朱光來(lái)，許新勝

(安徽師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

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一些簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)中機(jī)械能守恒的探討

朱光來(lái)，許新勝

(安徽師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

摘要：對(duì)于一些作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的系統(tǒng)，利用機(jī)械能守恒定律往往比用牛頓定律解決問題更簡(jiǎn)捷。本文利用機(jī)械能守恒討論總結(jié)了幾組典型諧振系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，并給出了相應(yīng)的周期。

關(guān)鍵詞：機(jī)械能守恒；簡(jiǎn)諧振動(dòng)；動(dòng)力學(xué)方程；振動(dòng)周期

凡受線性回復(fù)力或力矩作用的物體，圍繞自身平衡位置的運(yùn)動(dòng)稱為簡(jiǎn)諧振動(dòng)[1]。機(jī)械能守恒是力學(xué)中一條基本規(guī)律：若系統(tǒng)的所有外力和非保守內(nèi)力均不做功，則系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間動(dòng)能和勢(shì)能可以相互轉(zhuǎn)換，但其總和不變，即機(jī)械能守恒。如果一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)滿足機(jī)械能守恒條件，根據(jù)分析力學(xué)的原理和方法，我們就可利用這一能量特征得到其動(dòng)力學(xué)方程。文獻(xiàn)[2]已經(jīng)將該方法應(yīng)用于常見的彈簧振子和單擺模型。實(shí)際上，除彈簧振子和單擺之外，任何作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的復(fù)雜系統(tǒng)，如果只有保守力做功，則整個(gè)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，這為我們提供了另一種有別于利用牛頓定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定理求解系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的思路。為了使學(xué)生進(jìn)一步熟悉該方法，能夠?qū)⑵潇`活應(yīng)用到一些復(fù)雜體系，我們先以復(fù)擺為例對(duì)該方法作概述，然后應(yīng)用該方法求得一些復(fù)雜諧振系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程以展示該方法的簡(jiǎn)捷性。

1復(fù)擺

復(fù)擺是在重力作用下繞一固定水平軸作小幅擺動(dòng)的剛體[3]。復(fù)擺的轉(zhuǎn)軸與過剛體質(zhì)心并垂直于轉(zhuǎn)軸的平面的交點(diǎn)稱為支點(diǎn)。復(fù)擺作為一個(gè)典型的測(cè)量重力加速度的裝置，雖然在很多大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教材中是一個(gè)典型案例，但在理論教學(xué)中很多教材或老師通常不會(huì)講解透徹。要么把它類比于一個(gè)單擺直接給出相關(guān)結(jié)果，缺少必要的解析；要么利用牛頓定律并結(jié)合轉(zhuǎn)動(dòng)定理，經(jīng)過受力分析給出一系列方程，這種解法有點(diǎn)繁瑣且易出錯(cuò)，不容易被學(xué)生接受。所以有必要進(jìn)一步分析讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)小角度復(fù)擺為什么做簡(jiǎn)諧振動(dòng)。

解析設(shè)質(zhì)量為m的剛體繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，其支點(diǎn)為O，C為質(zhì)心，支點(diǎn)至質(zhì)心的距離為h，如圖1所示。

不計(jì)摩擦的情況下，復(fù)擺在擺動(dòng)過程中只受重力和轉(zhuǎn)軸的反作用力。反作用力的作用點(diǎn)在支點(diǎn)上，因此對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為零，重力矩起著回復(fù)力矩的作用而做功，而重力為保守力，所以機(jī)械能(實(shí)質(zhì)上屬于復(fù)擺與地球這一系統(tǒng))守恒。復(fù)擺在作微幅振動(dòng)過程中的總能量為其轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能與重力勢(shì)能之和，取O點(diǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)，設(shè)g為重力加速度，任一時(shí)刻剛體的角速度與角位移分別為Ω和θ，則有

(1)

2彈簧、滑輪與物體組成的諧振系統(tǒng)

上面我們用機(jī)械能守恒推導(dǎo)出了復(fù)擺作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，但相對(duì)牛頓定律解題所顯示的優(yōu)越性還不明顯。我們還經(jīng)常碰到由彈簧、滑輪與物體組成的一類復(fù)雜諧振系統(tǒng)，這時(shí)候如果從能量的角度入手，解題過程則會(huì)簡(jiǎn)捷得多。如圖2所示，已知彈簧的勁度系數(shù)為k，物體的質(zhì)量為m，滑輪的半徑為R，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I。開始時(shí)托住物體m，使得系統(tǒng)保持靜止，繩子剛好拉直而彈簧無(wú)形變，t=0時(shí)放開m。設(shè)繩子與滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。

(1) 證明放開后m作簡(jiǎn)諧振動(dòng)；

(2) 求振動(dòng)周期。

方法一利用牛頓定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定理解題[4]

