唐春明，亓延峰，徐茂智

(1.西華師范大學數(shù)學與信息學院，四川 南充 637002；2.杭州電子科技大學理學院，浙江 杭州 310018;3.北京大學數(shù)學科學學院，北京 100871)

摘要：超Bent函數(shù)是一類具有特殊性質(zhì)的Bent函數(shù)，在編碼、通信和密碼學中都有著重要的應用。該文研究一類Dillon型布爾函數(shù)，使用指數(shù)和給出了此類函數(shù)的超Bent性刻畫，并建立此類函數(shù)的超Bent性與Kloosterman和，三次和之間的聯(lián)系。在一些特殊情形下，具體考慮此類函數(shù)的超Bent性的刻畫，使用Kloosterman和以及三次和的一些特殊值來刻畫這些函數(shù)的超Bent性，并給出了一些具體超Bent函數(shù)的例子，方便地給出許多超Bent函數(shù)，從而豐富和發(fā)展了超Bent函數(shù)理論。

關(guān)鍵詞：Bent函數(shù)；超Bent函數(shù)；Dillon型函數(shù)；Walsh-Hadamard變換；Kloosterman和

DOI: 10.13954/j.cnki.hdu.2015.01.014

利用Kloosterman和刻畫一類超Bent函數(shù)

唐春明1，亓延峰2，徐茂智3

(1.西華師范大學數(shù)學與信息學院，四川 南充 637002；2.杭州電子科技大學理學院，浙江 杭州 310018;3.北京大學數(shù)學科學學院，北京 100871)

摘要：超Bent函數(shù)是一類具有特殊性質(zhì)的Bent函數(shù)，在編碼、通信和密碼學中都有著重要的應用。該文研究一類Dillon型布爾函數(shù)，使用指數(shù)和給出了此類函數(shù)的超Bent性刻畫，并建立此類函數(shù)的超Bent性與Kloosterman和，三次和之間的聯(lián)系。在一些特殊情形下，具體考慮此類函數(shù)的超Bent性的刻畫，使用Kloosterman和以及三次和的一些特殊值來刻畫這些函數(shù)的超Bent性，并給出了一些具體超Bent函數(shù)的例子，方便地給出許多超Bent函數(shù)，從而豐富和發(fā)展了超Bent函數(shù)理論。

關(guān)鍵詞：Bent函數(shù)；超Bent函數(shù)；Dillon型函數(shù)；Walsh-Hadamard變換；Kloosterman和

DOI:10.13954/j.cnki.hdu.2015.01.014

收稿日期：2014-06-06

基金項目：國家自然科學基金資助項目(10990011,11401480,61272499)

作者簡介：唐春明(1982-)，男，四川南充人，講師，密碼學與信息安全.

中圖分類號：TN918.1

文獻標識碼：：A

文章編號：：1001-9146(2015)01-0067-08

Abstract:Hyper-Bent functions as a subclass of Bent functions can be applied to coding theory， communication and cryptography. This paper considers a class of Boolean functions with Dillon exponents， characterizes these functions with exponential sums， and presents the link of hyper-Bentness of these hyper-Bent functions with Kloosterman sums and cubic sums. For some special cases， we present the concrete characterization of these hyper-Bent functions with special values of Kloosterman sums and cubic sums， and give some concrete examples of hyper-Bent functions. From our method， many hyper-Bent functions can be given. That enriches the theory of hyper-Bent functions.

