李海燕，曹懷火，潘雪艷

(1. 池州學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系,安徽 池州247000;2. 安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,安徽 蕪湖 241003)

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風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR及實(shí)證研究

李海燕1，曹懷火1，潘雪艷2

(1. 池州學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系,安徽 池州247000;2. 安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,安徽 蕪湖 241003)

摘要：隨著經(jīng)濟(jì)一體化的深入，風(fēng)險(xiǎn)管理受到各個(gè)國家和地區(qū)越來越多的重視。本文主要討論了風(fēng)險(xiǎn)管理中的市場風(fēng)險(xiǎn)度量的方法，具體介紹了基于投資組合的收益(或損失)函數(shù)的分布函數(shù)提出的風(fēng)險(xiǎn)值(VaR)和期望損失(ES)這兩種度量方法，它們是目前使用得最廣的市場風(fēng)險(xiǎn)度量方法。文中比較了這兩種方法的優(yōu)缺點(diǎn)，給出了各種不同計(jì)算VaR和ES的方法，同時(shí)也對(duì)各種方法進(jìn)行了對(duì)比討論，給出了一個(gè)基于中國上證滬深指數(shù)在1999—2013年的日收益率序列的一個(gè)實(shí)證研究。

關(guān)鍵詞：市場風(fēng)險(xiǎn)，VaR，ES，歷史模擬法，蒙特卡羅模擬法，方差—協(xié)方差法

1997年的亞洲金融風(fēng)暴和2008年的全球金融危機(jī)使人們深刻地意識(shí)到金融風(fēng)險(xiǎn)管理的重要性，意識(shí)到一個(gè)國家或地區(qū)的金融危機(jī)對(duì)全球金融市場乃至全球經(jīng)濟(jì)的危害，這引發(fā)了大批學(xué)者和投資者對(duì)如何度量風(fēng)險(xiǎn)從而對(duì)之加以監(jiān)管的研究[1-3]。

廣義上講，金融風(fēng)險(xiǎn)主要可以分為幾大類，即市場風(fēng)險(xiǎn)、信用風(fēng)險(xiǎn)、流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)、操作風(fēng)險(xiǎn)和法律風(fēng)險(xiǎn)。

本文主要關(guān)注市場風(fēng)險(xiǎn)，主要系統(tǒng)研究風(fēng)險(xiǎn)值(Value at Risk)和期望損失(Expected Shortfall)以及這些度量方法的優(yōu)缺點(diǎn)。

1市場風(fēng)險(xiǎn)的度量

1.1　VaR的定義及其優(yōu)缺點(diǎn)

VaR也稱風(fēng)險(xiǎn)值或在險(xiǎn)價(jià)值，它實(shí)際上是衡量了一個(gè)金融頭寸(或資產(chǎn)組合)，在給定的持有期和給定的置信度下由于市場變動(dòng)可能發(fā)生的最大損失。用統(tǒng)計(jì)的語言說，VaR是在給定的持有期，預(yù)計(jì)盈虧(常特指損失函數(shù))分布的分位數(shù)。下面給出VaR定義的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

定義1VaRα=inf{l∈R∶P(L>l)≤1-α}=inf{l∈R∶FL(l)≥α}

VaR的優(yōu)點(diǎn)有：對(duì)于金融風(fēng)險(xiǎn)管理，它可理解為進(jìn)入一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)頭寸的資本金要求，并且能通過基于網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)直接進(jìn)行VaR的計(jì)算，它已經(jīng)成為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的風(fēng)險(xiǎn)度量。但也有一些缺點(diǎn)，其中最主要的有：

(1)它忽略了在VaR水平之外的損失，這樣就會(huì)低估了實(shí)際損失；

(2)風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)該滿足一致性風(fēng)險(xiǎn)度量公理體系，但VaR不滿足其中的次可加性，不是一個(gè)相容性風(fēng)險(xiǎn)度量。次可加性就是兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)組合在一起的總風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)該小于它們單個(gè)風(fēng)險(xiǎn)之和，此性質(zhì)滿足資產(chǎn)組合具有風(fēng)險(xiǎn)分散效應(yīng)的性質(zhì)。

1.2　ES的定義及其優(yōu)缺點(diǎn)

為了彌補(bǔ)VaR方法作為風(fēng)險(xiǎn)度量函數(shù)不滿足次可加性的缺陷，Acebi和Tache(2002)[1]提出了一個(gè)新的風(fēng)險(xiǎn)度量方法ES(預(yù)期不足又名條件在險(xiǎn)價(jià)值)，即考慮超過風(fēng)險(xiǎn)值部分的資產(chǎn)收益函數(shù)的期望值。

