張小紅，王慧琴，于洪磊，高大峰，王 展

(1．西安建筑科技大學(xué)管理學(xué)院，陜西 西安710055；2．西安科技大學(xué)通信與信息工程學(xué)院，陜西 西安 710054；3．西安建筑科技大學(xué)信息與控制工程學(xué)院，陜西 西安 710055；4．西安建筑科技大學(xué)土木工程學(xué)院，陜西 西安 710055；5．陜西省文物保護(hù)研究院，陜西 西安 710075)

時(shí)間序列預(yù)測是大數(shù)據(jù)研究的熱點(diǎn)，在天氣預(yù)測、電力故障預(yù)測等多方面都有著廣泛的應(yīng)用，在古建筑保護(hù)領(lǐng)域應(yīng)用較少．很多磚石古塔面臨不均勻沉降、傾斜、裂縫等諸多問題，極大影響了古塔的穩(wěn)定性和觀瞻性[1]．鑒于古塔觀測時(shí)間較短，數(shù)據(jù)量小，通過掌握觀測數(shù)據(jù)的發(fā)展規(guī)律預(yù)測古塔變形趨勢，具有重要的社會意義和實(shí)用價(jià)值[2]．

一些國內(nèi)外學(xué)者利用有限元等數(shù)值分析方法[3-5]對結(jié)構(gòu)沉降進(jìn)行了預(yù)測，但預(yù)測誤差較大[6]．近年來，一些學(xué)者將古建筑變形數(shù)據(jù)作為時(shí)間序列，采用了回歸分析[7]、灰色理論[8]、時(shí)間序列[9]、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[10]等模型進(jìn)行建模預(yù)測分析．總起來說，采用的模型主要包括單一預(yù)測模型和組合預(yù)測模型．實(shí)驗(yàn)證明，單一預(yù)測模中，自回歸和滑動平均(ARIMA)等更適合于線性時(shí)間序列，對于非線性時(shí)間序列預(yù)測具有局限性；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以按精度要求無限逼近函數(shù)，但前提是數(shù)據(jù)量大，并且存在過擬合現(xiàn)象等缺點(diǎn)．總之，回歸分析、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等多數(shù)方法都是建立在大量數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，計(jì)算量大，對于古塔的“小樣本”觀測數(shù)據(jù)不太適用．

為了彌補(bǔ)單一預(yù)測模型的缺陷，一些組合預(yù)測模型也相繼提出，如：模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸獾饶Ｐ偷龋饕槍δ骋惶卣鲾?shù)據(jù)進(jìn)行學(xué)習(xí)和預(yù)測，多數(shù)文獻(xiàn)較少考慮影響因素，缺乏對影響因素的相關(guān)性進(jìn)行定量分析，忽略了其它因素對預(yù)測量的影響貢獻(xiàn)．

由于古塔結(jié)構(gòu)變形不是獨(dú)立的事件，從影響因素出發(fā)，通過分析影響因素的變化規(guī)律來預(yù)測傾斜的發(fā)展趨勢，提高預(yù)測的準(zhǔn)確率．徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以逼近任意的非線性函數(shù)，能夠處理系統(tǒng)內(nèi)的難以解析的規(guī)律性，具有良好的泛化能力，并有很快的訓(xùn)練學(xué)習(xí)收斂速度[11]，但在處理小樣本數(shù)據(jù)方面也存在不足[12]．為了解決小樣本問題，本文引入灰色系統(tǒng)(Grey System)理論，采用等維遞補(bǔ)的方式進(jìn)行“小樣本”數(shù)據(jù)的預(yù)測，從而擴(kuò)充訓(xùn)練樣本．同時(shí)，灰色相關(guān)理論可以通過計(jì)算兩個(gè)因果關(guān)系的小樣本時(shí)間序列的相關(guān)系數(shù)，選擇與傾斜量相關(guān)性高的自變量作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入，有助于提高學(xué)習(xí)效率．

鑒于以上分析，針對磚石古塔結(jié)構(gòu)形變的小樣本、非線性等特點(diǎn)，通過分析古塔結(jié)構(gòu)沉降與傾斜時(shí)間序列的相關(guān)性，利用灰色模型理論對原始監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行累加求和，設(shè)計(jì) GRFM 灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，并將該模型應(yīng)用于小雁塔傾斜預(yù)測中，檢驗(yàn)了該方法良好的預(yù)測精度和工程適用性．

1 基于相關(guān)分析的灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合預(yù)測模型

利用灰色 RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對磚石古塔傾斜進(jìn)行預(yù)測，需要對影響因素、灰色模型和 RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型輸入、輸出樣本的選擇，合理選取樣本，建立預(yù)測模型并優(yōu)化模型參數(shù)，從而提高預(yù)測精度．

