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        高考數(shù)列創(chuàng)新問題的求解

        2016-02-14 19:03:35湖南省衡陽市第一中學(xué)李成效
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2016年6期
        關(guān)鍵詞:定義能力

        ☉湖南省衡陽市第一中學(xué) 李成效

        高考數(shù)列創(chuàng)新問題的求解

        ☉湖南省衡陽市第一中學(xué) 李成效

        高考為高校選拔具有創(chuàng)新意識(shí)的優(yōu)秀生源提供了便利,而創(chuàng)新試題具有良好的選拔功能.因此近幾年來各省市的高考?jí)狠S題在對(duì)創(chuàng)新意識(shí)的考查方面表現(xiàn)得尤為活躍,涌現(xiàn)出了一些構(gòu)思新穎、意境深遠(yuǎn)的命題,從不同的角度考查考生的思維水平、創(chuàng)新意識(shí)、學(xué)習(xí)潛能以及對(duì)所提供的信息從邏輯關(guān)系上進(jìn)行整理和分析的能力,希望考生能用已學(xué)過的知識(shí)和方法,通過分析與綜合,找出已知和未知的聯(lián)系,嘗試解決新的問題.數(shù)列創(chuàng)新問題的考查是高考命題的重要形式,此類問題能有效考查考生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決新問題的能力,因此備受命題人的關(guān)注.那么具體采用什么樣策略,才能順利解答此類問題呢?下面引例說明.

        一、問題展示

        題目設(shè)數(shù)列{an}滿足:①a1=1;②所有項(xiàng)an∈N*;③1=a1<a2<…<an<an+1<….

        設(shè)集合Am={n|an≤m,m∈N*},將集合Am中的元素的最大值記為bm,即bm是數(shù)列{an}中滿足不等式an≤m的所有項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)的最大值.我們稱數(shù)列{bn}為數(shù)列{an}的伴隨數(shù)列.

        (Ⅰ)若數(shù)列{an}的伴隨數(shù)列為1,1,1,2,2,2,3,請(qǐng)寫出數(shù)列{an};

        (Ⅱ)設(shè)an=3n-1,求數(shù)列{an}的伴隨數(shù)列{bn}的前30項(xiàng)的和;

        (Ⅲ)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2+c(其中c為常數(shù)),求數(shù)列{an}的伴隨數(shù)列{bm}的前m項(xiàng)的和Tm.

        我們學(xué)習(xí)中經(jīng)常會(huì)遇到所謂的“難題”.“難”,難在哪?筆者通過研究發(fā)現(xiàn):“難”并不在本質(zhì),而是在“形式”,“形式新穎”是難題的主要標(biāo)志.當(dāng)遇到“難題”或新穎的試題而一籌莫展、無從下手時(shí),不妨先把問題簡(jiǎn)化一下,以突出其關(guān)鍵信息,特別是“把一個(gè)比較復(fù)雜的問題,“退”成最簡(jiǎn)單、最原始的問題來求解,把這個(gè)最簡(jiǎn)單、最原始的問題想通了、想透了,然后再進(jìn)行歸納、總結(jié),從而實(shí)現(xiàn)質(zhì)的飛躍,這是解答好創(chuàng)新問題的一個(gè)訣竅.

        二、問題分析

        本題是一道新定義的題目,第(Ⅰ)問較為基礎(chǔ),只要我們準(zhǔn)確把握新定義的內(nèi)涵并靈活應(yīng)用即可輕松解答.當(dāng)然這里的應(yīng)用既包括正用,也包括逆用和變形用.第(Ⅱ)問以特殊的等比數(shù)列為背景,考查了我們對(duì)新定義的深入理解.第(Ⅲ)問將所給的數(shù)列隱藏于關(guān)系式Sn=n2+c中,但利用我們所學(xué)知識(shí)不難得出其等差數(shù)列的背景.本題考查了數(shù)列的概念、數(shù)列的基本性質(zhì),考查了考生的運(yùn)算能力、推理能力以及分類討論等數(shù)學(xué)思想方法.總之為了解答好此題,必須通過理解定義,弄清定義的本質(zhì),方可以不變應(yīng)萬變.