取未用手托，系統(tǒng)靜止時(shí)m的位置為平衡位置，令此點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，此時(shí)彈簧伸長(zhǎng)x0，各物體的受力分析如圖2所示，設(shè)物體的加速度為a，

滑輪的角加速度為β，則有mg=kx0。當(dāng)物體豎直向下位移為x時(shí)，根據(jù)牛頓定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定理有：mg-T1=ma，T1R-T2R=Iβ，T2=k(x0+x) ，a=Rβ。以上式子聯(lián)解可得

由此可知物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。在以上解法中，由于學(xué)生對(duì)角量的方向性把握不是很好，很容易將表達(dá)式T1R-T2R=Iβ混淆為T2R-T1R=Iβ，導(dǎo)致結(jié)果中相差一個(gè)符號(hào)的疑惑。如果我們利用機(jī)械能守恒解題，則可避免類似錯(cuò)誤。

方法二利用簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒特性解題

我們把滑輪、物體和彈簧看作一個(gè)系統(tǒng)，則物體m和滑輪在運(yùn)動(dòng)過程中只有重力和彈性力做功，二者都是保守力，所以系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，以物體處于平衡位置時(shí)所在位置的質(zhì)心O點(diǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)，則有

(2)

上述結(jié)果與方法一的結(jié)果一致，在此方法中，只需選取勢(shì)能零點(diǎn)，然后由式(2)演變推導(dǎo)而得到動(dòng)力學(xué)方程，避免了方法一中受力分析時(shí)符號(hào)選取不當(dāng)而出現(xiàn)的問題。

3物體在貫通地球的直隧道內(nèi)的運(yùn)動(dòng)

利用機(jī)械能守恒求諧振系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程及振動(dòng)周期，這一方法不僅可以用于彈簧振子、單擺、復(fù)擺及其組成的復(fù)雜體系等常見的模型中，還可以用于其它系統(tǒng)，例如文獻(xiàn)[5]中探討了穿越貫通南北極隧道的物體與簡(jiǎn)諧振動(dòng)的幾個(gè)問題，現(xiàn)在我們從機(jī)械能守恒的角度討論如下：

如圖3所示，假若在地球表面的A，B之間挖開一條直通隧道，一小球只受到地球的引力作用，自A處從靜止開始沿隧道向B處運(yùn)動(dòng)，不計(jì)小球在運(yùn)動(dòng)過程中受到的摩擦力，求證小球在隧道內(nèi)的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。設(shè)地球質(zhì)量分布均勻，并且忽略地球自轉(zhuǎn)的影響[5]。

由題意，設(shè)地心到隧道的最短距離為d，取隧道中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，當(dāng)小球的位置矢量為x時(shí)，則小球距中心的距離r2=x2+d2，則其引力勢(shì)能可表達(dá)為

小球從靜止開始在隧道內(nèi)運(yùn)動(dòng)，只受到萬(wàn)有引力這一保守力的作用，所以機(jī)械能守恒，即

(3)

4結(jié)束語(yǔ)

機(jī)械能守恒是力學(xué)體系中物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的必要條件，利用這一事實(shí)，我們可方便地導(dǎo)出其動(dòng)力學(xué)方程，并依此判斷物體運(yùn)動(dòng)是否作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，給出相應(yīng)的振動(dòng)周期。這種方法比用牛頓定律直接推導(dǎo)顯得簡(jiǎn)捷一些，尤其在一些復(fù)雜振動(dòng)系統(tǒng)中優(yōu)勢(shì)更明顯，因此在教學(xué)中有必要強(qiáng)調(diào)利用機(jī)械能守恒這一特征。如果一個(gè)系統(tǒng)在振動(dòng)過程中，除了動(dòng)能與保守力做功轉(zhuǎn)換外，還有電勢(shì)能等其它形式的能參與振動(dòng)，例如電磁場(chǎng)中帶電粒子的運(yùn)動(dòng)，則可以考慮將上述方法推廣用能量守恒來(lái)解決。

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Discussions on the Conservation of Mechanical Energy of Simple Harmonic Motion

ZHU Guang-Lai, XU Xin-Sheng

(College of Physics and Electron Information, Anhui Normal University, Wuhu 241000, China)

Abstract:For some simple harmonic motion systems, it is simpler to solve problems by conservation of mechanical energy than Newton's laws of motion. Based on conservation of mechanical energy, equation of motion and their vibration periods of several special simple harmonic motion systems were discussed.

Key words:conservation of mechanical energy, simple harmonic motion, equation of motion, vibration period

中圖分類號(hào)：O321

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1007-4260(2015)01-0112-03

DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.01.032

作者簡(jiǎn)介：朱光來(lái)，男，安徽舒城人，博士，安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院副教授，主要從事物理教學(xué)和分子物理研究。

基金項(xiàng)目：安徽省自然科學(xué)基金(1308085MB20)和安徽省教育廳自然科學(xué)基金(KJ2010A145)。

收稿日期：2014-11-15