王　鵬，刁山菊，張季謙

(1. 江蘇省句容市第三中學(xué)，江蘇 句容 212400 ;2. 安徽師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

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基于最小二乘法的單擺實驗數(shù)據(jù)處理

王鵬1，刁山菊1，張季謙2

(1. 江蘇省句容市第三中學(xué)，江蘇 句容 212400 ;2. 安徽師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

摘要：結(jié)合單擺實驗實測數(shù)據(jù)，運用origin作圖軟件建立數(shù)學(xué)模型和相關(guān)系數(shù)檢驗，采用最小二乘法計算南京地區(qū)的重力加速度，并與平均值法與逐差法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理比較。實驗計算結(jié)果表明，利用最小二乘法計算重力加速度準(zhǔn)確可靠，誤差僅為0.028%。上述方法也可很好地應(yīng)用于基礎(chǔ)物理實驗中其它線性關(guān)系變量試驗數(shù)據(jù)的分析與處理過程。

關(guān)鍵詞：最小二乘法；單擺實驗；重力加速度；線性擬合

重力加速度的測量是基礎(chǔ)物理實驗中一個重要的力學(xué)實驗[1, 2]。近年來，一些物理實驗教學(xué)工作者已經(jīng)對此實驗進(jìn)行了深入的研究，包括實驗裝置的改進(jìn)與智能化[3-8]、實驗方法的優(yōu)化與創(chuàng)新[9-13]、數(shù)據(jù)的信息化處理[14, 15]與誤差分析[16,17]等。然而，目前關(guān)于利用最小二乘法原理處理單擺實驗數(shù)據(jù)，計算重力加速度的研究未見報道。基于單擺實驗實測數(shù)據(jù)，運用Origin作圖軟件建立數(shù)學(xué)模型和相關(guān)系數(shù)檢驗[18]，采用最小二乘法的線性擬合計算南京地區(qū)的重力加速度，并與平均值法與逐差法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理比較。

1實驗原理

1.1　單擺模型

一根不可伸長且質(zhì)量不計的細(xì)線下端懸掛一個小球，上端固定。當(dāng)小球的直徑遠(yuǎn)小于細(xì)線的長度時，可把小球看作是一個質(zhì)點。如果把懸掛的小球自平衡位置拉至一邊保持?jǐn)[角θ<5°，小球可在平衡位置附近作周期性擺動，即簡諧振動。這種裝置稱為單擺，如圖1所示。

1.2　最小二乘法原理

已知兩變量為線性關(guān)系y=kx+b，實驗獲得其n組含有誤差的數(shù)據(jù)(xi,yi)。若將這n組數(shù)據(jù)代入方程求解，則k， b 之值無確定解。最小二乘法提供了一個求解的方法，其基本思想是擬合出一條“最接近”這n個點的直線。在這條擬合的直線上，各點相應(yīng)的y 值與測量值對應(yīng)縱坐標(biāo)值之偏差的平方和最小。根據(jù)統(tǒng)計理論，參數(shù)k和b計算公式[19]

(1)

(2)

1.3　相關(guān)系數(shù)γ

相關(guān)系數(shù)γ表示數(shù)據(jù)(xi,yi)相互聯(lián)系的密切程度，以及擬合所得的線性方程的可靠程度。γ的計算公式如下[19]

(3)

其中，γ的值在- 1~ + 1 之間。γ的絕對值越接近1, 表明(xi,yi)相互聯(lián)系越密切, 線性方程的可靠程度越高，線性越好。

2最小二乘法擬合單擺實測數(shù)據(jù)

當(dāng)單擺的線長L從50cm以10cm為步長增加到120cm時，分別測量出每根擺線長對應(yīng)的單擺擺動時間t。其中，基于計算簡便，本實驗的有效擺長直接采用擺線長L，沒有再加上小球的半徑D/2。同時，注意保證擺球速度方向和重力方向的共面，防止出現(xiàn)圓錐擺運動。為了減小計時誤差，單擺周期T測量采用平衡位置開始計時，且多周期測量取平均值。每次擺動測量取N=40個周期T，實驗數(shù)據(jù)如表1所示。

表1　擺角時單擺線長L與單擺擺動時間t

本實驗中有一點值得注意：L與t2的關(guān)系滿足正比例函數(shù)y=kx，因此如果實驗測量準(zhǔn)確，(t2,L)圖像應(yīng)該是一條通過坐標(biāo)原點的直線。但最小二乘法線性擬合出的結(jié)果存在一個截距，且散點圖左移而不通過坐標(biāo)原點，原因是我們采用的是單擺的擺線長L，而不是單擺的有效擺長L+D/2。這種處理對斜率計算結(jié)果不會造成影響，由斜率求得的重力加速度g仍準(zhǔn)確可靠。

3最小二乘法與平均值法、逐差法的數(shù)據(jù)處理比較

3.1　基于平均值法的g值數(shù)據(jù)處理

3.2　基于逐差法的g值數(shù)據(jù)處理

若兩變量滿足線性關(guān)系y=kx，通過逐差法分析與處理M組實測數(shù)據(jù)(xi,yi)擬合出線性函數(shù)方程時，無誤差自變量x以等步長d值遞增，即xi+1-xi=d，擬合是在y方向進(jìn)行，且M=2m是偶數(shù)。根據(jù)統(tǒng)計理論，直線斜率K值的擬合公式[20]

(4)

3.3　三種數(shù)據(jù)處理方法的結(jié)果比較

從表2中可以看出，最小二乘法處理實測數(shù)據(jù)，計算重力加速度g值更加接近理論值g=9.794 9m·s-2，相對誤差較小，具有較高的準(zhǔn)確性，且符合嚴(yán)格的統(tǒng)計理論。逐差法產(chǎn)生的誤差較大，是因為實驗數(shù)據(jù)的取樣個數(shù)對處理結(jié)果會產(chǎn)生極大影響。

表2　三種數(shù)據(jù)處理方法的g，Δg及相對誤差E值

然而，從數(shù)據(jù)處理的過程來看，利用最小二乘法及逐差法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，較為繁瑣與費時，手工計算量大。因此，可以結(jié)合計算機(jī)編程軟件，如FORTRAN 語言與C語言，將最小二乘法編寫出計算機(jī)程序，進(jìn)而實現(xiàn)數(shù)據(jù)處理信息化，這也是我們下一步工作的方向。

4結(jié)束語

在基礎(chǔ)物理實驗的數(shù)據(jù)處理中，直線擬合是一個極其重要的數(shù)據(jù)處理手段。采用線性回歸分析與最小二乘法，對單擺實驗的數(shù)據(jù)進(jìn)行線性擬合處理，并與教材使用的平均值法和逐差法處理實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。通過圖像斜率，計算了南京當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?，相對誤差約為0.028%。利用這種方法和原理，可以有效地提高數(shù)據(jù)處理的準(zhǔn)確性，在線性關(guān)系變量的實際求解中有著極其重要的作用。

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中圖分類號：O322

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1007-4260(2015)01-0136-04

DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.01.039

通訊作者：張季謙，男，安徽太湖人，博士，安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院教授，主要從事理論生物物理、復(fù)雜體系非線性動力學(xué)、理論物理等方面的研究工作。

作者簡介：王鵬，男，安徽六安人，安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院理學(xué)碩士，江蘇省句容市第三中學(xué)一級教師，主要從事中學(xué)物理教學(xué)與研究。