        三、問題解答

        (一)弄清新定義的內(nèi)涵

        新概念型題目是培養(yǎng)教生探究和推理能力的良好素材,解決這類問題的關(guān)鍵在于從一般的情況進(jìn)行探究,使教生充分認(rèn)識(shí)試題的本質(zhì),建構(gòu)知識(shí),進(jìn)一步培養(yǎng)教生的探究、推理能力.創(chuàng)新問題往往新在形式,弄清新定義問題的本質(zhì),是解決此類問題的關(guān)鍵.如何來準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)新定義的本質(zhì)呢?我們可以從簡(jiǎn)單的情況入手.

        例1數(shù)列{an}:1,3,5,求數(shù)列{an}的伴隨數(shù)列.

        解:當(dāng)m=1時(shí),滿足an≤1的最大項(xiàng)為a1,所以項(xiàng)數(shù)最大值為n=1,即b1=1.

        當(dāng)m=2時(shí),滿足an≤2的最大項(xiàng)為a1,所以項(xiàng)數(shù)最大值為n=1,即b2=1.

        當(dāng)m=3時(shí),滿足an≤3的最大項(xiàng)為a2,所以項(xiàng)數(shù)最大值為n=2,即b3=2.

        當(dāng)m=4時(shí),滿足an≤4的最大項(xiàng)為a2,所以項(xiàng)數(shù)最大值為n=2,即b4=2.

        當(dāng)m=5時(shí),滿足an≤5的最大項(xiàng)為a3,所以項(xiàng)數(shù)最大值為n=3,即b5=3.

        所以數(shù)列{an}的伴隨數(shù)列為1,1,2,2,3.

        (二)逆向探究新定義的本質(zhì)

        學(xué)習(xí)一個(gè)定義、定理或性質(zhì)的目的是應(yīng)用其解題,應(yīng)用的過程并不僅局限于正向應(yīng)用,還包括逆向應(yīng)用和變形應(yīng)用,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)所學(xué)知識(shí)的活學(xué)活用.第(Ⅰ)問給出伴隨數(shù)列,反求{an},加深了我們對(duì)新定義的正確認(rèn)識(shí).

        解:由條件知,a1=1.

        因?yàn)閎1=b2=b3=1,即滿足條件an≤1,an≤2,an≤3的最大項(xiàng)均為a1,所以a2>3.又因?yàn)閎4=2,所以a2≤4,而an∈N*,所以a2=4.

        同理可得a3=7.

        所以伴隨數(shù)列為1,1,1,2,2,2,3.所以數(shù)列{an}為1,4,7.

        (三)由一般到特殊,實(shí)現(xiàn)新定義的拓展

        適用于一般情況的結(jié)論,對(duì)特殊情況一定成立.等差、等比數(shù)列,是我們所學(xué)的兩個(gè)最基本、最重要的數(shù)列,其有各自獨(dú)立的通項(xiàng)公式、求和公式及相應(yīng)的性質(zhì).第(Ⅱ)問給出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=3n-1,即{an}為等比數(shù)列,將問題推廣到特殊數(shù)列形式.

        解:由an=3n-1≤m,得n≤1+log3m(m∈N*).

        當(dāng)1≤m≤2,m∈N*時(shí),b1=b2=1,

        當(dāng)3≤m≤8,m∈N*時(shí),b3=b4=…=b8=2,

        當(dāng)9≤m≤26,m∈N*時(shí),b9=b10=…=b26=3,

        當(dāng)27≤m≤30,m∈N*時(shí),b27=b28=b29=b30=4.

        故b1+b2+…+b30=1×2+2×6+3×18+4×4=84.

