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        基于最小二乘法的單擺實驗數(shù)據(jù)處理

        2016-01-27 06:30:51刁山菊張季謙
        關(guān)鍵詞:最小二乘法

        王 鵬,刁山菊,張季謙

        (1. 江蘇省句容市第三中學(xué),江蘇 句容 212400 ;2. 安徽師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院,安徽 蕪湖 241000)

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        基于最小二乘法的單擺實驗數(shù)據(jù)處理

        王鵬1,刁山菊1,張季謙2

        (1. 江蘇省句容市第三中學(xué),江蘇 句容 212400 ;2. 安徽師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院,安徽 蕪湖 241000)

        摘要:結(jié)合單擺實驗實測數(shù)據(jù),運用origin作圖軟件建立數(shù)學(xué)模型和相關(guān)系數(shù)檢驗,采用最小二乘法計算南京地區(qū)的重力加速度,并與平均值法與逐差法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理比較。實驗計算結(jié)果表明,利用最小二乘法計算重力加速度準(zhǔn)確可靠,誤差僅為0.028%。上述方法也可很好地應(yīng)用于基礎(chǔ)物理實驗中其它線性關(guān)系變量試驗數(shù)據(jù)的分析與處理過程。

        關(guān)鍵詞:最小二乘法;單擺實驗;重力加速度;線性擬合

        重力加速度的測量是基礎(chǔ)物理實驗中一個重要的力學(xué)實驗[1, 2]。近年來,一些物理實驗教學(xué)工作者已經(jīng)對此實驗進(jìn)行了深入的研究,包括實驗裝置的改進(jìn)與智能化[3-8]、實驗方法的優(yōu)化與創(chuàng)新[9-13]、數(shù)據(jù)的信息化處理[14, 15]與誤差分析[16,17]等。然而,目前關(guān)于利用最小二乘法原理處理單擺實驗數(shù)據(jù),計算重力加速度的研究未見報道。基于單擺實驗實測數(shù)據(jù),運用Origin作圖軟件建立數(shù)學(xué)模型和相關(guān)系數(shù)檢驗[18],采用最小二乘法的線性擬合計算南京地區(qū)的重力加速度,并與平均值法與逐差法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理比較。

        1實驗原理

        1.1 單擺模型

        一根不可伸長且質(zhì)量不計的細(xì)線下端懸掛一個小球,上端固定。當(dāng)小球的直徑遠(yuǎn)小于細(xì)線的長度時,可把小球看作是一個質(zhì)點。如果把懸掛的小球自平衡位置拉至一邊保持?jǐn)[角θ<5°,小球可在平衡位置附近作周期性擺動,即簡諧振動。這種裝置稱為單擺,如圖1所示。

        1.2 最小二乘法原理

        已知兩變量為線性關(guān)系y=kx+b,實驗獲得其n組含有誤差的數(shù)據(jù)(xi,yi)。若將這n組數(shù)據(jù)代入方程求解,則k, b 之值無確定解。最小二乘法提供了一個求解的方法,其基本思想是擬合出一條“最接近”這n個點的直線。在這條擬合的直線上,各點相應(yīng)的y 值與測量值對應(yīng)縱坐標(biāo)值之偏差的平方和最小。根據(jù)統(tǒng)計理論,參數(shù)k和b計算公式[19]

        (1)

        (2)

        1.3 相關(guān)系數(shù)γ

        相關(guān)系數(shù)γ表示數(shù)據(jù)(xi,yi)相互聯(lián)系的密切程度,以及擬合所得的線性方程的可靠程度。γ的計算公式如下[19]

        (3)

        其中,γ的值在- 1~ + 1 之間。γ的絕對值越接近1, 表明(xi,yi)相互聯(lián)系越密切, 線性方程的可靠程度越高,線性越好。

        2最小二乘法擬合單擺實測數(shù)據(jù)