1.1 灰色關(guān)聯(lián)度分析

設(shè)兩個(gè)長度為n的時(shí)間序列向量分別為X和Y，其中

二者的灰色鄧氏相關(guān)系數(shù)表示為

二者的鄧氏相關(guān)度表示為：

1.2 灰色GM(1，1)模型

灰色GM(1，1)模型是單變量二階微分方程，通過對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行累加求和生成處理，構(gòu)建指數(shù)增長型數(shù)列，弱化數(shù)據(jù)的隨機(jī)因素，生成規(guī)律性較強(qiáng)的數(shù)據(jù)序列，從而有效降低數(shù)據(jù)的隨機(jī)干擾[13]．

其中，參數(shù)?a為發(fā)展系數(shù)，b為灰色作用量．其時(shí)間響應(yīng)序列為：

1.3 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)包含三層，分別為輸入層、隱含層和輸出層．輸入層有n個(gè)神經(jīng)元，輸入向量為

隱含層有l(wèi)個(gè)神經(jīng)元，隱層輸出矢量l H∈R，輸出層有m個(gè)神經(jīng)元，輸出矢量為其中，n，l，m分別代表輸入層、隱含層和輸出層節(jié)點(diǎn)的數(shù)量[14]．

在隱含層，每一個(gè)節(jié)點(diǎn)都使用非線性函數(shù)作為徑向基函數(shù)(RBF)，從輸入空間到隱含空間的變換選擇Gaussian函數(shù)作為RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的徑向基函數(shù)，來實(shí)現(xiàn)在隱含層x節(jié)點(diǎn)的非線性映射，其公式為

其中：cj為基函數(shù)的中心點(diǎn)，jδ為擴(kuò)展系數(shù)，j為1～l的整數(shù)．

RBF的輸出估計(jì)值為

式中,ykp表示第p個(gè)輸入層節(jié)點(diǎn)xp對應(yīng)的第i個(gè)輸出層節(jié)點(diǎn)的輸出值；Wkj表示隱含層第j個(gè)徑向基函數(shù)連接到輸出層第k個(gè)節(jié)點(diǎn)的權(quán)值．

1.4 基于灰色關(guān)聯(lián)度的GRFM傾斜量預(yù)測模型

古塔建筑結(jié)構(gòu)的傾斜量呈現(xiàn)出一個(gè)非平穩(wěn)震蕩的特點(diǎn)，用回歸分析等方法簡單預(yù)測不合適．考慮到古塔的傾斜是由于四個(gè)方位不均勻沉降而造成的，將沉降綜合指數(shù)與傾斜量兩個(gè)時(shí)間序列分別輸入灰色系統(tǒng)，計(jì)算兩個(gè)時(shí)間序列的累加序列．

如圖1所示，將趨勢項(xiàng)輸入RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，對偏移量進(jìn)行預(yù)測，并做精度檢驗(yàn)，達(dá)到預(yù)測精度輸出傾斜預(yù)測量，否則重新返回RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，進(jìn)行學(xué)習(xí)擬合，直達(dá)滿足預(yù)測精度要求為止．

圖1 GRFM預(yù)測模型Fig. 1 GRFM forecasting model

GRFM 組合建模的主要步驟如下：

步驟 1：通過古塔四個(gè)方位的沉降值計(jì)算沉降綜合指數(shù)，計(jì)算沉降與傾斜量監(jiān)測數(shù)據(jù)的相關(guān)性，保證灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入的樣本選擇的合理性．根據(jù)公式(1)和公式(2)，采用鄧氏灰色關(guān)聯(lián)度來表示沉降綜合指數(shù)與傾斜量的關(guān)聯(lián)關(guān)系．

步驟 2：建立沉降綜合指數(shù)和傾斜量兩個(gè)序列的 GM(1，1)灰色微分方程，采用最小二乘法來確定發(fā)展系數(shù)a和灰色系數(shù)b[15]，即

確定式(4)從而確定時(shí)間響應(yīng)方程，求得沉降綜合指數(shù)序列和傾斜量的灰色預(yù)測值和

步驟3：為了增強(qiáng)預(yù)測的精度，在RBF訓(xùn)練之前，將 GM(1，1)預(yù)測的序列結(jié)果根據(jù)公式(8)歸一化處理．

式中：max和min分別表示該序列數(shù)據(jù)的最大值和最小值。從而求得

步驟4：將步驟3的結(jié)果輸入RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，用蟻群聚類算法初始化公式(6)中的中心點(diǎn)cj和擴(kuò)展系數(shù)jσ，對傾斜偏移量進(jìn)行預(yù)測，并做精度檢驗(yàn)，直達(dá)滿足預(yù)測精度要求為止．

