□ 顏榮林 田海琪

讓數(shù)學(xué)靈動(dòng)起來(lái)
——充分開(kāi)發(fā)“九宮圖”教學(xué)價(jià)值的理性分析與教學(xué)設(shè)想

□ 顏榮林 田海琪

“九宮圖”是一個(gè)簡(jiǎn)易的數(shù)學(xué)模型，卻蘊(yùn)含著大量的數(shù)學(xué)規(guī)律。教師要想在探究“九宮圖”的各種內(nèi)在數(shù)學(xué)規(guī)律的基礎(chǔ)上，充分開(kāi)發(fā)“九宮圖”的教育價(jià)值，就要對(duì)九宮圖的文化背景、九宮圖的不同填法、“九宮圖”的數(shù)字規(guī)律等進(jìn)行深入的分析，從而提出教學(xué)設(shè)想。

九宮圖 教學(xué)價(jià)值

“越是簡(jiǎn)單的知識(shí)，越能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本源?！本艑m圖就是這樣的一個(gè)例子。在3×3的九個(gè)方格中，分別填入1至9這九個(gè)數(shù)。這是一個(gè)十分簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題，簡(jiǎn)單到只要以“20以內(nèi)的加法”作為基礎(chǔ)，就可以解決這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題（如右圖）。但是，卻賦予它神話的色彩，下面讓我們慢慢走進(jìn)“九宮圖”的世界。

一、九宮圖的文化背景分析

相傳，在夏禹時(shí)代，洛水中曾出現(xiàn)過(guò)一只大的神龜，它的背殼上有個(gè)圖（如左下圖），人們把這個(gè)圖稱作“洛書”。據(jù)說(shuō)，這個(gè)圖中蘊(yùn)含了世間萬(wàn)物的變化規(guī)律，“洛書”為當(dāng)時(shí)的首領(lǐng)大禹所得，他從中悟出了治理天下的道理。

“洛書”比較形象的稱法是“九宮圖”或“縱橫圖”，它的神奇特點(diǎn)吸引了無(wú)數(shù)人對(duì)它癡迷。從我國(guó)古代的“河出圖，洛出書，圣人則之”的傳說(shuō)起，系統(tǒng)研究九宮圖的第一人，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家——楊輝。

在國(guó)外，公元1300年被希臘數(shù)學(xué)家莫斯切普羅所推廣，成為許多數(shù)學(xué)家傾注精力進(jìn)行研究的一個(gè)數(shù)學(xué)題材。

九宮圖中的原理連小學(xué)生都很容易理解，但它的內(nèi)涵卻是十分豐富的，它通過(guò)數(shù)字間的周轉(zhuǎn)變化，數(shù)與形的和諧統(tǒng)一，局部與整體的全息對(duì)應(yīng)，描繪出一個(gè)生動(dòng)的宇宙演化的數(shù)學(xué)模型。它蘊(yùn)含著大量的數(shù)學(xué)規(guī)律，“線線諸數(shù)合幻和、縱橫巧合聯(lián)四方、和差積方都巧等、三角方圓均有律”，它與算術(shù)、數(shù)論、幻方、代數(shù)幾何、矩陣、趣味數(shù)學(xué)等都有聯(lián)系。古今中外，不知多少學(xué)者著書立說(shuō)，對(duì)九宮圖進(jìn)行深入的探索。

從上面的闡述中，感受到了“九宮圖”所特有的文化內(nèi)涵，從它“現(xiàn)世”的那一刻起，就注定成為一個(gè)融數(shù)理與神話為一體的數(shù)理哲學(xué)的化身。因此，在引入“九宮圖”時(shí)，如果我們能創(chuàng)設(shè)情境，恰當(dāng)?shù)仃U述“九宮圖”的文化背景，可以激發(fā)學(xué)生對(duì)“九宮圖”進(jìn)行深入研究的興趣。為后面研究或了解“九宮圖”的各種不同的填法積累情感的基礎(chǔ)。