定義2若損失函數(shù)L有E(|L|)<∞,分布FL在α水平的預(yù)期虧損定義為

ES相比較VaR不僅是一個(gè)相容性風(fēng)險(xiǎn)度量，還有另一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是在價(jià)格出現(xiàn)的波動(dòng)大時(shí)，ES比VaR更能準(zhǔn)確地度量金融風(fēng)險(xiǎn)。楊嫻、陸鳳斌、汪壽陽等[4]對(duì)國際有色金屬期貨市場對(duì)VaR和ES風(fēng)險(xiǎn)度量功能進(jìn)行了比較，另外也有一些其他學(xué)者針對(duì)其他市場進(jìn)行了類似的比較。比較的結(jié)果也確與理論結(jié)果相統(tǒng)一，從而為我國金融機(jī)構(gòu)在選擇合適的風(fēng)險(xiǎn)度量作為自己的風(fēng)險(xiǎn)監(jiān)控工具提供了理論指導(dǎo)和實(shí)踐論證。

1.3　計(jì)算VaR和ES的方法

VaR計(jì)算方法的核心在于如何確定資產(chǎn)組合收益(或損失)函數(shù)的統(tǒng)計(jì)分布或概率密度函數(shù)。根據(jù)是否對(duì)收益(或損失)函數(shù)的分布函數(shù)給出假設(shè)，它的計(jì)算方法分為三種：參數(shù)估計(jì)法，非參數(shù)估計(jì)法和半?yún)?shù)估計(jì)法[5]。

具體的方法有：歷史模擬法、蒙特卡羅模擬法以及方差—協(xié)方差法等。用方差—協(xié)方差法進(jìn)行討論應(yīng)用的比較多，方差—協(xié)方差法也是隨著學(xué)者的研究不斷發(fā)展完善的。最初人們假定資產(chǎn)收益呈正態(tài)分布，實(shí)際上，金融數(shù)據(jù)往往是尖峰厚尾的，因此會(huì)低估風(fēng)險(xiǎn)。后來有利用以GARCH模型為核心的GARCH模型族對(duì)波動(dòng)率進(jìn)行估計(jì)從而計(jì)算VaR的值，另外又有學(xué)者因?yàn)榭紤]極端事件對(duì)風(fēng)險(xiǎn)值的影響而將極值理論引入VaR及ES的預(yù)測(cè)中，還有一些學(xué)者利用混合正態(tài)模型對(duì)最初的計(jì)算方法進(jìn)行了改進(jìn)。

下面給出VaR和ES的具體計(jì)算方法：

(1) 歷史模擬法(HS)

HS法是最簡單的非參數(shù)化的方法，不須對(duì)復(fù)雜的市場結(jié)構(gòu)做出假設(shè)。它的主要思想是假定取樣周期中樣本收益(或損失)函數(shù)的分布函數(shù)不會(huì)改變，用收益函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)代替收益的分布函數(shù)，計(jì)算出對(duì)應(yīng)置信水平的VaR和ES值。歷史模擬法計(jì)算簡單，可是這其中隱含假設(shè)歷史可以重演，顯然是與實(shí)際情況不相符的。很多極端事件以及突發(fā)事件是很難重復(fù)的，也有很多以前對(duì)收益會(huì)有影響的風(fēng)險(xiǎn)因子現(xiàn)在未必會(huì)有影響，另外，也可能會(huì)有新的風(fēng)險(xiǎn)因子產(chǎn)生影響，這些都是歷史模擬法所不能考慮的，因此用此法計(jì)算出來的風(fēng)險(xiǎn)值不會(huì)超過歷史最大值。

歷史模擬法作為一種常用的VaR估值的方法，其優(yōu)點(diǎn)是：簡單直觀，易于操作，是最簡單的非參數(shù)方法。但它也有很多缺陷：比如用歷史信息并不能預(yù)測(cè)未來的突發(fā)事件，不能提供比樣本中最壞損失還要壞的損失值，不能做極端情形下的敏感性測(cè)試，等等。

(2)蒙特卡羅模擬法(MC)

蒙特卡羅模擬法又稱為隨機(jī)模擬法，其基本思想是利用風(fēng)險(xiǎn)因子的歷史波動(dòng)參數(shù)產(chǎn)生未來風(fēng)險(xiǎn)因子波動(dòng)的大量可能路徑，通過模擬分布可以導(dǎo)出真實(shí)分布，預(yù)測(cè)出VaR值和ES值，這種方法可以很好地處理非線性、非正態(tài)問題。

學(xué)者們?yōu)榱颂岣呙商乜_模擬法的計(jì)算速度，減少工作量，對(duì)該法進(jìn)行了很多改進(jìn)，如利用Copula、矩匹配技術(shù)、分層抽樣技術(shù)、重要性抽樣技術(shù)、條件蒙特卡羅模擬法等等。蒙特卡羅模擬法的基本思想來源于描述法，這種方法保留了描述法中能處理非線性問題及提供風(fēng)險(xiǎn)分布的特點(diǎn)，同時(shí)避免了在情形設(shè)定時(shí)容易出現(xiàn)的隨意性和不一致性，可以用來分析各種類型的風(fēng)險(xiǎn)。

