喻俊輝

2014年“北約”自主招生考試中有這樣一道不等式試題：

設(shè)正實數(shù)x1，x2，…，xn滿足x1，x2，…，xn=1.證明：

將會發(fā)現(xiàn)雖然從n=k過渡到n=k+1依然困難，但是由n=k時命題成立推出n=k-1時命題成立卻是輕而易舉的。那么，能否由此導(dǎo)出對任意的n≥2，n∈N+時（*）成立呢？結(jié)論是肯定的，其證明如下：

先用歸納法證明對于k∈N+時，（*）對n=2k成立

即（*）命題對n=k-1成立；綜上所述，由歸納原理，（*）對于一切不小于2的正整數(shù)都成立。

這種先由n=21推到n=2k，再由n推到n-1的歸納法叫做反向歸納法。反向歸納法的使用在自主招生與競賽中時常出現(xiàn)，它區(qū)別于一般歸納法，適用于從n=k較難過渡到n=k+1，但是由n=k命題成立推出n=k-1時命題成立較易，且對于n=2k時命題的證明較簡單。抓住這個特點很容易分辨哪些問題可以用反向歸納法來

處理。

能用反向歸納法解決的問題特點非常鮮明，較易判斷，用其他做法往往比較困難，有計劃參加競賽或自主招生的學(xué)生應(yīng)加以掌握。

編輯 謝尾合