□周倫菊

澄清“角”里的誤解

□周倫菊

有些同學(xué)在學(xué)習(xí)角時(shí)，由于對(duì)基本概念及圖形的特征理解不透徹而出現(xiàn)一些錯(cuò)誤，現(xiàn)將這些錯(cuò)誤歸納如下，希望大家在學(xué)習(xí)時(shí)能引以為戒.

一、概念理解錯(cuò)誤

例1下列關(guān)于角的說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)有（）.

①兩條射線所組成的圖形叫做角.②角是有公共端點(diǎn)的兩條射線.③角是一條射線從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所組成的圖形.④兩條射線具有同一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，就組成了一個(gè)角.⑤一條直線就是一個(gè)平角，射線是一個(gè)周角.

A.0個(gè)B.1個(gè)

C.2個(gè)D.3個(gè)

錯(cuò)解：D.

錯(cuò)因分析：錯(cuò)解的原因是對(duì)角的概念理解不清.①中忽視組成角的兩條射線必須有公共點(diǎn)；②中把角與射線兩個(gè)不同的概念混淆了，忽視角是一種基本圖形；③中沒(méi)有確定是否繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置；④是正確的.⑤平角和周角也是角，由角的頂點(diǎn)和兩條邊組成，而直線和射線就不具備這些要素.顯然，平角的兩邊在同一條直線上，但不能據(jù)此就說(shuō)“直線是一個(gè)平角”.

正解：B.

點(diǎn)評(píng)：角的概念有兩種表達(dá)方式：①有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角.它指明了角的構(gòu)成要素：兩條射線作為角的兩條邊，公共端點(diǎn)作為角的頂點(diǎn).②角可以看作一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所形成的圖形.

二、混淆角的表示方法

例2如圖1，以點(diǎn)B為頂點(diǎn)的角有幾個(gè)？請(qǐng)分別把它們表示出來(lái).

圖1

錯(cuò)解：以B為頂點(diǎn)的角有6個(gè)，分別是∠B、∠ABD、∠DBC、∠DBA、∠CBD、∠ABC.

錯(cuò)因分析：由于沒(méi)有掌握角的概念及角的表示方法，把一個(gè)角的不同表示重復(fù)計(jì)數(shù)，導(dǎo)致錯(cuò)誤.∠ABD與∠DBA，∠DBC與∠CBD，∠ABC與∠CBA分別表示同一個(gè)角，“∠B”應(yīng)改為∠ABC.

正解：圖中共有3個(gè)角，它們分別是∠ABD、∠DBC、∠ABC.

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)一個(gè)頂點(diǎn)處有多個(gè)角時(shí)，哪個(gè)角都不能用一個(gè)表示頂點(diǎn)的大寫字母表示.

三、思考不周導(dǎo)致漏解

例3在平面內(nèi)，已知射線OA，若從點(diǎn)O引兩條射線OB和OC，使∠AOB＝70°，∠BOC＝40°，求∠AOC的度數(shù).

錯(cuò)解：如圖2，

∠AOC＝∠AOB＋∠BOC

＝70°＋40°＝110°.

圖2

圖3

錯(cuò)因分析：本題忽視了OC可能在∠AOB的外部，也可能在其內(nèi)部，從而造成了漏解.

正解：分兩種情況：（1）當(dāng)OC在∠AOB的外部時(shí)，如圖2，∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝70°＋40°＝110°；

（2）當(dāng)OC在∠AOB的內(nèi)部時(shí)，如圖3，∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝ 70°－40°＝30°.

故∠AOC的度數(shù)為110°或30°.

點(diǎn)評(píng)：沒(méi)有指明射線OC在∠AOB的內(nèi)部還是外部時(shí)，一定要注意分類討論，根據(jù)射線OC不同位置求解.

四、識(shí)圖型錯(cuò)誤

例4如圖4，已知∠AOC＝∠BOC＝∠DOE＝90°，問(wèn)圖中是否有與∠COD互補(bǔ)的角？

圖4

錯(cuò)解：觀察圖形可知，圖中沒(méi)有與∠COD互補(bǔ)的角.

錯(cuò)因分析：由∠BOC＝90°可知，∠BOE與∠COE互為余角.由∠DOE＝90°可知，∠COE與∠COD互為余角，根據(jù)“同角的余角相等”得∠BOE＝∠COD.可見(jiàn)，要找與∠COD互補(bǔ)的角，可轉(zhuǎn)化為找與∠BOE互補(bǔ)的角.觀察圖形知，∠BOE與∠AOE互為補(bǔ)角，因此與∠COD互補(bǔ)的角是∠AOE.

正解：圖中有與∠COD互補(bǔ)的角，是∠AOE.

點(diǎn)評(píng)：在識(shí)圖時(shí)，我們不僅要認(rèn)真觀察圖形，而且還要仔細(xì)分析題設(shè)條件，這樣才能作出正確的判斷.