葉麗霞，張 忠

（1.武夷學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，福建武夷山354300；2.重慶大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶400030）

具有脈沖時(shí)滯和Holling Ⅲ型的捕食者食餌系統(tǒng)正周期解的存在性

葉麗霞1，張 忠2

（1.武夷學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，福建武夷山354300；2.重慶大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶400030）

利用重合度理論及Mawhin連續(xù)性定理，研究了一類(lèi)具有脈沖時(shí)滯和HollingⅢ類(lèi)功能反應(yīng)的捕食者食餌系統(tǒng)正周期解的存在性問(wèn)題，得到系統(tǒng)存在正周期解的充分條件，并推廣和改進(jìn)部分已有結(jié)果。

脈沖效應(yīng)；時(shí)滯；Holling Ⅲ型功能反應(yīng)；重合度；正周期解

近年來(lái)，具有Holling功能反應(yīng)的生態(tài)系統(tǒng)模型及其變形引起了廣泛的關(guān)注。許多學(xué)者利用不同的方法研究了不同類(lèi)型功能反應(yīng)的捕食者-食餌系統(tǒng)的周期解的存在性［1－5］。另外，生態(tài)系統(tǒng)是漸變的系統(tǒng)，無(wú)法避免外界突發(fā)干擾，因而廣泛存在時(shí)滯現(xiàn)象和脈沖效應(yīng)，如環(huán)境突變，山洪、地震的爆發(fā)，其他物種的遷入和人為添加種群幼崽，幼兒捕食者與成年捕食者捕食能力的不同等會(huì)導(dǎo)致種群數(shù)量許多出現(xiàn)瞬時(shí)變化，即表現(xiàn)為脈沖效應(yīng)。具有時(shí)滯和脈沖效應(yīng)的生態(tài)系統(tǒng)模型引起許多學(xué)者的關(guān)注，得到許多相關(guān)研究成果［6－11］。本文結(jié)合脈沖效應(yīng)和時(shí)滯因素及Holling Ⅲ型功能反應(yīng)，利用用重合度理論及微分方程中的積分方法，得到了系統(tǒng)存在正周期解的一個(gè)充分條件。

本文考慮食餌種群服從Logistic增長(zhǎng)、具有脈沖時(shí)滯和Holling Ⅲ型功能反應(yīng)的捕食系統(tǒng)：

其中：n∈Z＋，0＜m（t）＜1；x（t），y（t）分別表示食餌、捕食者種群密度；cn，dn分別表示食餌、捕食者在t＝tn的脈沖增長(zhǎng)率；其他參數(shù)的生態(tài)學(xué)含義參考文獻(xiàn)［2－4］。本文總是假設(shè)：

（A1）脈沖時(shí)刻｛tn｝，n∈Z＋滿足0＝t0＜t1＜…＜tn＜…；

（A2）存在正數(shù)ω＞0和正整數(shù)p，使得

（A3）函數(shù)a，d：R R；b，c，k，τ：R R＋是連續(xù)ω－周期的，且假設(shè)系統(tǒng)（1）的系數(shù)都是嚴(yán)格正的ω周期函數(shù)。

設(shè)X，Z是賦范向量空間，Ω為X的有界開(kāi)集，L：DomL?X→Z為線性映射，N：X→Z為連續(xù)映射，如果dim KerL＝Co dim lm L＜＋∞，且lm L為Z中閉子集，則映射L稱為指標(biāo)為零的Fredholm映射。如果L是指標(biāo)為零的Fredholm映射，且存在連續(xù)投影：

則L｜DomL∩KerL（I－P）X→lm L可逆，設(shè)其逆映射為Kp。如果QN（ˉΩ）有界且KP（I－Q）N：ˉΩ→X是緊的，則稱N在ˉΩ上是L－緊的。由于lm Q與KerL同構(gòu)，因而存在同構(gòu)映射J：lm Q→KerL。

以下給出相關(guān)引理：

引理1（Mawhin連續(xù)性定理）［10］記Ω?X是一有界開(kāi)集，L：Dom L?X→Y是一個(gè)指標(biāo)為零的Fredholm算子，N：X→Z為ˉΩ上的L－緊的，假設(shè)

