桂 春 燕

(安慶師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，安徽 安慶 246133)

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連續(xù)的分布函數(shù)與連續(xù)型隨機變量的關(guān)系

桂 春 燕

(安慶師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，安徽 安慶 246133)

摘要：通過實例探討了由分布函數(shù)的連續(xù)性不一定可以得到對應(yīng)的隨機變量是連續(xù)型的，這有利于學(xué)生更深入的掌握連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)的特性，從而更好的應(yīng)用于實際。

關(guān)鍵詞：連續(xù)型隨機變量；分布函數(shù)；連續(xù)函數(shù)

概率論中隨機變量的分布函數(shù)是一個非常重要的知識點，我們已經(jīng)熟知離散型隨機變量X的分布函數(shù)F(x)一定是非連續(xù)函數(shù)， 且F(x)應(yīng)滿足

(1)

其中{xn}為離散型隨機變量X的至多可列個取值；反之若分布函數(shù)F(x)滿足(1)，且{xn}的取值至多可列個，則對應(yīng)的隨機變量是離散型的。本文就學(xué)生在學(xué)習(xí)連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)的過程中經(jīng)常產(chǎn)生的一種錯誤觀點“分布函數(shù)連續(xù)的隨機變量是連續(xù)型隨機變量”，通過列舉反例來進行解釋說明，以便于學(xué)生更好的理解隨機變量的分布函數(shù)。首先我們來看一些預(yù)備知識。

定義1[1]設(shè)X是一個隨機變量，x∈R，則稱F(x)=P(X≤x)為隨機變量X的分布函數(shù)。

由定義1，分布函數(shù)F(x)顯然滿足：

(1)F(x)單調(diào)不減，即若x1,x2∈R且x1

(2)0≤F(x)≤1且F(-∞)=0,F(+∞)=1；

定義2[1]如果對于隨機變量X的分布函數(shù)F(x)，存在非負(fù)可積函數(shù)f(x)，對任意x∈R有

則稱X為連續(xù)型隨機變量，f(x)稱為隨機變量X的概率密度函數(shù)。

1連續(xù)的分布函數(shù)與連續(xù)型隨機變量的關(guān)系

定理連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。

證明由定義2易知連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)是積分上限函數(shù)，從而是連續(xù)函數(shù)。

例1連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)為

由定義2易求得其分布函數(shù)為

顯然F(x)是一個連續(xù)函數(shù)。

那么，上述定理的逆命題 “如果一個隨機變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，它一定是連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)”成立嗎？答案是否定的，請看下面分布函數(shù)：

故C是閉集，它的Lebesgue測度為

μ(C)=μ([0,1])-μ(B)=1-1=0

在開集B上定義

顯然0

易知F(x)是一個連續(xù)的分布函數(shù)，由存在定理知一定存在一個隨機變量X，使得它的分布函數(shù)是F(x)。由定義2，

(2)

但f(x)是隨機變量X的概率密度函數(shù)，應(yīng)滿足

(3)

顯然(2)和(3)產(chǎn)生矛盾！所以隨機變量X不是連續(xù)型隨機變量。說明定理的逆命題不成立。

2幾點評注

(1)以上結(jié)果說明，分布函數(shù)的連續(xù)性只是隨機變量是連續(xù)型的必要條件而非充分條件，所以我們不能簡單的由隨機變量的分布函數(shù)是一個連續(xù)函數(shù)去判斷這個隨機變量是連續(xù)型的；

(2)對于如何利用分布函數(shù)來判定隨機變量是否為連續(xù)型的，首先，驗證分布函數(shù)是否為連續(xù)的，如果不連續(xù)，則肯定不是連續(xù)型隨機變量；其次，如果分布函數(shù)是連續(xù)的，則進一步通過分布函數(shù)求出相應(yīng)的密度函數(shù)，然后驗證該密度函數(shù)是否滿足非負(fù)性與規(guī)范性[2-3]。

參考文獻:

[1] 盛驟.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(第四版)[M]. 北京：高等教育出版社，2008.

[2]何曉霞，聞江業(yè)，尹凱凱，郭發(fā)陽. 連續(xù)型隨機變量函數(shù)分布的求法及其應(yīng)用[J]. 高師理科學(xué)刊，2014，34(3)：48-50.

[3] 葉仁玉. 關(guān)于連續(xù)型隨機變量函數(shù)分布的探討[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)，2010，16(4)：79-81.

Ralation Between Continuous Distribution Function and Continuous Random Variable

GUI Chun-yan

(School of mathematics and computational science，Anqing Teachers College, Anqing 246133,China)

Abstract:In this paper, an example shows that there exists a continuous distribution function which the corresponding random variable is not continuous. This knowledge can help student master the characteristics of distribution function which the random variable is continuous and apply to the actual better.

Key words:continuous random variable，distribution function， continuous function

中圖分類號：O211.62

文獻標(biāo)識碼：A

文章編號：1007-4260(2015)01-0101-02

DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.01.028

作者簡介：桂春燕，女，安徽桐城人，碩士，安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院講師，研究方向為概率統(tǒng)計。

基金項目：安慶師范學(xué)院校級青年科研項目(KJ201106)。

收稿日期：2014-07-14