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        平面多邊形增減頂點(diǎn)時(shí)中值坐標(biāo)的計(jì)算

        2016-01-22 06:29:46朱方妍張善奎鄧重陽(yáng)

        朱方妍,張善奎,鄧重陽(yáng)

        (杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院,浙江 杭州 310018)

        摘要:中值坐標(biāo)是定義在任意平面多邊形上最常用的重心坐標(biāo)。揭示了增減平面多邊形的頂點(diǎn)時(shí),多邊形所在平面內(nèi)點(diǎn)的中值坐標(biāo)的變化情況,即當(dāng)多邊形減少或增加一個(gè)頂點(diǎn)時(shí),則除去所增減的點(diǎn)以及它的兩個(gè)相鄰點(diǎn)外,其余各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的規(guī)范化中值坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的常數(shù)倍。

        關(guān)鍵詞:推廣的重心坐標(biāo);中值坐標(biāo);平面多邊形

        DOI: 10.13954/j.cnki.hdu.2015.01.022

        平面多邊形增減頂點(diǎn)時(shí)中值坐標(biāo)的計(jì)算

        朱方妍,張善奎,鄧重陽(yáng)

        (杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院,浙江 杭州 310018)

        摘要:中值坐標(biāo)是定義在任意平面多邊形上最常用的重心坐標(biāo)。揭示了增減平面多邊形的頂點(diǎn)時(shí),多邊形所在平面內(nèi)點(diǎn)的中值坐標(biāo)的變化情況,即當(dāng)多邊形減少或增加一個(gè)頂點(diǎn)時(shí),則除去所增減的點(diǎn)以及它的兩個(gè)相鄰點(diǎn)外,其余各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的規(guī)范化中值坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的常數(shù)倍。

        關(guān)鍵詞:推廣的重心坐標(biāo);中值坐標(biāo);平面多邊形

        DOI:10.13954/j.cnki.hdu.2015.01.022

        收稿日期:2014-06-16

        基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61370166)

        通信作者:

        作者簡(jiǎn)介:朱方妍(1991-),女,河南商丘人,在讀研究生,計(jì)算數(shù)學(xué).鄧重陽(yáng)副教授,E-mail: dcy@hdu.edu.cn.

        中圖分類號(hào):O24

        文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼::A

        文章編號(hào)::1001-9146(2015)01-0104-03

        Abstract:Mean value coordinates are the most commonly barycentric coordinates defined in arbitrary planar polygon. This paper reveals how the coordinates of the interior point in a planar polygon change as the vertexes are increased or decreased, namely, when the polygon reduces or increases a vertex, except the increased or decreased and its two adjacent points, the rest values of the normalized coordinates at the corresponding points turn into a constant multiple of the original.

        0引言

        定義在三角形上的重心坐標(biāo)可以將三角形所在平面內(nèi)的任意點(diǎn)唯一地表示為三角形三個(gè)頂點(diǎn)的線性組合,所以廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、幾何造型、地形建模和有限元[1]等領(lǐng)域。近年來(lái),涌現(xiàn)出很多類型的重心坐標(biāo),使之推廣到任意多邊形乃至多面體,如調(diào)和坐標(biāo)[2]、中值坐標(biāo)[3]、復(fù)數(shù)坐標(biāo)[4]、矩陣坐標(biāo)[5]、泊松坐標(biāo)[6]以及局部坐標(biāo)[7]。其中最成功的方法當(dāng)屬Floater提出的中值坐標(biāo)[8-10],因?yàn)槠渚哂羞m用于平面任意多邊形、在多邊形平面內(nèi)任意一點(diǎn)都有定義、無(wú)窮階連續(xù)、計(jì)算穩(wěn)定等優(yōu)良特性。

        在計(jì)算機(jī)動(dòng)畫(huà)設(shè)計(jì)和幾何造型等領(lǐng)域中,為了設(shè)計(jì)出所需的形狀,常常要在已有多邊形的基礎(chǔ)上增加或者減少頂點(diǎn)。在增減頂點(diǎn)后,如果所有的中值坐標(biāo)全部重新計(jì)算,必然會(huì)導(dǎo)致很大的計(jì)算量。本文揭示了增減平面多邊形的頂點(diǎn)時(shí),多邊形所在平面內(nèi)點(diǎn)的中值坐標(biāo)的變化情況,即當(dāng)多邊形減少或增加一個(gè)頂點(diǎn)時(shí),則除去所增減的點(diǎn)以及它的兩個(gè)相鄰點(diǎn)外,其余各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的規(guī)范化中值坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的常數(shù)倍。這樣可以大大減少后續(xù)的計(jì)算量。

        1多邊形在增減頂點(diǎn)時(shí)中值坐標(biāo)的變化

        1.1 減少一個(gè)頂點(diǎn)

        如圖1所示,記多邊形Ψ的頂點(diǎn)為v1,v2,…,vn,ri(v)為vi到v的歐幾里得距離,αi(v)表示三角形[v,vi,vi+1]在頂點(diǎn)v處的有向角,則點(diǎn)v相對(duì)多邊形Ψ的各個(gè)頂點(diǎn)的齊次中值坐標(biāo)函數(shù)[9]為:

        (1)

        圖1 減少多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)