1）對(duì)任意λ∈（0，1），Lx→λNx的任意解滿足x??Ω；

2）對(duì)任意x∈?Ω∩KerL，QNx≠0且deg｛JQN，Ω∩KerL｝≠0。

那么算子方程Lx＝Nx在DomL∩ˉΩ至少有一個(gè)解。

引理2 在引理1條件1）和2）下，R2＋是系統(tǒng)（1）的不變集。

為方便，設(shè)J?R，記PC＝｛g：J→R2｜g（t）在t≠tk處連續(xù)，在t＝tk處左連續(xù)，右極限存在｝。對(duì)ω－周期函數(shù)g（t）和ω－周期序列｛cn｝，｛dn｝，本文采用以下記號(hào)：

利用上面的引理和記號(hào)，討論系統(tǒng)（1）的周期解的存在性。

則系統(tǒng)（1）至少存在一個(gè)ω－正周期解。

證明 作變換x（t）＝exp｛u（t）｝，y（t）＝exp｛v（t）｝，則系統(tǒng)（1）等價(jià)于：

設(shè)：

其中：

則

因此，dim KerL＝Co dim lm L＜＋∞且lm L在Z中是閉的，即L是一個(gè)指標(biāo)為零的Fredholm算子。對(duì)于U∈ X，V＝（U，z1，…，zp）∈Z，定義連續(xù)投影算子P：X→X和Q：Z→Z為

則lm P＝KerL，lm L＝KerQ＝lm（I－Q），而且L｜DomL∩KerP：（I－P）X→lm L存在逆映射，記為KP：lm L→ DomL∩KerP。對(duì)任意的V＝（U，z1，…，zp）∈Z，必存在χ∈X，使得

由此可知QN與Kp（I－Q）N是連續(xù)的。再根據(jù)Arzela-Ascoli定理，對(duì)?Ω?X有界開(kāi)集，易證緊算子。

接下來(lái)估計(jì)使得引理1的2個(gè)條件成立的有界開(kāi)集Ω。不妨設(shè)Ω＝｛U｜‖U‖＜H｝，其中H為待定的常數(shù)。

對(duì)?λ∈（0，1），由算子方程LU＝λNU，U∈X有

式（2）從0到ω積分得：

由式（2）和（4）有

從而根據(jù)式（2）和（5）有

由于（u，v）T∈X，則存在ξi，ηi∈［0，ω］，i＝1，2，使得

由式（5）和（8）知

即

所以：

又由于

且由式（4）和（10）可得

因此有

又由于

且由式（4）、（10）和（11）可得

則有

所以：

至此，對(duì)任意的λ∈（0，1），已對(duì)算子方程LU＝λNU的解u（t），v（t）作了估計(jì)，這里與λ無(wú)關(guān)。取其中H為充分大的數(shù)，使由上面估計(jì)可知，任意λ∈（0，1），LU＝λNU的任意解滿足x??Ω，即引理1的第一個(gè)條件成立。為了驗(yàn)證第2個(gè)條件，考慮關(guān)于（u，v）T∈R2的代數(shù)方程組：

其中μ∈［0，1］。類(lèi)似上面的估計(jì)過(guò)程。容易證明對(duì)于?μ∈［0，1］，方程（12）的解（u，v）T有界，實(shí)際上，它也滿足估計(jì)：

對(duì)于任意U∈?Ω∩KerL，因U＝（u，v）T是R2中滿足‖U‖＝H的常數(shù)，則有

由式（9）得，對(duì)任意的U∈?Ω∩KerL，都有QNU≠0。為了計(jì)算Brouwer度，構(gòu)造同構(gòu)變換G（μ，U）＝μQNU＋（1－μ）H（U），μ∈［0，1］，這里U＝（u，v）T且

從式（12）可以看出：對(duì)任意U∈?Ω∩KerL和μ∈［0，1］，都有G（μ，U）≠0。由假設(shè)得H（U）＝0都有唯一解。由lm Q＝KerL，取J＝I，并利用同構(gòu)不變的性質(zhì)得deg｛JQN，Ω∩KerL，0｝＝deg｛QN，Ω∩KerL，0｝＝deg｛N，Ω∩KerL，0｝≠0。因此，驗(yàn)證了引理1的所有條件，從而LU＝NU在DomL∩ˉΩ上至少有1個(gè)解（U*（t），V*（t））T，且也是方程（1）的周期解。所以（x*（t），y*（t））T＝（exp｛u*（t）｝，exp｛v*（t）｝）T也是方程（1）的正周期解。證明完畢。

［1］ 范猛，王克.一類(lèi)具有HollingII型功能性反應(yīng)的捕食食餌系統(tǒng)全局周期解的存在性［J］.數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2001，21A（4）：492－497.