(3)方差—協(xié)方差法

方差—協(xié)方差法在預(yù)測(cè)VaR和ES值時(shí)應(yīng)用非常多，而且學(xué)者們也不斷的對(duì)此方法進(jìn)行改進(jìn)，以便更好的進(jìn)行預(yù)測(cè)風(fēng)險(xiǎn)值，為人們的決策提供更準(zhǔn)確的參考信息，以便更好地控制風(fēng)險(xiǎn)。

1)傳統(tǒng)的方差—協(xié)方差法。該方法的核心是：基于對(duì)收益(損失)函數(shù)分布的方差和協(xié)方差矩陣進(jìn)行估計(jì)而得名，也稱為分析法或參數(shù)法，其假定收益(損失)函數(shù)服從正態(tài)分布。然后根據(jù)已有的樣本估計(jì)出分布的參數(shù)值，得出分布函數(shù)，再利用VaR(即分位數(shù))和ES的定義進(jìn)行計(jì)算。

2)基于ARCH、GARCH類方差—協(xié)方差法的改進(jìn)。廣義自回歸條件異方差GARCH模型是在1982年Engel引入的自回歸條件異方差A(yù)RCH模型基礎(chǔ)上，由Bollerslev[6]于1986年提出的。它主要是針對(duì)波動(dòng)率建模，解決了殘差異方差問題，并逐步形成了以GARCH模型為核心的GARCH模型族，大量實(shí)證研究表明對(duì)大部分金融數(shù)據(jù)用GARCH(1,1)模擬效果較好。于是很多學(xué)者通過利用GARCH類模型對(duì)資產(chǎn)收益率的波動(dòng)率進(jìn)行建模，從而預(yù)測(cè)出風(fēng)險(xiǎn)值，為投資者和金融監(jiān)管機(jī)構(gòu)控制風(fēng)險(xiǎn)提供參考。

3)基于極值理論的方差—協(xié)方差法的改進(jìn)。極值理論主要是考慮極端事件對(duì)風(fēng)險(xiǎn)管理的影響，它被廣泛應(yīng)用于水文、保險(xiǎn)及風(fēng)險(xiǎn)管理等等。一些學(xué)者也將極值理論引入風(fēng)險(xiǎn)度量的應(yīng)用中，主要考慮到收益(損失)函數(shù)的分布很多時(shí)候是重尾的，即極端事件對(duì)風(fēng)險(xiǎn)值的影響比較大。常用的模型[7]有BMM、POT模型、極值指數(shù)理論[8]等等，利用極值理論可以很好的地計(jì)極端情況下的風(fēng)險(xiǎn)值。另外，為了在考慮極端情況下更好地對(duì)資產(chǎn)收益率的波動(dòng)率進(jìn)行建模，也有很多學(xué)者將極值理論和GARCH類模型結(jié)合起來進(jìn)行擬合數(shù)據(jù)[5]，從而計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)值，如EVT-GARCH模型等等，這方面的文獻(xiàn)也非常多。

4)基于混合正態(tài)理論的方差—協(xié)方差法的改進(jìn)。為了解決金融時(shí)間序列尖峰重尾現(xiàn)象而提出的，一般假設(shè)某個(gè)分布是由兩個(gè)正態(tài)分布混合構(gòu)成。將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布和混合正態(tài)分布的密度函數(shù)進(jìn)行對(duì)比發(fā)現(xiàn)，混合正態(tài)分布能很好的捕捉金融數(shù)據(jù)的重尾性，另外混合正態(tài)分布也能用于擬合雙峰分布。該方法的核心在于參數(shù)估計(jì)。

2實(shí)證研究

本節(jié)我們利用目前銀行和投資機(jī)構(gòu)常用的方差—協(xié)方差方計(jì)算上證指數(shù)1999年1月—2012年12月的日對(duì)數(shù)收益率。首先，將數(shù)據(jù)分為危機(jī)前(1999年1月—2007年12月)和危機(jī)中(2008年1月—2012年12月)兩部分，分別計(jì)算了在不同階段的VaR和ES。

2.1　數(shù)據(jù)的描述

首先，根據(jù)前面所提及的將數(shù)據(jù)分為危機(jī)前和危機(jī)后兩部分，由于考慮的計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)值從而為控制風(fēng)險(xiǎn)提供建議，借鑒通用的處理方法[7]，我們考慮的時(shí)間序列是負(fù)日對(duì)數(shù)收益率序列，即rt=100*log(pt/pt-1)，其中pt是第t個(gè)交易日的上證指數(shù)收盤值。表1給出了該時(shí)間序列的一些基本統(tǒng)計(jì)量的值