        點(diǎn)評(píng):等比數(shù)列有固定的通項(xiàng)公式,因此對(duì)相關(guān)項(xiàng)的討論可用其通項(xiàng)公式來完成.定義要求an≤m,即an= 3n-1≤m,從而得出n≤1+log3m(m∈N*),使得n與m之的關(guān)系具體化,進(jìn)而將伴隨數(shù)列的求解程序化.

        (四)由等比到等差,體現(xiàn)新定義的遷移

        類比就是由兩個(gè)對(duì)象的某些相同或相似的性質(zhì),推斷它們?cè)谄渌再|(zhì)上也有可能相同或相似的一種推理形式,也就是遷移后的新問題與原問題實(shí)質(zhì)是一樣的,或部分地改變?cè)瓕?duì)象的實(shí)質(zhì),對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行必要的修正.在創(chuàng)新題的解題過程中,通過類比與遷移,化新為舊、化繁為簡(jiǎn)、化難為易,從而解決問題.對(duì)一個(gè)新的問題,關(guān)鍵是把不易解決的陌生問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決過的類型或易于解決的問題.

        第(Ⅲ)問將所給數(shù)列隱藏于條件Sn=n2+c中,利用an=Sn-Sn-1即可得出該數(shù)列為等差數(shù)列,從而將問題由等比過渡到等差的形式,體現(xiàn)了新定義的遷移功能.

        解:因?yàn)閍1=S1=1+c=1,所以c=0.

        當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n-1,所以an=2n-1(n∈N*).

        由an=2n-1≤m,得n≤(m∈N*).

        因?yàn)槭沟胊n≤m成立的n的最大值為bm,所以

        b1=b2=1,b3=b4=2,…,b2t-1=b2t=t(t∈N*).

        故應(yīng)對(duì)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況進(jìn)行分類討論:

        當(dāng)m=2t-1(t∈N*)時(shí):

        所以Tm=

        點(diǎn)評(píng):有了前面對(duì)等比數(shù)列的伴隨數(shù)列的求解,那么對(duì)等差數(shù)列伴隨數(shù)列的求解就顯得順暢自然了.同樣利用新定義得出an=2n-1≤m,即n≤(m∈N*),這是問題順利求解的關(guān)鍵.另外本問的易錯(cuò)點(diǎn)是忽略對(duì)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)的討論.

        四、變式解答

        例2對(duì)于數(shù)列{an},定義數(shù)列{bn}如下:對(duì)于正整數(shù)m,bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值,如{an}是單調(diào)遞增數(shù)列,a3=4,則b4=3;若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-1,n∈N*,則數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為_________.

        本題也是一道新定義的題目,要想解決它必須通過理解定義,轉(zhuǎn)化條件,化難為易,不斷地向我們的最近發(fā)展區(qū)靠攏.

        解析:理解新定義:{an}是單調(diào)遞增數(shù)列,即a1<a2<a3=4<a4<…,那么滿足an≥4的所有n中的最小值只能是3,所以b4=3.

        所以答案是bm=

        通過上述各問題的解答過程,不難發(fā)現(xiàn),所用的知識(shí)方法都是我們熟悉的內(nèi)容.充分體現(xiàn)了高考考查同學(xué)們利用所學(xué)知識(shí)解決陌生問題的能力.

        近年高考?jí)狠S題大多體現(xiàn)在以數(shù)列為背景附加“新定義、新運(yùn)算”的創(chuàng)新題目,目的在于考查考生對(duì)數(shù)學(xué)定義的閱讀理解和數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,嚴(yán)密的邏輯思維和推理論證能力,綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法解決問題的能力.這類問題往往淡化解題技巧、突出對(duì)考生數(shù)學(xué)思維能力的考查,要求考生能從問題中準(zhǔn)確提取有效信息,理解新的數(shù)學(xué)概念本質(zhì),進(jìn)行創(chuàng)造性的分析與推理.有效地考查了考生學(xué)習(xí)潛力和數(shù)學(xué)理性思維以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法創(chuàng)造性地解決問題的能力.Z

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