☉浙江省紹興市第一中學(xué) 俞一凡

關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高
——讓數(shù)學(xué)在學(xué)生心里生根發(fā)芽

☉浙江省紹興市第一中學(xué) 俞一凡

數(shù)學(xué)素養(yǎng)于2000年首次出現(xiàn)在我國國家文件之中.在2000年頒布的《全日制普通高級中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試驗修訂版）》中指出：“使學(xué)生在高中階段繼續(xù)受到數(shù)學(xué)教育，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對于提高全民素質(zhì)，為培養(yǎng)社會主義現(xiàn)代化建設(shè)所需的人才打好基礎(chǔ)是十分必要的.”《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》中也提到了：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該在九年義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提高作為未來公民所必要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，以滿足人的發(fā)展與社會的進(jìn)步.”盡管數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)如此強調(diào)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要性，但它并沒有給出數(shù)學(xué)素養(yǎng)的涵義.筆者因此查閱了一些文獻(xiàn)，其中有文獻(xiàn)指出，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是指在已有數(shù)學(xué)知識經(jīng)驗基礎(chǔ)上，經(jīng)過數(shù)學(xué)教育的培養(yǎng)，內(nèi)化數(shù)學(xué)文化，最終形成理性處理問題所需的數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的綜合表征，也有人提出，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，就是讓數(shù)學(xué)的理性精神、思維方法和實際應(yīng)用意識等深深地鐫刻在學(xué)生的腦海中.筆者學(xué)習(xí)和閱讀了相關(guān)的文獻(xiàn)并結(jié)合自身的教學(xué)實踐，認(rèn)為數(shù)學(xué)素養(yǎng)就是學(xué)生能夠用數(shù)學(xué)的眼光去看待問題、解決問題的能力，數(shù)學(xué)就好比一棵棵小樹苗，老師將它栽進(jìn)學(xué)生的心里，當(dāng)這些小樹苗在學(xué)生的心里生根發(fā)芽時，那么數(shù)學(xué)就真正地種進(jìn)了學(xué)生的心里，也就是學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)真正地得到了提高.

事實上，筆者已經(jīng)在教學(xué)實踐中發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，花費了很多的時間精力努力學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，但是數(shù)學(xué)成績還是很難提高，而且在學(xué)習(xí)任何新的數(shù)學(xué)知識時都感到困難重重，學(xué)了新的又忘了舊的.究其根本原因，就在于這些學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的同時其數(shù)學(xué)素養(yǎng)并沒有得到提高.由此可見，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)既是提高學(xué)生數(shù)學(xué)成績的關(guān)鍵，也是教師教學(xué)的核心內(nèi)容.下面筆者就概念教學(xué)和解題教學(xué)兩個方面截取了兩個教學(xué)片斷來談?wù)勅绾翁岣邔W(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，不當(dāng)之處，敬請指正.

一、在概念教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)學(xué)科的真理性

案例1“對數(shù)的概念”的教學(xué)片斷.

對數(shù)概念的本質(zhì)屬性體現(xiàn)在“運算、等價、符號”這三個關(guān)鍵詞上.指數(shù)式和對數(shù)式的等價，是對數(shù)概念的核心，蘊含著化歸和轉(zhuǎn)化的思想.在對數(shù)概念的教學(xué)中，就應(yīng)該將對數(shù)概念的本質(zhì)滲透其中，扎根在學(xué)生心里，在潛移默化中提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

師：同學(xué)們，在指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)中我們研究過這個問題：某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過1年，這種物質(zhì)剩留的質(zhì)量是原來的84%.寫出這種物質(zhì)的剩留量關(guān)于時間的函數(shù)關(guān)系.

生：若設(shè)該物質(zhì)最初的質(zhì)量是1，則經(jīng)過x年，該物質(zhì)的剩留量為y=0.84x.建立這個函數(shù)關(guān)系式可以實現(xiàn)計算預(yù)測的功能，只要知道時間x就可以計算剩留量y.

師：反過來，如果我們測得了剩留量y，怎么求出所經(jīng)過的時間x呢？比如剩留量為0.5，經(jīng)過了多少年？

由此引出：“已知底數(shù)和冪值求指數(shù)”的研究課題.

師：0.85x=0.5中的x存在嗎？唯一嗎？能否借助之前所學(xué)的指數(shù)函數(shù)內(nèi)容加以說明？

師生活動：引導(dǎo)學(xué)生利用指數(shù)函數(shù)圖像和性質(zhì)分析得出0.85x=0.5中的x存在且唯一.