0引言

本文第一節(jié)給出了一些基本記號，并回顧了bent函數(shù)，超bent函數(shù)，以及指數(shù)和的相關(guān)定義和結(jié)論。第二節(jié)研究一類布爾函數(shù)的超bent性，并利用Kloosterman和來刻畫此類函數(shù)的超Bent性，具體地使用Kloosterman和的特殊值給出了一些此類超bent函數(shù)。最后，第三節(jié)是全文的一個總結(jié)。

1預備知識

1.1　超bent函數(shù)

若f是一個Bent函數(shù)，那么n必然是一個偶數(shù)，而且其代數(shù)次數(shù)deg(f)≤n/2。超Bent函數(shù)是Bent函數(shù)中的一個重要的子類，其定義如下。

定義2一個Bent函數(shù)稱為超Bent函數(shù)，若它對滿足(i，2n-1)=1的任意i，有f(xi)也是一個Bent函數(shù)。

1.2　指數(shù)和

下面介紹一些特殊的指數(shù)和的定義和結(jié)論。

命題1設(shè)a∈F2m，則Km(a)∈[-2(m+2)/2+1，2(m+2)/2+1]，而且Km(a)≡0mod 4。

Kloosterman和的如下除法性質(zhì)也將經(jīng)常被用到[31]。

命題3設(shè)m是一個奇整數(shù)，則：

1)Cm(1，1)=(-1)(m2-1)/82(m+1)/2；

1)Km(a)≡1mod 3；

2)Cm(a，a)=0；

證明由命題2知，結(jié)論(1)與(3)等價。

為了記號簡單起見，記Cm(a):=Cm(a，a)。將要使用到如下的指數(shù)和：

(1)

式中，U3={u3:u∈U}。Mesnager給出了這個指數(shù)和與Kloosterman和，三次和之間的關(guān)系[16-17]。

(2)

2超Bent函數(shù)和Kloosterman和

考慮如下Dillon型布爾函數(shù)：

(3)

證明使用文獻[15，19]中的證明方法考慮f(x)的Walsh-Hadamard譜值，可以得到本引理的結(jié)論。

定理1設(shè)f(x)如式(3)定義，則：

綜上，定理得證。

3結(jié)束語

參考文獻

[1]Rothaus O S. On “bent” functions[J]. Journal of Combinatorial Theory， Series A，1976，20(3):300-305.

[2]Mesnager S. Bent and hyper-bent functions in polynomial form and their link with some exponential sums and Dickson polynomials[J]. Information Theory， IEEE Transactions on，2011，57(9):5 996-6 009.

[3]Carlet C， Gaborit P. Hyper-bent functions and cyclic codes[J]. Journal of Combinatorial Theory， Series A，2006，113(3):466-482.

[4]Carlet C. Boolean functions for cryptography and error correcting codes[J]. Boolean Models and Methods in Mathematics， Computer Science， and Engineering，2010，2:257-397.

[5]Dobbertin H， Leander G. A survey of some recent results on bent functions[M]//Sequences and Their Applications-SETA 2004. Springer Berlin Heidelberg，2005:1-29.

[6]Canteaut A， Charpin P， Kyureghyan G M. A new class of monomial bent functions[J]. Finite Fields and Their Applications，2008，14(1):221-241.

[7]Charpin P， Gong G. Hyperbent functions， Kloosterman sums， and Dickson polynomials[J]. Information Theory， IEEE Transactions on，2008，54(9):4 230-4 238.

[8]Charpin P， Kyureghyan G M. Cubic monomial bent functions: A subclass of M[J]. SIAM Journal on Discrete Mathematics，2008，22(2):650-665.

[9]Dillon J F. Elementary Hadamard difference sets[D]. University of Maryland， College Park.，1974.

[10] Dillon J F， Dobbertin H. New cyclic difference sets with Singer parameters[J]. Finite Fields and Their Applications，2004，10(3):342-389.

[11]Dobbertin H， Leander G， Canteaut A， et al. Construction of bent functions via Niho power functions[J]. Journal of Combinatorial Theory， Series A，2006，113(5):779-798.

[12]Gold R. Maximal recursive sequences with 3-valued recursive cross-correlation functions (Corresp.)[J]. Information Theory， IEEE Transactions on，1968，14(1):154-156.

[13]Leander N G. Monomial bent functions[J]. Information Theory， IEEE Transactions on，2006，52(2):738-743.

