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        順勢而為構造相似

        2016-02-06 06:52:32高峰
        初中生天地 2016年36期
        關鍵詞:順勢垂線菱形

        □高峰

        順勢而為構造相似

        □高峰

        解決與相似三角形有關的問題時,有時圖形中并不存在相似三角形,需要構造出相似三角形.下面舉例予以說明.

        一、根據條件,順勢構造

        例1如圖1,矩形ABCD中,AB=8,BC=4.點E在邊AB上,點F在邊CD上,點G、H在對角線AC上.若四邊形EGFH是菱形,則AE的長是().

        A.2B.3C.5D.6

        圖1

        分析:連接EF交AC于O.由四邊形EGFH是菱形,得到EF⊥AC,OE=OF,由于四邊形ABCD是矩形,AB∥CD,證得△CFO≌△AOE,得到AO=CO,求出AO=根據△AOE∽△ABC,即可得到結果.

        解:連接EF交AC于O.

        ∵四邊形EGFH是菱形,

        ∴EF⊥AC,OE=OF.

        ∵四邊形ABCD是矩形,

        ∴∠B=∠D=90°,AB∥CD,

        ∴∠ACD=∠CAB,

        ∵∠FOC=∠AOE,

        ∴△CFO≌△AOE,

        ∴AO=CO.

        ∵∠CAB=∠CAB,

        ∠AOE=∠B=90°,

        ∴△AOE∽△ABC,

        ∴AE=5.故選C.

        點評:本題要求AE的長,而Rt△ABC的三邊已知,自然想到過點E作AC的垂線,構造相似三角形,利用對應邊成比例求解.因為四邊形EGFH是菱形,則連接EF交AC于O,自然得到垂線.

        二、根據圖形,順勢構造

        例2(1)如圖2,已知∠ACB=∠DCE=90°,AC=BC=6,CD=CE,AE=3,∠CAE=45°,求AD的長.

        圖2

        圖3

        (2)如圖3,已知∠ACB=∠DCE=90°,∠ABC=∠CED=∠CAE=30°,AC=3,AE=8,求AD的長.

        分析:(1)連接BE,證明△ACD≌△BCE,得到AD=BE,在Rt△BAE中,AE=3,求出BE,得到答案;

        解:(1)如圖2,連接BE.

        ∵∠ACB=∠DCE=90°,

        ∴∠ACB+∠ACE

        =∠DCE+∠ACE,

        即∠BCE=∠ACD.

        又AC=BC,DC=EC,

        ∴△ACD≌△BCE,

        ∴AD=BE.

        ∵∠BAC=∠CAE=45°,

        ∴∠BAE=90°.

        在Rt△BAE中,

        ∴BE=9,∴AD=9.

        (2)如圖3,連接BE.

        在Rt△ACB中,

        ∠ABC=∠CED=30°,

        ∵∠ACB=∠DCE=90°,

        ∴∠BCE=∠ACD,

        ∴△ACD∽△BCE,

        ∵∠BAC=60°,∠CAE=30°,

        ∴∠BAE=90°,

        又AB=6,AE=8,∴BE=10,

        點評:全等是相似的特殊情形,所以構造全等與構造相似常常會有相同之處.本題已知AC與所求的AD在△ACD中,觀察圖形,能與△ACD相似的三角形沒有,自然想到構造與之相似的三角形.而根據平時的經驗,此圖中有兩個共頂點且相等的角,即∠ACB=∠DCE=90°,從而想到將△ACD繞點C旋轉可得到相似三角形,進而得到解本題的輔助線.

        三、根據所求,順勢構造

        例3如圖4,已知在△ABC中,AB邊上的動點D由A向B運動(與A、B不重合),點E與點D同時出發(fā),由點C沿BC的延長線方向運動(E不與C重合),連結DE交AC于點F.若記且點D、E的運動速度相等,試用含m的代數式表示的值.

        圖4

        分析:過點D作DG∥BC,可得△ADG∽△ABC,△DGF∽△ECF,再根據相似三角形對應邊成比例,并利用AD=EC(因D、E的運動速度相等)進行代換后即可求出結果.

        解:過點D作DG∥BC,交AC于點G,如圖4.則有

        △ADG∽△ABC,

        △DGF∽△ECF.

        又因為D、E的運動速度相等,則有AD=EC.

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