設(shè)計思路：通過實例說明研究對數(shù)的必要性.引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表述問題，回顧指數(shù)運算.由剩留量y求時間x，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)我們要研究的問題的本質(zhì)是“已知底數(shù)和冪值求指數(shù)”.讓學(xué)生意識到這里的求x可能是一種新運算，聯(lián)想加法與減法、乘方與開方等互逆運算，類比借鑒，明確需要建立一種新運算，這種新運算與指數(shù)運算有關(guān).讓學(xué)生感受到任何一個新問題的提出、新概念的引入、新知識的產(chǎn)生都是在已有知識的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究形成的，因此，新問題的提出、新概念的引入、新知識的產(chǎn)生總有它的現(xiàn)實或數(shù)學(xué)理論發(fā)展的需要.

師：既然這樣的數(shù)存在，那么它是多少呢？我們?nèi)绾伪硎舅?？解決的辦法就是給它一個新記號，我們把0.85x＝0.5中的x記作x＝log0.840.5，讀作以0.84為底0.5的對數(shù).那么一般地，已知底數(shù)a和冪值N怎么求指數(shù)呢？

對數(shù)定義：一般地，如果ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫作以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫作對數(shù)的底數(shù)，N叫作真數(shù).

師：在指數(shù)式中a，x，N的名稱叫什么？它們與對數(shù)式中的哪些量相對應(yīng)？通過學(xué)生的回答得出指數(shù)式與對數(shù)式互化的對應(yīng)式.

師：根據(jù)對數(shù)的定義我們可以發(fā)現(xiàn)，ax＝N與x＝logaN兩個等式所表示的是a，x，N這三個量之間的同一個關(guān)系.兩種寫法可以相互轉(zhuǎn)化.

設(shè)計思路：明確指數(shù)式和對數(shù)式中a，x，N是同一個量，理解指數(shù)式和對數(shù)式的相互關(guān)系，互化也體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.指數(shù)式與對數(shù)式的等價轉(zhuǎn)化是這節(jié)課的核心內(nèi)容，不管是推導(dǎo)指數(shù)式的基本性質(zhì)還是計算對數(shù)式中的相關(guān)量，都是利用了指數(shù)式與對數(shù)式的等價轉(zhuǎn)化來解決的.

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：“數(shù)學(xué)概念教學(xué)要讓學(xué)生在生成中感受數(shù)學(xué)本質(zhì)，切實提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，凸顯數(shù)學(xué)教學(xué)的育人功能.”這表明：對數(shù)學(xué)概念本質(zhì)屬性和內(nèi)在聯(lián)系的揭示是概念教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，也是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的關(guān)鍵.

二、在解題教學(xué)中優(yōu)化數(shù)學(xué)思維的縝密性

這是應(yīng)用基本不等式求最值的一個典型題型，教師常常在這道題出現(xiàn)時給出“1”的代換這種解法，忽視了學(xué)生出現(xiàn)的錯解及其錯解背后反映的問題.下面筆者就如何利用這道題的糾錯提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)作一些論述.

師：請問當(dāng)x和y分別取什么值的時候能取到這個最小值？

師：這里用了兩次基本不等式，而兩個等號成立的條件并不相同，所以導(dǎo)致最終無法取到這個最小值.

師：在利用不等式求最值的時候要注意，不等式中的“≥”的涵義是大于或者等于，只要有一個能成立不等式就成立，但是在求最值的時候必須要等號成立才能取到這個最值，所以對于不等式，它確實是成立的，但是這里只是滿足了的情況是不存在的，因為沒有這樣的x，y，使得的最小值.

設(shè)計思路：學(xué)生的這種錯解是非常常見的，從表面上看，學(xué)生是忽視了“一正，二定，三相等”中的“三相等”，利用兩次基本不等式，最終導(dǎo)致無法取到最值.實際上很多學(xué)生對于利用不等式求最值在最初的理解上就出現(xiàn)了偏差，認(rèn)為如果有“一個式子≥一個常數(shù)”，那么這個式子的最小值就是這個常數(shù)，沒有理解“≥”的涵義其實是大于或等于，并不代表一定能取到等于.

生：因為利用基本不等式求最值需要滿足“一正，二定，三相等”，這里并沒有滿足“二定”，的乘積并不是定值而是一個變量.

師：記牢利用基本不等式求最值的三個前提條件沒有錯，只有在這個前提下才能利用基本不等式求最值.