□杭 靜
一道習題的研究及其應(yīng)用
□杭 靜
有這樣一道題:3個球隊進行單項循環(huán)比賽(參加比賽的每一個球隊都與其他所有的球隊各賽一場),總的比賽場次是多少?4個球隊呢?5個球隊呢?n個球隊呢?
圖1
如何解決這個問題呢?我們先從最簡單的情況開始,可以將3個球隊用字母A、B、C來表示,設(shè)想讓他們站在一條直線上,如圖1,則參加比賽的每一個隊都與其他所有的隊各賽一場,相當于數(shù)出圖形中線段的條數(shù).一般來說,對于一條直線上有多個不重合端點的圖形,要數(shù)出其中線段的條數(shù),根據(jù)線段有兩個端點的特征,可以先固定第一個端點,再以其余的點為另一個端點組成線段,然后固定第二個端點,與其余的點(第一個點除外)組成線段,依此類推,直到找出最后的線段為止.按這種順序識圖可以避免遺漏、重復(fù)現(xiàn)象.圖1中固定A點,有2條線段:AB和AC;固定B點,有1條線段BC,則共有線段2+1=3條.類似地,如果是4個球隊,可以將4個球隊用字母A、B、C、D來表示,設(shè)想讓他們站在一條直線上,如圖2,則參加比賽的每一個隊都與其他所有的隊各賽一場,相當于數(shù)出圖形2中線段的條數(shù),仿上可知,圖2中共有3+2+1=6條線段,它們分別是線段AB、線段AC、線段AD、線段BC、線段BD、線段CD.用這種方法可以得到如下一般性的結(jié)論:
圖2
下面,我們一起看看應(yīng)用這個模型可以解決哪些問題.
例14支排球隊進行單循環(huán)比賽(參加比賽的每兩支球隊之間都要進行一場比賽),則總的比賽場數(shù)為場.
例2如圖3,數(shù)一數(shù)圖中共有多少個長方形?
圖3
這個模型也適合于數(shù)角等問題.
例3如圖4,從點O引m條射線OA、OB、OC、…、OD,則圖中有多少個銳角?
圖4
思考題:如果平面上有m(m≥3)個點,其中任意3個點都不在同一條直線上,那么,過兩點畫一條直線,一共可以畫多少條直線?