2.2　VaR和ES的估計(jì)

這里我們采用方差—協(xié)方差法對(duì)上證指數(shù)收益率序列進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)，從表1可以看出，上證指數(shù)收益率存在尖峰厚尾現(xiàn)象，利用正態(tài)分布的模型去預(yù)測(cè)不合適，所以采用t-分布模型去預(yù)測(cè)它的VaR和ES。

表1　上證指數(shù)日對(duì)順收益率危機(jī)前和危機(jī)中的基本統(tǒng)計(jì)量值

由前文的討論可以知道，在這里VaR和ES的計(jì)算公式如下：

其中μ為均值，σ為標(biāo)準(zhǔn)差，α為置信水平，v為t-分布的自由度，g為t-分布的密度函數(shù)。本文中從實(shí)際數(shù)據(jù)出發(fā)選取t-分布的自由度為4。具體的預(yù)測(cè)結(jié)果如表2。

表2　上證指數(shù)日對(duì)數(shù)收益率危機(jī)前和危機(jī)中的VaR和ES

注：置信水平為95%。

2.3　回測(cè)檢驗(yàn)

由于受模型中的各種假設(shè)、樣本的抽取、建模過程的計(jì)算和各種隨機(jī)因素的影響，在實(shí)際應(yīng)用中，各種不同的建模方法所得出的VaR都會(huì)與實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)值有一定的偏差，為了檢驗(yàn)預(yù)測(cè)出的VaR是否是有效的，監(jiān)管部門和金融機(jī)構(gòu)需要進(jìn)行回測(cè)檢驗(yàn)?；販y(cè)檢驗(yàn)的方法有多種，本文采用的是一種基于二項(xiàng)分布的檢驗(yàn)方法，這也是一種常用的檢驗(yàn)方法。

該檢驗(yàn)的具體思想是：實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)值超過預(yù)測(cè)值的次數(shù)稱為試驗(yàn)失敗的次數(shù)，這里記失敗的次數(shù)為N,若預(yù)測(cè)出的VaR是有效的,則N應(yīng)服從期望為nα、方差為nα(1-α)的二項(xiàng)分布，其中n是樣本容量、1-α是置信水平(本文中是95%)。為此，構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

則統(tǒng)計(jì)量的漸近分布應(yīng)該是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。基于統(tǒng)計(jì)量z對(duì)表2中的VaR值進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果見表3。

表3　回測(cè)檢驗(yàn)結(jié)果

由表3可以看出，無論是危機(jī)前還是危機(jī)后，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值都在接受域內(nèi)，由此可以看出以上風(fēng)險(xiǎn)值是可接受的。

3結(jié)論

從實(shí)證的結(jié)果可以看出，在危機(jī)前和危機(jī)中ES都比VaR要大，這是因?yàn)镋S是在損失超過VaR的情況下平均損失的值，在市場波動(dòng)比較大的情況下，ES可能比VaR更可靠些。危機(jī)中的VaR(ES)明顯要比危機(jī)前的VaR(ES)要大，這說明在危機(jī)中所面臨的風(fēng)險(xiǎn)值要比危機(jī)前更大，從而在危機(jī)中投資機(jī)構(gòu)應(yīng)更加謹(jǐn)慎投資，準(zhǔn)備足夠多的風(fēng)險(xiǎn)準(zhǔn)備金，以便在風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生時(shí)可以應(yīng)對(duì)，以避免造成更大的損失。

鑒于以上的實(shí)證研究，若簡單的只使用VaR作為風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)不是很合適，應(yīng)該結(jié)合ES指標(biāo)同時(shí)使用。尤其是在市場波動(dòng)較大的時(shí)段，采用ES作為風(fēng)險(xiǎn)度量比VaR更可靠，VaR存在低估風(fēng)險(xiǎn)的可能。

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The Value at Risk and Empirical Analysis

LI Hai-yan1, CAO Huai-huo1, PAN Xue-yan2

(1.Department of Mathematics and Computer Science, Chizhou University，Chizhou 247000, China;

2.School of Mathematics and Computer Science, Anhui Normal University, Wuhu 241003, China)

Abstract:People are paying more and more attentions to the risk management of the financial market with the economic integration. This paper first introduces the methods of measure market risk, and then gives two important ways: the value at risk (VaR) and the expected shortfall (ES). The advantages and disadvantages of VaR and ES are discussed in this paper. Finally an empirical study of Shanghai Index is presented.

Key words:Market risk， VaR, expected shortfall, history data simulate, Monte Carlo simulate, variance-covariance method

中圖分類號(hào)：C812

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1007-4260(2015)01-0023-04

DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.01.007

作者簡介：李海燕，女，安徽桐城人，碩士，池州學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系講師。

收稿日期：2014-03-29