田　壘，李　琳，楊海洋

(安慶師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，安徽 安慶 246133)

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Laplace變換與分?jǐn)?shù)階中立型時滯微分方程

田壘，李琳，楊海洋

(安慶師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，安徽 安慶 246133)

摘要：Laplace變換是求解整數(shù)階線性微分方程的一種有效且方便的方法。本文主要應(yīng)用Gronwall積分不等式獲得Laplace變換法求解常系數(shù)分?jǐn)?shù)階中立型時滯微分方程合理性的條件。

關(guān)鍵詞：Gronwall積分不等式；拉普拉斯變換；分?jǐn)?shù)階中立型微分方程；Caputo分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)

分?jǐn)?shù)微積分包括分?jǐn)?shù)微分和分?jǐn)?shù)積分，至今已有300多年的發(fā)展史，是整數(shù)階微積分的推廣。由于分?jǐn)?shù)微積分在工程和科學(xué)方面的廣泛應(yīng)用，已經(jīng)引起了許多學(xué)者的極大興趣[1-10]。眾所周知，Laplace變換是求解整數(shù)階線性微分方程一種非常有效且方便的方法，但是必須強(qiáng)調(diào)Laplace變換法在分?jǐn)?shù)階微分方程中的正確應(yīng)用[9]。文獻(xiàn)[9]主要建立了Laplace變換法求解分?jǐn)?shù)階微分方程

(1)

合理性的充分條件。

受文獻(xiàn)[8,9]啟發(fā)，本文主要應(yīng)用Gromwall不等式討論應(yīng)用Laplace變換方法來解決分?jǐn)?shù)階中立型微分方程

(2)

合理性的充分條件，其中CDαx(t)是Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，A,B,E是n×n階常數(shù)矩陣，f(t)是n維連續(xù)的向量函數(shù)，τ是大于零的常數(shù)，φ∈C1([-τ,0],Rn) 。

1預(yù)備知識

定義1[1]如f(t)是n維向量值函數(shù)，則稱

為f(t)的Laplace變換式。

定義2[2]Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)積分定義如下

其中0<α<1，x∶[0,∞)→Rn。

定義3[2]Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義如下

其中0<α<1，x∶[0,∞)→Rn。

定義4[2]Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義如下

其中0<α<1，x∶[0,∞)→Rn。

定義5[2]含兩個參數(shù)Mittag-Leffler函數(shù)定義如下

其中α,β>0，C是復(fù)平面。

定義6如果定義在0≤t<∞上的函數(shù)f滿足以下不等式的形式

‖f(t)‖≤Heat

那么f為指數(shù)有界，其中H,α為常數(shù)。

引理1[10]若λ≥0,γ>0且b(t)在0≤t

那么

其中θ=(λΓ(γ))1/γ,

如果b(t)≡b(常數(shù))，那么

x(t)≤bEγ(θt)

2主要結(jié)論

本節(jié)主要應(yīng)用拉普拉斯變換方法討論分?jǐn)?shù)階中立型時滯微分方程。

定理若f(t)在[0,+∞]是連續(xù)的且是指數(shù)有界的，系統(tǒng)(1)有唯一連續(xù)解x(t)，那么x(t)和CDα[x(t)-Ex(t-τ)]都是指數(shù)有界的，且它存在拉普拉斯變換式均存在。

證明因為f(t)是指數(shù)有界的，所以由定義6知存在正常數(shù)H,δ和T使得

‖f(t)‖≤Meδt(t≥T)