［2］ 葉丹，范猛，張偉鵬.一類(lèi)具有HollingII型功能性反應(yīng)的捕食食餌系統(tǒng)非平凡周期解的存在性［J］.工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2004，21（4）：504－508.

［3］ 任磊.一類(lèi)具有HollingII型功能性反應(yīng)的捕食食餌系統(tǒng)正周期解的存在性［J］.魯東大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，24（3）：199－202.

［4］ 唐小平，李靖云，高文杰.食餌被開(kāi)發(fā)并具有Holling Ⅲ型的捕食系統(tǒng)周期解的存在性［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2008，31（2）：1001－8395.

［5］ 劉振杰，范鷹，于景偉.具有稀疏效應(yīng)和Holling Ⅲ類(lèi)功能性反應(yīng)的捕食者食餌模型周期解［J］.哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，12（2）：63－65.

［6］ 譚遠(yuǎn)順，徐曉曼，夏江.一類(lèi)食餌具時(shí)滯與擴(kuò)散的非線性脈沖捕食系統(tǒng)正周期解存在性［J］.生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2012，27（2）：333341.

［7］ 楊志春.具有時(shí)變時(shí)滯和Holling-N類(lèi)功能反應(yīng)的脈沖捕食系統(tǒng)的周期解［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，38（16）：85－91.

［8］ 徐炳祥，曾志軍.一類(lèi)具有Holling Ⅲ型功能性反應(yīng)的捕食者食餌系統(tǒng)的周期解的存在性［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2012，28（4）：1008－5513.

［9］ 施秀蓮.一類(lèi)具有Holling Ⅲ型功能性反應(yīng)的捕食者食餌系統(tǒng)的周期解的存在性與穩(wěn)定性［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2011，34（2）：272－282.

［10］鐘秀敏，劉秀湘.脈沖時(shí)滯Hassell-Varley-Holling型功能性反應(yīng)的捕食者食餌系統(tǒng)的周期解存在的充要條件［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2012，35（2）：297－308.

［11］SHIHong-bo.permanence and periodic solutions of a delayed predator-prey system with impulse［J］.ApplMath，2010，25（3）：264－276.

（責(zé)任編輯劉 舸）

Existence of Periodic Solutions Holling Ⅲ Prey-Predator System w ith Tim e-Varying Delay

YE Li-xia1，ZHANG Zhong2

（1.Department of Mathematics and Computer，Wuyi University，Wuyishan 354300，China；2.Department of Mathematics and Statistics，Chongqing University，Chongqing 400030，China）

：By utilizing Mawhin’s coindidence degree theory and Mawhin’s Continuity theorem，a criterion for the periodic solution of the Holling Ⅲ predator-prey systems with time-varying delay is further investigated.The criterion improves several recent works.The sufficient conditions for the existence of positive periodic solution of the system is presented.

time-varying delay；HollingⅢfunctional response；coindidence degree theory；periodic solution

O175

A

1674－8425（2016）12－0171－06

10.3969／j.issn.1674－8425（z）.2016.12.027

2016－10－06

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目11202249）；福建省?？蒲谢鹳Y助項(xiàng)目（XL201508）

葉麗霞（1987—），女，碩士，主要從事生物數(shù)學(xué)研究，E-mail：yelixia2015＠126.com。

葉麗霞，張忠.具有脈沖時(shí)滯和Holling Ⅲ型的捕食者食餌系統(tǒng)正周期解的存在性［J］.重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)），2016（12）：171－176.

format：YE Li-xia，ZHANG Zhong.Existence of Periodic Solutions Holling Ⅲ Prey-Predator System with Time-Varying Delay［J］.Journal of Chongqing University of Technology（Natural Science），2016（12）：171－176.