胡妤涵

(山西大學 數(shù)學科學學院，山西 太原 030006)

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具有Neumann邊界的耦合非線性薛定諤方程組能量估計

胡妤涵

(山西大學 數(shù)學科學學院，山西 太原 030006)

摘要：研究了Neumann邊界條件下耦合非線性薛定諤方程組的能量估計。首先，運用具體方程組和抽象方程的轉(zhuǎn)換證明了方程組解的存在性。然后，運用迦遼金擾動方法得到了其能量的估計式。

關(guān)鍵詞：非線性薛定諤方程；Neumann邊界；迦遼金方法

0引言

薛定諤方程是光學、量子力學等研究中經(jīng)常出現(xiàn)的一類方程，近年來,關(guān)于薛定諤方程的研究有很多重要的結(jié)果。文獻[1]主要研究了具有非齊次邊界的非線性薛定諤方程的一些問題。文獻[2]研究了Neumann邊界條件下非線性薛定諤方程的弱解的全局存在性以及其指數(shù)穩(wěn)定性，并給出了在聚焦、散焦以及有無阻尼的情況下的不同結(jié)果。文獻[3-4]討論了狄利克邊界條件下薛定諤方程的解的全局存在性及其能量的衰減。文獻[5-8]在不同條件下研究了薛定諤方程的解。文獻[9-10]給出了特定條件下薛定諤方程的解的適定性。然而對于耦合非線性薛定諤方程卻沒有相應(yīng)的研究，下面將研究Neumann邊界條件下耦合非線性薛定諤方程組的解的存在性及能量表達式的估計。

(1)

其中：α，q，γ∈R且α,q,γ≥0。假設(shè)初值和非齊次Neumann邊界條件滿足下面性質(zhì)：

且

g,h∈C1([0,∞);L2(Γ1))。

當 Γ0≠?時，下面關(guān)系式成立

1重要定理

首先定義能量為：

在給出本文主要結(jié)果前，先給一個重要引理。

引理1在方程組(1)中，u，v為其解,下面等式成立：

并且有能量估計式：

由能量的定義可得：

同理，可得：

因此：

證畢。

定理1令T>0是任意的，假設(shè)

成立，則式(1)有全局弱解。

首先，考慮式(1)對應(yīng)的齊次方程組：

(2)

證明首先考慮下面的抽象問題

事實上，

取1-C1γ≥0，所以有：

（2）財政部門跟蹤評價。在單位自評的基礎(chǔ)上，財政部門根據(jù)預算單位報送的績效運行跟蹤情況進行審核和匯總，并選取一定數(shù)量的財政支出（包括部門整體支出和項目支出）進行重點跟蹤監(jiān)控，開展績效再評價，形成“全面覆蓋、重點再評”的績效評價新機制。對財政支出過程中出現(xiàn)的問題提出整改措施，督促部門和單位落實支出責任。

上式成立，故A是單調(diào)正定的。

又取φ∈L2(Ω)×L2(Ω)，則方程(A+I)ω=φ。在D(A)中有唯一解，且有R(A+I)=L2(Ω)×L2(Ω)，A是極大單調(diào)的。又

故易得：

(Aω,ξ)L2(Ω)=(ω,Aξ)L2(Ω)。

所以A是對稱的，即A是自伴隨的。

現(xiàn)定義

(3)

事實上，由格林公式知：

即

故式(2)有唯一解。

再考慮下面方程組：

(4)

2主要結(jié)論

由文獻[2]知：對于類似的薛定諤方程組可以用同樣的迦遼金擾動方法來處理方程的解。首先，令t∈(0,TN]，當TN→∞且N為適當值時即為原方程的能量估計。

下面考慮

(5)

(6)

(7)

其中：〈·,·〉表示邊界上的L2內(nèi)積，對式(6)在(0,t)上積分，進行估算有：

(8)

對式(7)進行估計有：

(9)

定義能量為：

則式(8)和式(9)相加有：

又由Gronwall不等式有：

，

其中：Cδ,T是依賴于δ與T的常數(shù)。

參考文獻：

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DOI:10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2016.01.021

文章編號：1672-6871(2016)01-0101-04

收稿日期：2015-05-15

作者簡介：劉軍娜(1977-),女,河南平頂山人,副教授,博士,研究方向為分子合成與性能模擬.

基金項目：國家自然科學 (21076063)

文獻標志碼：A

中圖分類號：O29