易知系統(tǒng)(2)和以下積分方程等價：

x(t)=φ(0)-Eφ(-τ)+

則

‖x(t)‖≤‖φ(0)‖-‖E‖‖φ(-τ)‖+

(‖A‖‖x(s)‖+‖f(s)‖)ds+

[‖A‖‖x*(s)‖+‖f(s)‖]ds+

‖Ax(t)+f(t)‖≤‖A‖‖x*(s)‖+‖f(s)‖≤M

從而

‖x*(t)‖≤(1+2‖E‖)‖φ‖+

在不等式兩邊乘以e-δt,則e-δt≤e-δT,e-δt≤e-δS，‖f(t)‖≤Heδt(t≥T),那么

記

從而

由定義5知

則

u(t)≤bEα(λΓ(α)tα),t≥T

由文獻(xiàn)[9]知Mittag-Leffler函數(shù)Eα(tα)滿足：

Eα(σtα)≤Weσ1/αt,t≥0,σ≥0,0<σ<2

其中W是正常數(shù)。從而有

u(t)≤bWe(λΓ(α))1/αt,t≥T

那么

‖x*(t)‖≤bWe[(λΓ(α))1/αt+δ]t,t≥T

則

‖x(t)‖≤‖x*(t)‖≤bWe[(λΓ(α))1/αt+δ]t

由方程(2)可知

‖A‖‖x(t)‖+‖B‖‖x(t-τ)‖+‖f(t)‖≤

‖A‖‖x(t)‖+‖B‖‖x*(t)‖+‖f(t)‖≤

b(‖A‖+‖B‖)We[(λΓ(σ))1/α+δ]t+Heδt≤

[b(‖A‖+‖B‖)+H]We[(λΓ(σ))1/α+δ]t,t≥T

對(2)兩邊關(guān)于t應(yīng)用拉普拉斯變換可得

參考文獻(xiàn):

[1]MillerK.S.,RossB..AnIntroductiontotheFractionalCalculusandFractionalDifferentialEquations[M].JohnWiley&Sons,NewYork, 1993.

[2]PodlubnyI.,FractionalDifferentialEquations[M].AcademicPress,SanDiego, 1999.

[3]KilbasA.A.,Srivastava,H.M.,TrujilloJ.J..TheoryandApplicationsofFractionalDifferentialEquations[M].ElsevierScienceB.V.,Amsterdam,TheNetherlands, 2006.

[4]DiethelmK..TheAnalysisofFractionalDifferentialEquations[M].Springer-VerlagBerlin,Heidelberg, 2010.

[5]張海, 鄭祖庥, 蔣威. 非線性分?jǐn)?shù)階泛函微分方程解的存在性[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報, 2011, 31A(2): 289-297.

[6]張海, 趙小文, 蔣威. 分?jǐn)?shù)階一般退化微分系統(tǒng)的通解[J].數(shù)學(xué)雜志, 2011, 31 (1): 91-95.

[7]LinS.D.,LuC.H..Laplacetransformforsolvingsomefamiliesoffractionaldifferentialequationsanditsapplications[J].AdvancesinDifferenceEquations, 2013(137): 1-9.

[8]ZhangHai,CaoJinde,JiangWei,Generalsolutionoflinearfractionalneutraldifferentialdifferenceequations[J].DiscreteDynamicsinNatureandSociety, 2013,ArticleID489521, 1-7.

[9]LiK.X.,PengJ.G.,Laplacetransformandfractionaldifferentialequations[J].AppliedMathematicsLetters，2011，24(12): 2019-2023.

[10]HamdyM.A..Fractionalneutralevolutionequationswithnonlocalconditions[J].AdvancesinDifferenceEquations, 2013(117): 1-10.

Laplace Transform and Fractional-Order Neutral Delay Differential Equations

TIAN Lei,LI Lin,YANG Hai-yang

(School of Mathematics and Computation Science, Anqing Normal University, Anqing 246133,China)

Abstract:Laplace transform is an effective and convenient method for solving linear differential equations with integer order. In this paper, by using Gronwall integral inequality, we obtain a sufficient condition to guarantee the rationality of solving constant coefficient fractional-order neutral delay differential equations by the Laplace transform method.

Key words:Gronwall integral inequality，fractional order neutral differential equation，Laplace transform method，Caputo fractional derivative

中圖分類號：O175.7

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1007-4260(2015)01-0003-03

DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.01.002

作者簡介：田壘，男，安徽安慶人，安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院碩士研究生，研究方向為分?jǐn)?shù)階微分方程。

基金項目：安徽省高等學(xué)校省級自然科學(xué)研究基金項目(KJ2011A197，KJ2013Z186)。

收稿日期：2014-05-17