設(shè)給定沉降綜合指數(shù)趨勢歸一化后的沉降樣本集X1，將X1可以分為k個(gè)模式

初始化蟻群算法的信息啟發(fā)因子α、期望啟發(fā)因子β、信息素?fù)]發(fā)系數(shù)ρ和信息素強(qiáng)度Q、聚類半徑r，以及螞蟻個(gè)數(shù)m，最大進(jìn)化代數(shù)N，螞蟻留下的信息素，設(shè)RBF基函數(shù)的中心點(diǎn)mi為Cj的中心點(diǎn)：計(jì)算每個(gè)樣本到每個(gè)模式中心的歐式距離歐氏距離以及啟發(fā)函數(shù)將每只螞蟻爬過的樣本點(diǎn)構(gòu)成的聚類結(jié)果構(gòu)成一個(gè)解，螞蟻隨機(jī)選取模式樣本每個(gè)樣本到各個(gè)聚類中心的歸屬概率為：

把所有樣本分別歸類到k個(gè)模式中，構(gòu)成一個(gè)解．

最后，得出最優(yōu)的聚類中心點(diǎn)Cj坐標(biāo)和所有點(diǎn)到所有類的中心點(diǎn)的平均值作為RBF的中心點(diǎn)和擴(kuò)展系數(shù)的初值．經(jīng)過RBF訓(xùn)練和優(yōu)化，根據(jù)公式(7)得到其輸出

2 GRFM預(yù)測模型在小雁塔傾斜量中的應(yīng)用分析

2.1 小雁塔觀測數(shù)據(jù)

小雁塔系密檐式磚結(jié)構(gòu)佛塔，由于年代久遠(yuǎn)，塔體產(chǎn)生了傾斜和沉降．為了掌握塔體穩(wěn)定性，從2000年開始，按照《建筑變形測量規(guī)程》（JGJ/T8-97）和《建筑變形測量規(guī)范》(JGJ8-2007)行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)和規(guī)范對小雁塔進(jìn)行塔體傾斜量監(jiān)測和沉降監(jiān)測，觀測設(shè)備見表1．

表1 觀測設(shè)備與精度Tab.1 Observation equipment and precision

如圖2所示，塔底四角編號分別為A5、A6、A7和A8，塔頂四角編號分別為S1、S2、S3和S4．

圖2 小雁塔觀測點(diǎn)布置圖Fig.2 The small wild goose pagoda observation point layout

選擇 A5～A8四個(gè)沉降監(jiān)測點(diǎn)的年累積最大值差值、塔剎傾斜量以及頂點(diǎn)坐標(biāo)作為計(jì)算對象，具體如圖3和圖4所示．

圖3 小雁塔A5-A8觀測點(diǎn)沉降差值Fig.3 The small wild goose pagoda settlement observation difference of A5-A8

圖4 小雁塔塔頂坐標(biāo)(2000-2015年)Fig .4 The small wild goose pagoda tower coordinates from 2000 to 2015

對于保護(hù)部門來說，了解小雁塔的變形動態(tài)，及時(shí)掌握其變形規(guī)律，為保護(hù)工作提供科學(xué)的分析資料，具有十分重要的現(xiàn)實(shí)意義．

2.2 小雁塔沉降綜合指數(shù)

磚石古塔發(fā)生傾斜的主要因素是不均勻沉降．設(shè)SI為沉降綜合指數(shù)，用以表示不均勻沉降的嚴(yán)重程度；設(shè)小雁塔塔基的東、南、西、北四個(gè)觀測點(diǎn) A5、A6、A7、A8的累積沉降值，設(shè)表示觀測點(diǎn)A5與A6、A6與A7、A7與A8、A5與A8、A5與A7、A6與A8的沉降差值．則有

根據(jù)公式(1)和(2)，計(jì)算塔頂點(diǎn)和沉降綜合指數(shù)的相關(guān)度為0.789 1，屬于強(qiáng)相關(guān)，說明二者的相關(guān)性較大，塔頂點(diǎn)的傾斜量預(yù)測可以參考塔基的沉降綜合指數(shù)．

2.3 GM(1，1)模型擬合

2.4 RBF模擬訓(xùn)練與預(yù)測

設(shè)2000-2012年數(shù)據(jù)為Training訓(xùn)練集，2013-2015年傾斜量為Test測試集合，最后對2016-2018年的傾斜量進(jìn)行預(yù)測．

實(shí)驗(yàn)工具為Matlab 2009 仿真軟件，分別采用GM(1，1)模型和GRFM模型通過沉降綜合指數(shù)對小雁塔傾斜量進(jìn)行預(yù)測，并計(jì)算預(yù)測誤差．通過試驗(yàn)，傾斜量測量值和預(yù)測值分別如表4和圖5所示．

表2 訓(xùn)練結(jié)果與比較（單位：mm）Tab.2 Comparison of the training result/mm

為了檢驗(yàn)GRFM模型訓(xùn)練和預(yù)測誤差，采用MAE(平均絕對誤差)標(biāo)準(zhǔn)和MAPE(平均相對誤差)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行檢驗(yàn)，具體如公式(15)和(16)所示．