        當(dāng)單擺的線長L從50cm以10cm為步長增加到120cm時,分別測量出每根擺線長對應(yīng)的單擺擺動時間t。其中,基于計算簡便,本實驗的有效擺長直接采用擺線長L,沒有再加上小球的半徑D/2。同時,注意保證擺球速度方向和重力方向的共面,防止出現(xiàn)圓錐擺運動。為了減小計時誤差,單擺周期T測量采用平衡位置開始計時,且多周期測量取平均值。每次擺動測量取N=40個周期T,實驗數(shù)據(jù)如表1所示。

        表1 擺角時單擺線長L與單擺擺動時間t

        本實驗中有一點值得注意:L與t2的關(guān)系滿足正比例函數(shù)y=kx,因此如果實驗測量準(zhǔn)確,(t2,L)圖像應(yīng)該是一條通過坐標(biāo)原點的直線。但最小二乘法線性擬合出的結(jié)果存在一個截距,且散點圖左移而不通過坐標(biāo)原點,原因是我們采用的是單擺的擺線長L,而不是單擺的有效擺長L+D/2。這種處理對斜率計算結(jié)果不會造成影響,由斜率求得的重力加速度g仍準(zhǔn)確可靠。

        3最小二乘法與平均值法、逐差法的數(shù)據(jù)處理比較

        3.1 基于平均值法的g值數(shù)據(jù)處理

        3.2 基于逐差法的g值數(shù)據(jù)處理

        若兩變量滿足線性關(guān)系y=kx,通過逐差法分析與處理M組實測數(shù)據(jù)(xi,yi)擬合出線性函數(shù)方程時,無誤差自變量x以等步長d值遞增,即xi+1-xi=d,擬合是在y方向進(jìn)行,且M=2m是偶數(shù)。根據(jù)統(tǒng)計理論,直線斜率K值的擬合公式[20]

        (4)

        3.3 三種數(shù)據(jù)處理方法的結(jié)果比較

        從表2中可以看出,最小二乘法處理實測數(shù)據(jù),計算重力加速度g值更加接近理論值g=9.794 9m·s-2,相對誤差較小,具有較高的準(zhǔn)確性,且符合嚴(yán)格的統(tǒng)計理論。逐差法產(chǎn)生的誤差較大,是因為實驗數(shù)據(jù)的取樣個數(shù)對處理結(jié)果會產(chǎn)生極大影響。

        表2 三種數(shù)據(jù)處理方法的g,Δg及相對誤差E值

        然而,從數(shù)據(jù)處理的過程來看,利用最小二乘法及逐差法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理,較為繁瑣與費時,手工計算量大。因此,可以結(jié)合計算機(jī)編程軟件,如FORTRAN 語言與C語言,將最小二乘法編寫出計算機(jī)程序,進(jìn)而實現(xiàn)數(shù)據(jù)處理信息化,這也是我們下一步工作的方向。

        4結(jié)束語

        在基礎(chǔ)物理實驗的數(shù)據(jù)處理中,直線擬合是一個極其重要的數(shù)據(jù)處理手段。采用線性回歸分析與最小二乘法,對單擺實驗的數(shù)據(jù)進(jìn)行線性擬合處理,并與教材使用的平均值法和逐差法處理實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。通過圖像斜率,計算了南京當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?,相對誤差約為0.028%。利用這種方法和原理,可以有效地提高數(shù)據(jù)處理的準(zhǔn)確性,在線性關(guān)系變量的實際求解中有著極其重要的作用。

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        中圖分類號:O322

        文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A

        文章編號:1007-4260(2015)01-0136-04

        DOI:10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.01.039

        通訊作者:張季謙,男,安徽太湖人,博士,安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院教授,主要從事理論生物物理、復(fù)雜體系非線性動力學(xué)、理論物理等方面的研究工作。

        作者簡介:王鵬,男,安徽六安人,安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院理學(xué)碩士,江蘇省句容市第三中學(xué)一級教師,主要從事中學(xué)物理教學(xué)與研究。

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