二、九宮圖的填寫方法分析

九宮圖的填法，如果用算術(shù)法湊數(shù)，可以用“羅列數(shù)組，對(duì)號(hào)入座”的方法很快地填出。但是，人們?cè)诖嘶A(chǔ)上，還創(chuàng)造出了許多口訣，根據(jù)口訣，可以按部就班地填出九宮圖，增強(qiáng)填寫“九宮圖”的趣味性。下面我們列舉幾種適合小學(xué)生填寫與了解的方法，并簡(jiǎn)要說(shuō)明大致的教學(xué)設(shè)想。

（一）羅列數(shù)組，對(duì)號(hào)入座

這是最常用的構(gòu)造九宮圖的方法。

我們知道，把1至9這九個(gè)數(shù)填入“九宮圖”，由于9個(gè)數(shù)的總和為45，每橫行、每豎列、每橫行和每斜行的三個(gè)數(shù)的和均相等，所以這樣的每三個(gè)數(shù)的和都應(yīng)該是15，也就是說(shuō)從1至9中選出三個(gè)數(shù)，至少需要組成8組不完全相同的和為15的數(shù)組。經(jīng)過(guò)試驗(yàn)有且只有8組，分別是（1，5，9，）（2，5，8）（3，5，7）（4，5，6）（2，4，9）（2，6，7）（3，4，8）（1，6，8）。

再觀察右邊的九宮圖，寫出以上8組和時(shí)，中間e的位置上的數(shù)被用到了4次，角上a,c,g,i的位置上的數(shù)被用到了3次，而邊上b,d,f,h的位置上的數(shù)只被用到了2次。

按上面的規(guī)律，把8組數(shù)中各個(gè)數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)做一個(gè)統(tǒng)計(jì)，可以發(fā)現(xiàn)“5”被用了4次，“2，4，6，8”各被用了3次，“1，3，5，7”各被用了2次。經(jīng)過(guò)試驗(yàn)自然就可以把各個(gè)數(shù)“對(duì)號(hào)入座”了。

從上面的敘述中，可以設(shè)想到，如果只給出要求，學(xué)生按要求把1至9這九個(gè)數(shù)填入九個(gè)方格中，學(xué)生首先會(huì)進(jìn)行嘗試，當(dāng)出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，會(huì)不斷地調(diào)整，這是最原始的嘗試法。之后，再引導(dǎo)學(xué)生反思填寫要求，逐步發(fā)現(xiàn)上面敘述的有序的填寫思路。這就是數(shù)學(xué)思考的力量。這樣的一個(gè)過(guò)程適合三年級(jí)時(shí)組織學(xué)生填寫。而對(duì)于一、二年級(jí)的學(xué)生則可以先填其中部分?jǐn)?shù)，讓學(xué)生根據(jù)規(guī)則，填寫出滿足要求的其他位置上的數(shù)。如請(qǐng)補(bǔ)全右面的“九宮圖”。

（二）歸納口訣，記憶填數(shù)

用上面的填法，固然可以填寫九宮圖，但是需要一個(gè)較長(zhǎng)的過(guò)程。因此，還可以編寫出填寫的口訣。這些口訣又可以分為兩類，一類是直接填數(shù)法，一類是表述過(guò)程法。

1.直接填數(shù)法

直接填數(shù)法就是依據(jù)口訣，可以依次直接填寫出各個(gè)位置上的數(shù)。最有名的是：

戴九履一，左三右七，二四為肩，六八是足。

上面的口訣，分明就是一只烏龜?shù)脑煨?，如右圖。

下面的口訣則是根據(jù)奇數(shù)與偶數(shù)不同位置特點(diǎn)編寫而成的。

九數(shù)從小排到大，中間數(shù)字中間填，四角填上偶數(shù)項(xiàng)，余下四數(shù)再補(bǔ)全。

根據(jù)上面的口訣，可以按如下的圖示填寫。

這給我們提供了很好的教學(xué)思路：在學(xué)生按“羅列數(shù)組，對(duì)號(hào)入座”的方法填寫出“九宮圖”后，請(qǐng)學(xué)生閱讀上面的兩句口訣，說(shuō)一說(shuō)這兩句口訣的意思及編寫的思路。然后請(qǐng)學(xué)生再獨(dú)立找一找“九宮圖”中各個(gè)數(shù)的其他特征，自己來(lái)創(chuàng)作一句填數(shù)口訣。