從表GRFM預(yù)測模型的平均絕對誤差為1.402 mm，相對于GM模型來說，優(yōu)勢明顯，具有良好的擬合效果．

圖5 傾斜量訓(xùn)練結(jié)果Fig. 5 Training results

從圖5可以看出，用GRFM預(yù)測算法可以很好的傾斜量發(fā)展趨勢和細(xì)節(jié)變化，該模型與GM模型比較，其平均相對誤差性能具有很大優(yōu)勢．在擬合過程中，灰色 GM(1，1)模型只能擬合總體趨勢，而灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型可以很好的擬合具體細(xì)節(jié)，表現(xiàn)出了良好的擬合能力．

如表3所示，根據(jù)公式(16)，GRFM模型預(yù)測的平均相對誤差為 9.056%．采用 GRFM 對2016-2018年的傾斜量進(jìn)行預(yù)測，得2016年、2017年和 2018年的傾斜量預(yù)分別為 4.538 mm，4.560 mm和4.590 mm．從圖5中可以看出，從2006年以來，傾斜量值相對穩(wěn)定，2016-2018年的傾斜量略低于2008年，屬于穩(wěn)定狀態(tài)．

表3 預(yù)測結(jié)果與比較（單位：mm）Tab.3 Comparison of the forecasting result

根據(jù)該模型的預(yù)測值，按照《建筑變形測量規(guī)程》(JGJ/T8-97)規(guī)范，已知小雁塔從塔基到塔頂?shù)母叨葹?8.14 m，可以計(jì)算2013-2018年的傾斜度，具體如表6所示．

表4 2013-2018傾斜量預(yù)測Tab.4 Inclination forecast of 2013-2018

根據(jù)建筑地基基礎(chǔ)設(shè)計(jì)規(guī)范(GB50007-2011)中民用建筑傾斜標(biāo)準(zhǔn)，小雁塔的傾斜量均在200 mm以下，傾斜度在0.8%以下，在近幾年內(nèi)傾斜量和傾斜度均較為穩(wěn)定，該結(jié)論與文獻(xiàn)[16]的分析一致．

3 結(jié)論

設(shè)計(jì)了基于灰色關(guān)聯(lián)分析的GRFM 預(yù)測模型，采用灰色相關(guān)分析理論分析了沉降和傾斜量的相關(guān)度，利用灰色模型建立傾斜量相關(guān)因素累加求和，建立緊鄰均值序列，采用基于蟻群算法的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對傾斜量進(jìn)行預(yù)測，該模型的有效性在小雁塔傾斜量預(yù)測中得到了有效性的驗(yàn)證，為磚石古塔穩(wěn)定性分析提供了一種基于監(jiān)測數(shù)據(jù)的分析方法．研究的結(jié)論主要包括：

(1) 模型采用灰色關(guān)聯(lián)分析法計(jì)算了預(yù)測量與影響因素之間的相關(guān)度，在二者屬于強(qiáng)關(guān)聯(lián)的情況下進(jìn)行預(yù)測，保證了該模型對具有相關(guān)性時(shí)間序列預(yù)測的可靠性．

(2) 模型通過灰色系統(tǒng)建立影響因素的累加序列，降低數(shù)據(jù)的隨機(jī)性，保證該模型適用于“小樣本”數(shù)據(jù)；采用基于蟻群算法的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對傾斜量進(jìn)行預(yù)測，發(fā)揮RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的快速收斂特點(diǎn)，對非線性數(shù)據(jù)具有預(yù)測優(yōu)勢，能夠有效地提高預(yù)測精度，其預(yù)測精度明顯高于 GM(1,1)灰色模型．實(shí)驗(yàn)證明，采用GRFM模型對非線性、小樣本性和動態(tài)性的時(shí)間序列的預(yù)測是有效的．

(3) 該模型在小雁塔傾斜量預(yù)測應(yīng)用中，在計(jì)算了沉降綜合指數(shù)與傾斜量的基礎(chǔ)上，對傾斜量進(jìn)行預(yù)測．根據(jù)《建筑地基基礎(chǔ)設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB5007-2002)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明小雁塔的塔身傾斜量較為穩(wěn)定，整體的結(jié)構(gòu)安全性良好，在短期內(nèi)沒有結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)．

當(dāng)然，時(shí)間序列影響因素較多，需要針對多種因素的進(jìn)行選擇，既保證預(yù)測的精度，有盡量降低預(yù)測模型的計(jì)算量．因此，課題組的下一個(gè)工作重點(diǎn)是建立多種因素對傾斜量的相關(guān)性，研究多種影響因素的有效選擇，研究基于多因素相關(guān)的傾斜量預(yù)測模型．

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