□杭 靜

一道習(xí)題的研究及其應(yīng)用

□杭 靜

有這樣一道題：3個(gè)球隊(duì)進(jìn)行單項(xiàng)循環(huán)比賽（參加比賽的每一個(gè)球隊(duì)都與其他所有的球隊(duì)各賽一場），總的比賽場次是多少？4個(gè)球隊(duì)呢？5個(gè)球隊(duì)呢？n個(gè)球隊(duì)呢？

圖1

如何解決這個(gè)問題呢？我們先從最簡單的情況開始，可以將3個(gè)球隊(duì)用字母A、B、C來表示，設(shè)想讓他們站在一條直線上，如圖1，則參加比賽的每一個(gè)隊(duì)都與其他所有的隊(duì)各賽一場，相當(dāng)于數(shù)出圖形中線段的條數(shù).一般來說，對于一條直線上有多個(gè)不重合端點(diǎn)的圖形，要數(shù)出其中線段的條數(shù)，根據(jù)線段有兩個(gè)端點(diǎn)的特征，可以先固定第一個(gè)端點(diǎn)，再以其余的點(diǎn)為另一個(gè)端點(diǎn)組成線段，然后固定第二個(gè)端點(diǎn)，與其余的點(diǎn)（第一個(gè)點(diǎn)除外）組成線段，依此類推，直到找出最后的線段為止.按這種順序識圖可以避免遺漏、重復(fù)現(xiàn)象.圖1中固定A點(diǎn)，有2條線段：AB和AC；固定B點(diǎn)，有1條線段BC，則共有線段2＋1＝3條.類似地，如果是4個(gè)球隊(duì)，可以將4個(gè)球隊(duì)用字母A、B、C、D來表示，設(shè)想讓他們站在一條直線上，如圖2，則參加比賽的每一個(gè)隊(duì)都與其他所有的隊(duì)各賽一場，相當(dāng)于數(shù)出圖形2中線段的條數(shù)，仿上可知，圖2中共有3＋2＋1＝6條線段，它們分別是線段AB、線段AC、線段AD、線段BC、線段BD、線段CD.用這種方法可以得到如下一般性的結(jié)論：

圖2

下面，我們一起看看應(yīng)用這個(gè)模型可以解決哪些問題.

例14支排球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽（參加比賽的每兩支球隊(duì)之間都要進(jìn)行一場比賽），則總的比賽場數(shù)為場.

例2如圖3，數(shù)一數(shù)圖中共有多少個(gè)長方形？

圖3

這個(gè)模型也適合于數(shù)角等問題.

例3如圖4，從點(diǎn)O引m條射線OA、OB、OC、…、OD，則圖中有多少個(gè)銳角？

圖4

思考題：如果平面上有m（m≥3）個(gè)點(diǎn)，其中任意3個(gè)點(diǎn)都不在同一條直線上，那么，過兩點(diǎn)畫一條直線，一共可以畫多少條直線？