□高峰
順勢(shì)而為構(gòu)造相似
□高峰
解決與相似三角形有關(guān)的問(wèn)題時(shí),有時(shí)圖形中并不存在相似三角形,需要構(gòu)造出相似三角形.下面舉例予以說(shuō)明.
例1如圖1,矩形ABCD中,AB=8,BC=4.點(diǎn)E在邊AB上,點(diǎn)F在邊CD上,點(diǎn)G、H在對(duì)角線AC上.若四邊形EGFH是菱形,則AE的長(zhǎng)是().
A.2B.3C.5D.6
圖1
分析:連接EF交AC于O.由四邊形EGFH是菱形,得到EF⊥AC,OE=OF,由于四邊形ABCD是矩形,AB∥CD,證得△CFO≌△AOE,得到AO=CO,求出AO=根據(jù)△AOE∽△ABC,即可得到結(jié)果.
解:連接EF交AC于O.
∵四邊形EGFH是菱形,
∴EF⊥AC,OE=OF.
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠B=∠D=90°,AB∥CD,
∴∠ACD=∠CAB,
∵∠FOC=∠AOE,
∴△CFO≌△AOE,
∴AO=CO.
∵∠CAB=∠CAB,
∠AOE=∠B=90°,
∴△AOE∽△ABC,
∴AE=5.故選C.
點(diǎn)評(píng):本題要求AE的長(zhǎng),而Rt△ABC的三邊已知,自然想到過(guò)點(diǎn)E作AC的垂線,構(gòu)造相似三角形,利用對(duì)應(yīng)邊成比例求解.因?yàn)樗倪呅蜤GFH是菱形,則連接EF交AC于O,自然得到垂線.
例2(1)如圖2,已知∠ACB=∠DCE=90°,AC=BC=6,CD=CE,AE=3,∠CAE=45°,求AD的長(zhǎng).
圖2
圖3
(2)如圖3,已知∠ACB=∠DCE=90°,∠ABC=∠CED=∠CAE=30°,AC=3,AE=8,求AD的長(zhǎng).
分析:(1)連接BE,證明△ACD≌△BCE,得到AD=BE,在Rt△BAE中,AE=3,求出BE,得到答案;
解:(1)如圖2,連接BE.
∵∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠ACB+∠ACE
=∠DCE+∠ACE,
即∠BCE=∠ACD.
又AC=BC,DC=EC,
∴△ACD≌△BCE,
∴AD=BE.
∵∠BAC=∠CAE=45°,
∴∠BAE=90°.
在Rt△BAE中,
∴BE=9,∴AD=9.
(2)如圖3,連接BE.
在Rt△ACB中,
∠ABC=∠CED=30°,
∵∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠BCE=∠ACD,
∴△ACD∽△BCE,
∵∠BAC=60°,∠CAE=30°,
∴∠BAE=90°,
又AB=6,AE=8,∴BE=10,
點(diǎn)評(píng):全等是相似的特殊情形,所以構(gòu)造全等與構(gòu)造相似常常會(huì)有相同之處.本題已知AC與所求的AD在△ACD中,觀察圖形,能與△ACD相似的三角形沒(méi)有,自然想到構(gòu)造與之相似的三角形.而根據(jù)平時(shí)的經(jīng)驗(yàn),此圖中有兩個(gè)共頂點(diǎn)且相等的角,即∠ACB=∠DCE=90°,從而想到將△ACD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)可得到相似三角形,進(jìn)而得到解本題的輔助線.
例3如圖4,已知在△ABC中,AB邊上的動(dòng)點(diǎn)D由A向B運(yùn)動(dòng)(與A、B不重合),點(diǎn)E與點(diǎn)D同時(shí)出發(fā),由點(diǎn)C沿BC的延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)(E不與C重合),連結(jié)DE交AC于點(diǎn)F.若記且點(diǎn)D、E的運(yùn)動(dòng)速度相等,試用含m的代數(shù)式表示的值.
圖4
分析:過(guò)點(diǎn)D作DG∥BC,可得△ADG∽△ABC,△DGF∽△ECF,再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例,并利用AD=EC(因D、E的運(yùn)動(dòng)速度相等)進(jìn)行代換后即可求出結(jié)果.
解:過(guò)點(diǎn)D作DG∥BC,交AC于點(diǎn)G,如圖4.則有
△ADG∽△ABC,
△DGF∽△ECF.
又因?yàn)镈、E的運(yùn)動(dòng)速度相等,則有AD=EC.