2.表述過(guò)程法

用直接填數(shù)的口訣雖然形象生動(dòng)，但是如果把它作為真正的填數(shù)方法，可能要增加學(xué)生的記憶負(fù)擔(dān)。所以人們又創(chuàng)作出了另一種口訣，描述的是如何從最簡(jiǎn)單的數(shù)的排列，通過(guò)最簡(jiǎn)便的數(shù)的位置移動(dòng)，實(shí)現(xiàn)填寫九宮圖的目的。

下面介紹的就是楊輝創(chuàng)造的一種填數(shù)口訣：

九數(shù)斜排，上下對(duì)易，左右互換。

讀完上面的口訣，再看下面的兩個(gè)圖示，是否學(xué)會(huì)了“九宮圖”的快速填法了？

在國(guó)外也有類似的口訣，“羅伯”口訣是其中有名的。

一填首行正中央，依次斜上莫要忘，

上出下填右出左，若是重了填下方。

右邊的圖示反映了按上面的口訣填數(shù)的過(guò)程。

根據(jù)口訣，只要找到“1”的位置，然后按規(guī)則從小到大填入其余各數(shù)的位置。

上面的這些填法，如何成為教學(xué)資源？我們?cè)O(shè)計(jì)了兩種方案。

第一種方案是逐步滲透法。在一年級(jí)的教學(xué)中，根據(jù)學(xué)生的計(jì)算能力，做一些填數(shù)游戲，二年級(jí)再請(qǐng)學(xué)生按“羅列數(shù)組，對(duì)號(hào)入座”的方法填數(shù)，到了三年級(jí)，再請(qǐng)學(xué)生欣賞與研究口訣填數(shù)。

第二種方案是主題教學(xué)法。在三年級(jí)或者四年級(jí)時(shí)，組織一堂數(shù)學(xué)活動(dòng)課，把以上一、二、三年級(jí)的教學(xué)內(nèi)容串聯(lián)成一堂活動(dòng)課，讓學(xué)生整體感受“九宮圖”填寫的內(nèi)在魅力。

三、九宮圖的內(nèi)在規(guī)律分析

從上面的填寫法的分析中，我們感受到了數(shù)學(xué)家對(duì)于“九宮圖”的喜歡，他們不滿足于常規(guī)的填法，創(chuàng)造出了許多口訣，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造精神。但是，“九宮圖”真正吸引人們，尤其是數(shù)學(xué)家的研究興趣的，并不僅僅是它的數(shù)學(xué)文化背景或它的填法創(chuàng)造，更為重要的是“九宮圖”——這個(gè)只有9個(gè)數(shù)構(gòu)建而成的數(shù)學(xué)模型中所蘊(yùn)含著的數(shù)學(xué)規(guī)律。筆者收集了其中一些淺顯易懂的規(guī)律，力圖讓它們成為教學(xué)資源。

（一）“田—口=15”

“九宮圖”中的任何一個(gè)“田”格中的4數(shù)之和，減去與此“田”格不同行不同列的另一格之?dāng)?shù)，必等于15。如（2+9+7+5）-8=15，（7+5+6+1）-4=15。

（二）相等數(shù)對(duì)

把“九宮圖”的中心格5抹去（如左圖）以后，經(jīng)過(guò)中心格的任一條線上的兩數(shù)和均是10。其實(shí)這種相等的數(shù)對(duì)處處可見(jiàn)：我們隨意壓住“九宮圖”中的一格，那么與這格相交的各線，所剩的兩數(shù)的和全相等。就如我們提起一個(gè)正方形網(wǎng)片一樣，無(wú)論我們從哪個(gè)角上提起，從這個(gè)角向三個(gè)方向看去，所看到每條線上的兩數(shù)之和都相等。

