薄建軍

近幾年中考中最后兩個大題經(jīng)常出現(xiàn)類比探究類題型，這類題目往往突出能力與發(fā)展性，側(cè)重于對考生數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的考查。針對這類題目，我認(rèn)為可從以下兩方面考慮。

1.執(zhí)果索因即反證法。先假設(shè)結(jié)論成立，根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理，繼而進(jìn)行推理與計算。

2.類比為主，探究為輔。這類題目往往多問，這些問題常常是層層深入，但解題方法又是一脈相承的。并且第一問又相對簡單，所以，我們一定要把第一問做出來，這時候先抓住類比，類比共性的特征，有共性特征的都可以類比，當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)類比不下去的時候再去探究，看看第一問是否有其他的解題方法，如果有，第二問再按照另外的解題方法去遷移。

下面我借助一道在不同省市考卷中出現(xiàn)的類似題目進(jìn)行說明。

（2010·無錫）（1）如圖1，在正方形ABCD中，M是BC邊（不含端點B、C）上任意一點，P是BC延長線上一點，N是∠DCP的平分線上一點。若∠AMN=90°，求證：AM=MN。

下面給出一種證明的思路，你可以按這一思路證明，也可以選擇另外的方法證明。

證明：在邊AB上截取AE=MC，連接ME。正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC.∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE。

（下面請你完成余下的證明過程）

（2）若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”（如圖2），N是∠ACP的平分線上一點，則∠AMN=60°時，結(jié)論AM=MN是否還成立？請說明理由。

（3）若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正n邊形ABCD…X”，請你作出猜想：當(dāng)∠AMN=時，結(jié)論AM=MN仍然

成立。

分析：（1）要證明AM=MN，可證AM與MN所在的三角形全等，為此，可在AB上取一點E，使AE=CM，連接ME，利用ASA即可證明△AEM≌△MCN，然后根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊成比例得出AM=MN。

（2）同（1），要證明AM=MN，可證AM與MN所在的三角形全等，為此，可在AB上取一點E，使AE=CM，連接ME，利用ASA即可證明△AEM≌△MCN，然后，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊成比例得出AM=MN。

（3）由（1）（2）可知，∠AMN等于它所在的正多邊形的一個內(nèi)角，即等于時，結(jié)論AM=MN仍然成立。

但在2014年東營中考中將該題圖形進(jìn)行了變式，同時去掉了題干中證明兩線段相等的思路，如下所示。

（2014·東營）如圖3，△ABC是等邊三角形，∠AEF=60°，EF交等邊三角形外角平分線CF所在的直線于點F。當(dāng)點E是BC的中點時，有AE=EF成立。

【數(shù)學(xué)思考】某數(shù)學(xué)興趣小組在探究AE、EF的關(guān)系時，運用“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想，通過驗證得出如下結(jié)論：當(dāng)點E是直線BC上（B，C除外）任意一點時（其他條件不變），結(jié)論AE=EF仍然成立。

假如你是該興趣小組中的一員，請你從“點E是線段BC上的任意一點”“點E是線段BC延長線上的任意一點”“點E是線段BC反向延長線上的任意一點”三種情況中，任選一種情況，在備用圖1中畫出圖形，并進(jìn)行證明。

【拓展應(yīng)用】當(dāng)點E在線段BC的延長線上時，若CE=BC，在備用圖2中畫出圖形，并運用上述結(jié)論求出S△ABC ∶ S△AEF的值。

許多學(xué)生在證明點E是BC的中點，AE=EF時采用了過F作BC垂線，設(shè)其中一條線段長，利用三角函數(shù)求出AE與EF的辦法進(jìn)行了證明，結(jié)果再想采用類比的辦法解答下面幾道題時遇到了困難，自己“掉進(jìn)了自己設(shè)置的陷阱”。這也就是我所說的第二點，當(dāng)發(fā)現(xiàn)類比不下去的時候，看看第一問是否有其他的解題方法，如果有，第二問再按照另外的解題方法進(jìn)行解答。

編輯 張珍珍