        (2)

        (3)

        (4)

        從上述關(guān)系式可以看出,多邊形Ψ減少一個(gè)頂點(diǎn)vj之后,除了點(diǎn)vj的相鄰點(diǎn)vj-1和vj+1外,其余各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的規(guī)范化中值坐標(biāo)與原來(lái)的相比只相差一個(gè)常數(shù)倍。

        1.2 增加一個(gè)頂點(diǎn)

        增加新點(diǎn)可以分為新點(diǎn)在邊上或不在邊上這兩種情況,前一種情況已有定論(參見(jiàn)文獻(xiàn)[9]),這里只考慮第二種情況。

        (5)

        (6)

        圖2 增加多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)

        2數(shù)值例子

        取多邊形邊數(shù)為n=10,多邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)x0=[0.400 4,0.607 4,0.806 6,0.896 5,0.646 5,0.419 9,0.162 1,0.322 3,0.150 4,0.193 4],y0=[0.962 8,0.956 1,0.848 0,0.543 9,0.003 4,0.091 2,0.077 7,0.327 7,0.523 6,0.848 0]。

        然后,在該多邊形內(nèi)任取一點(diǎn)(x,y)=(0.537 1,0.543 9)的關(guān)于此多邊形的重心坐標(biāo)λ1=[0.073 3,0.079 3,0.112 7,0.219 6,0.118 3,0.059 3,0.027 9,0.089 5,0.127 8,0.092 4]。

        去掉第4個(gè)頂點(diǎn)后,得到九邊形的重心坐標(biāo)λ2=[0.063 6,0.068 8,0.304 5,0.219 0,0.051 5,0.024 2,0.077 6,0.110 8,0.080 1]。在第4和第5個(gè)頂點(diǎn)之間加上一個(gè)新頂點(diǎn)(0.959 0,0.091 2)后,得到十一邊形的重心坐標(biāo)λ3=[0.077 5,0.083 9,0.119 2,0.162 1,0.076 3,0.061 2,0.062 8,0.029 5,0.094 6,0.135 2,0.097 7]。

        通過(guò)計(jì)算,除了減少的頂點(diǎn)和此頂點(diǎn)的兩個(gè)相鄰點(diǎn)之外,其余頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的中值坐標(biāo)與原來(lái)比值均為0.867 4,除了增加的頂點(diǎn)和此頂點(diǎn)的兩個(gè)相鄰點(diǎn)外,其余頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的中值坐標(biāo)與原來(lái)的比值為1.057 7。

        以上數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)說(shuō)明,理論分析與實(shí)驗(yàn)?zāi)M相吻合。另外,根據(jù)多次數(shù)值模擬結(jié)果得出,對(duì)于內(nèi)部點(diǎn),多邊形減少頂點(diǎn)時(shí),它相對(duì)其余頂點(diǎn)的的中值坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的m倍,其中m≤1;多邊形增加頂點(diǎn)時(shí),它相對(duì)其余頂點(diǎn)的中值坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的n倍,其中n≥1。對(duì)于外部點(diǎn),中值坐標(biāo)的變化情況正好與此相反。

        3結(jié)束語(yǔ)

        在形狀編輯中,平面多邊形增減頂點(diǎn)是一個(gè)非常常見(jiàn)的操作。通過(guò)理論分析,本文得出多邊形增減頂點(diǎn)時(shí),多邊形所在平面內(nèi)一點(diǎn)的中值坐標(biāo)的變化規(guī)律。本文所討論算法可以有效地提高圖形編輯中所涉及的數(shù)值計(jì)算的效率。

        參考文獻(xiàn)

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        [3]Floater M S. Mean value coordinates[J]. Computer Aided Geometric Design,2003,20(1):19-27.

        [4]Weber O, Ben-Chen M,Gotsman C.Complex Barycentric Coordinates with Applications to Planar Shape Deformation[J]. Computer Graphics Forum,2009,28(2):587-597.

        [5]黃力慰,李桂清,熊赟暉.矩陣重心坐標(biāo)[J].計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào),2011,23(12):1 959-1 966.

        [6]Li X Y, Hu S M. Poisson coordinates[J]. IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics,2013,19(2):344-352.

        [7]Zhang J Y, Deng B L, Liu Z S, et al. Local Barycentric Coordinates[J]. ACM Transactions on Graphics, 2014,33(EPFL-ARTICLE-201 853).

        [8]Ju T, Schaefer S, Warren J. Mean value coordinates for closed triangular meshes[J]. ACM Transactions on Graphics(TOG),2005,24(3):561-566.

        [9]Hormann K, Floater M S. Mean value coordinates for arbitrary planar polygons[J]. ACM Transactions on Graphics(TOG),2006,25(4):1 424-1 441.

        [10]Bruvoll S, Floater M S. Transfinite mean value interpolation in general dimension[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics,2010,233(7):1 631-1 639.

        Calculation of Mean Value Coordinates in Process of

        Planar Polygon Vertexes’ Decrease or Increase

        Zhu Fangyan, Zhang Shankui, Deng Chongyang

        (SchoolofScience,HangzhouDianziUniversity,HangzhouZhejiang310018,China)

        Key words: general barycentric coordinates; mean value coordinates; planar polygon

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