)器溝通口算乘除法之間的聯(lián)系

乘法和除法之間存在天然的親密關(guān)系，而口算乘法和口算除法無論在外在表現(xiàn)形式上還是內(nèi)在算理上，也有著千絲萬縷的聯(lián)系。在教學(xué)三年級下冊的口算除法時，可以引導(dǎo)學(xué)生回憶三年級上冊的口算乘法，再結(jié)合口算除法的算理，兩者的相同點都是把整十、整百、整千數(shù)看成幾個十、幾個百、幾個千來計算。

比如根據(jù)上圖寫一道乘法算式和一道除法算式，學(xué)生看到的都是6顆珠子，而表現(xiàn)出來的算式卻是20×3=60和60÷3=20，如果追問它們之間的關(guān)系，那就是都轉(zhuǎn)化成幾個十來計算。一個是表內(nèi)乘法，一個是表內(nèi)除法，然后再深挖，那就是全部都出自同一句乘法口訣：二三得六！最終，讓三年級的口算乘法和口算除法回歸到二年級的表內(nèi)乘法口訣，實現(xiàn)了由薄到厚，再由厚到薄的知識發(fā)展過程，豎成線、橫成片。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程是一個螺旋上升的過程，學(xué)生在二年級熟練掌握的乘法口訣，在三年級的口算乘法和口算除法中得到了應(yīng)用，通過計數(shù)器這一載體，溝通了三者之間的聯(lián)系，隨著年級的升高，學(xué)生的智力發(fā)展水平也從動手操作水平發(fā)展到了圖形表象水平，進而進入符號運算水平，在二年級時需要擺弄小棒的，到了三年級時就用看計數(shù)器的圖片就能明白算理了，到四年級幾乎就可以脫離圖形，獨立地進行符號運算了。這是一個智力水平發(fā)展的過程，也是知識能力不斷提升的過程，在這個過程中，我們不應(yīng)該忽視中間環(huán)節(jié)——圖形表象的作用，計數(shù)器在三年級口算乘除法中得到的充分應(yīng)用，正符合了學(xué)生的思維發(fā)展水平。

（浙江省瑞安市馬鞍山實驗小學(xué) 325200）