[14]Kholosha A， Leander G. Bent Functions With 2^ r Niho Exponents[J]. IEEE Transactions on Information Theory，2006，52(12):5 529-5 532.

[15]Mesnager S. Hyper-bent Boolean functions with multiple trace terms[M]//Arithmetic of Finite Fields. Springer Berlin Heidelberg，2010:97-113.

[16]Mesnager S. A new class of bent and hyper-bent Boolean functions in polynomial forms[J]. Des. Codes Cryptography，2011，59(1-3):265-279.

[17]Mesnager S. A new class of bent Boolean functions in polynomial forms[C] //International Workshop on Coding and Cryptography—WCC 2009. Springer Berlin Heidelberg，2009:5-18.

[18]Mesnager S. A new family of hyper-bent Boolean functions in polynomial form[M]//Cryptography and Coding. Springer Berlin Heidelberg，2009:402-417.

[19]Yu N Y， Gong G. Constructions of quadratic bent functions in polynomial forms[J]. Information Theory， IEEE Transactions on，2006，52(7):3 291-3 299.

[20]Youssef A M， Gong G. Hyper-bent functions[M]. Berlin: Springer Berlin Heidelberg，2001:406-419.

[21]Gong G， Golomb S W. Transform domain analysis of DES[J]. Information Theory， IEEE Transactions on，1999，45(6):2 065-2 073.

[22]Lisonek P. An efficient characterization of a family of hyperbent functions[J]. Information Theory， IEEE Transactions on，2011，57(9):6 010-6 014.

[23]Wang B， Tang C， Qi Y， et al. A New Class of Hyper-bent Boolean Functions with Multiple Trace Terms[J]. IACR Cryptology ePrint Archive，2011，2011:600.

[24]Wang B， Tang C， Qi Y， et al. A generalization of the class of hyper-bent Boolean functions in binomial forms[J]. IACR Cryptology ePrint Archive，2011，2011:698.

[25]Tang C， Qi Y， Xu M， et al. A new class of hyper-bent Boolean functions in binomial forms[J]. arXiv preprint arXiv:1112.0062，2011.

[26]Flori J P， Mesnager S. An efficient characterization of a family of hyper-bent functions with multiple trace terms[J]. Journal of Mathematical Cryptology，2013，7(1):43-68.

[27]Flori J P， Mesnager S. Dickson polynomials， hyperelliptic curves and hyper-bent functions[M]//Sequences and Their Applications-SETA 2012. Springer Berlin Heidelberg，2012:40-52.

[28]Mesnager S， Flori J P. Hyperbent Functions via Dillon-Like Exponents[J]. Information Theory， IEEE Transactions on，2013，59(5):3 215-3 232.

[29]Li N， Helleseth T， Tang X， et al. Several new classes of bent functions from Dillon exponents[J]. IEEE transactions on information theory，2013，59(3):1 818-1 831.

[30]Lachaud G， Wolfmann J. The weights of the orthogonals of the extended quadratic binary Goppa codes[J]. Information Theory， IEEE Transactions on，1990，36(3):686-692.

[31]Charpin P， Helleseth T， Zinoviev V. Divisibility properties of classical binary Kloosterman sums[J]. Discrete Mathematics，2009，309(12):3 975-3 984.

[32]Carlitz L. Explicit evaluation of certain exponential sums[J]. Mathematica Scandinavica，1979，44:5-16.

A Class of Hyper-Bent Functions Characterized by Kloosterman Sums

Tang Chunming1， Qi Yanfeng2， Xu Maozhi3

(1.SchoolofMathematicsandInformation，ChinaWestNormalUniversity，NanchongSichuan637002，China;

2.SchoolofScience，HangzhouDianziUniversity，HangzhouZhejiang310018，China;

3.LMAM，SchoolofMathematicalSciences，PekingUniversity，Beijing100871，China)

Key words: Bent functions; hyper-Bent functions; functions with Dillon exponent; Walsh-Hadmard transform; Kloosterman sums