張藝馨（天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 天水 741001）

基于比例odds模型最小次序統(tǒng)計(jì)量的隨機(jī)比較

張藝馨
（天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 天水 741001）

在比例odds模型的框架下，對它的最小次序統(tǒng)計(jì)量作了隨機(jī)比較，包括似然比序，失效率序和隨機(jī)序.

隨機(jī)序；反失效率序；似然比序；比例odds模型

1　研究背景和預(yù)備知識

近年來，次序統(tǒng)計(jì)量倍受國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注，它在統(tǒng)計(jì)推斷、擬合優(yōu)度檢驗(yàn)、可靠性理論及經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域都有重要應(yīng)用.若有一組隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn，可能服從相同的或不同的分布，則用Xi：n表示第i個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量.很多文章對獨(dú)立同分布的情形做了研究，【1-3】由于非獨(dú)立同分布樣本的次序統(tǒng)計(jì)量比較復(fù)雜，所以僅有有限的文章討論了此種情形.［4-7］

Marshall&Olkin［8］通過生成一個(gè)參數(shù)擴(kuò)展了生存函數(shù)為（x）的分布族，并且定義這族生存函數(shù)為

若獨(dú)立隨機(jī)變量組X1，X2，…，Xn滿足

則稱這組隨機(jī)變量屬于比例odds模型.這里就比例odds模型最小次序統(tǒng)計(jì)量的隨機(jī)性質(zhì)進(jìn)行研究.

定義1設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y分別具有密度函數(shù) f和g以及分布函數(shù)F和G.令

為相應(yīng)的生存函數(shù)，則

（1）若g（x）f（x）關(guān)于x單調(diào)遞增，則稱X以似然比序小于Y，記作X≤lrY；

定義1中的隨機(jī)序有以下包含關(guān)系：

定義2給定兩個(gè)向量x=（x1，…，xn）∈?n和

（3）若向量x與y的每一個(gè)分量都嚴(yán)格大于零，且

定義2中的序有如下關(guān)系：

引理1［10］令I(lǐng)??是一個(gè)開區(qū)間，并令φ：In→?連續(xù)可導(dǎo).則稱φ在In上是Schur-凸［Schur-凹］當(dāng)且僅當(dāng)φ在In上對稱并對所有i≠j，

引理2［11］函數(shù)滿足

當(dāng)且僅當(dāng)

2　結(jié)果及其證明

定理1設(shè)有兩組獨(dú)立非負(fù)隨機(jī)變量X1，…，Xn和Y1，…，Yn，分 別 滿 足 Xi～G（x；αi）且Yi～G（x；βi），i=1，…，n，這里αi＞0，βi＞0，i=1，…，n.如果

那么，X1：n≤stY1：n.

證明 X1：n的生存函數(shù)為

要證明X1：n≤stY1：n.，只需證明

這里ai=logαi，i=1，…，n.此時(shí)對任意k，l∈1，…，n，

定理2設(shè)有兩組獨(dú)立非負(fù)隨機(jī)變量X1，…，Xn和 Y1，…，Yn，并且滿足 Xi～G（x；αi）且 Yi～G（x；βi），i=1，…，n，這里αi＞0，βi＞0，i=1，…，n.如果

那么，X1：n≤hrY1：n.

證明 X1：n的概率密度函數(shù)為

它的失效率函數(shù)為

對h（α）求導(dǎo)可得

再次求導(dǎo)有

定理3設(shè)有兩組獨(dú)立非負(fù)隨機(jī)變量X1，…，Xn和Y1，…，Yn，并且滿足 Xi～G（x；αi）且 Yi～G（x；βi），i=1，…，n，這里αi＞0，βi＞0，i=1，…，n.如果

那么，X1：n≤lrY1：n.

證明 X1：n與Y1：n的概率密度函數(shù)之比為

對h（x）求導(dǎo)有

其中

由引理2，可得h1（x）≥h2（x）.所以h（x）關(guān)于x遞增，結(jié)論成立.

3　總　結(jié)

通過本論文的研究，對比例odds模型最小次序統(tǒng)計(jì)量有了相對完整的隨機(jī)序比較結(jié)果，以后可以對比例odds模型最大次序統(tǒng)計(jì)量的隨機(jī)序進(jìn)行研究，也可以對基于指數(shù)分布的比例odds模型的次序統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行研究。

［1］JOO S.，MI J..Some properties of hazard rate functions of sys tems with two components［J］.Journal of Statistical Planning and Inference，2010，140：444-453.

［2］KHALEDI B.E.，KOCHAR S..Some new results on stochastic comparisons of parallel systems［J］.Applied Probability，2000，37：283-291.

［3］PENG ZHAO，BALAKRISHNAN N..Some characterization results for parallel systems with two heterogeneous exponen?tial components［J］.Statistics，2011，45：593-604.

［4］Balakrishnan N.，Rao C.R..Order Statistics：Theory and Methods［M］.Amsterdam：Elsevier，1998.

［5］BALAKRISHNAN N.，RAO C.R..Order Statistics：Applications［M］.Amsterdam：Elsevier，1998.

［6］BALAKRISHNAN N..Permanents，Order statistics，Outliers，and Robustness［J］.Maremática Complutense，2007，20：7-107.

［7］DAVID H.A.，NAGARAJA H.N..Order statistics［M］.New Jersey：John Wiley Sons，2003.

［8］MARSHALL A.W.，OLKIN I..A new method for adding a parameter to a family of distributions with application to the ex?ponential and Weibull families［J］.Biometrika，1997，84：641-652.

［9］MARSHALL A.W.，OLKIN I..Life Distributions：Structure of Nonparametric，Semiparametric and Parametric Families［M］.New York：Springer.

［10］MARSHALL A.W.，OLKIN I..Inequalities：Theory of Majorization and its Applications［M］.New York：Academic Press，1979.

［11］KHALEDI B.E.，KOCHAR S.C..Dispersive ordering among linear combinations of uniform random variables［J］.Statisti?cal and Planning Inference，2002，100：13-21.

〔責(zé)任編輯 高忠社〕

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A

1671-1351（2016）02-0016-03

2016-01-12

張藝馨（1989-），女，甘肅平?jīng)鋈?，天水師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院教師。