（三）遞增和

“九宮圖”中對(duì)稱的兩行或兩列，將每行（列）各數(shù)依次乘一個(gè)等差數(shù)列的各項(xiàng)，各項(xiàng)積之和必相等。例如

（四）平方和相等性

“九宮圖”的第一、三行或者第一、三列所含的數(shù)的平方和相等，即42+92+22=82+12+62=101，42+ 32+82=22+72+62=89。

此外過(guò)中心4線上各數(shù)的平方和也有規(guī)律，請(qǐng)看：（22+52+82）+（42+52+62）+10=（72+52+32）+（92+52+ 12）-10=180。

（五）循環(huán)積和

“九宮圖”中第一、三行或第一、三列，順次兩數(shù)相乘，其和必相等，即

（六）對(duì)稱積和

在對(duì)稱的兩行或兩列中，一條線上，兩端兩數(shù)之積的2倍，與中間一數(shù)的平方之和相等，例如

（2×4）×2+92=（6×8）×2+12=97。

（6×2）×2+72=（8×4）×2+32=73。

以上只是筆者收集到的關(guān)于“九宮圖”規(guī)律的一小部分。顯然，要把它們轉(zhuǎn)化成課程資源，需要教師進(jìn)行創(chuàng)造性的開(kāi)發(fā)。

首先，把這些規(guī)律按發(fā)現(xiàn)的難度進(jìn)行分類。如上面的六個(gè)規(guī)律，由易到難，最簡(jiǎn)單的是“相等數(shù)對(duì)”的規(guī)律，最難的當(dāng)數(shù)“對(duì)稱積和”。

對(duì)于這些規(guī)律，在教師的引導(dǎo)下進(jìn)行自主發(fā)現(xiàn)。在這個(gè)過(guò)程中，如果學(xué)生有其他的新發(fā)現(xiàn)，同樣給予肯定。如要求學(xué)生找“相等數(shù)對(duì)”時(shí)，有一位學(xué)生說(shuō)，他還發(fā)現(xiàn)了“角上的數(shù)是相對(duì)的兩個(gè)肩上數(shù)的和的一半”，并舉例子：8=（7+9）÷2。同時(shí)，在找到“相等數(shù)對(duì)”后，教師也可以進(jìn)一步追問(wèn)與引導(dǎo)，讓學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律，如可以從“相等數(shù)對(duì)”中衍生出：角上四個(gè)數(shù)的和等于邊上四個(gè)數(shù)的和。

其次，把這些規(guī)律按與教材知識(shí)的匹配程度分，具體安排在各個(gè)不同的年級(jí)，引導(dǎo)學(xué)生有不同的發(fā)現(xiàn)。

如在學(xué)習(xí)了多位數(shù)加法之后，教師請(qǐng)學(xué)生按下面的要求計(jì)算：計(jì)算順寫的三個(gè)三位數(shù)的和與逆寫的三個(gè)三位數(shù)的和，進(jìn)而總結(jié)出：順寫的三個(gè)三位數(shù)的和等于逆寫的三個(gè)三位數(shù)的和。如 816+ 357+492=618+753+294。

進(jìn)而追問(wèn)：為什么會(huì)有這樣的規(guī)律？知道了為什么后，再請(qǐng)學(xué)生計(jì)算豎著的順寫與逆寫的情況下三個(gè)數(shù)的和是否相等。

上面的活動(dòng)，利用學(xué)生新近學(xué)習(xí)的計(jì)算方法來(lái)探究“九宮圖”中的新規(guī)律。既有利于提高學(xué)生的計(jì)算技能，同時(shí)又豐富了對(duì)“九宮圖”規(guī)律的新認(rèn)識(shí)，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

總之，對(duì)作為教學(xué)資源的“九宮圖”規(guī)律的探究，并不是只為了探究規(guī)律而組織活動(dòng)，它完全可以融合到我們平時(shí)的計(jì)算教學(xué)中，為計(jì)算教學(xué)平添了一道人文風(fēng)景。

（浙江省杭州市蕭山區(qū)所前二小 311200浙江省杭州市蕭山區(qū)北干小學(xué) 311200）