李靈曉,李保安

(河南科技大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，河南 洛陽 471023)

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Gardner-KP方程的孤立波解

李靈曉,李保安

(河南科技大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，河南 洛陽 471023)

摘要：行波約化后的Gardner-KP方程，通過未知函數(shù)的倒置變換，轉化為一個易于求解的非線性常微分方程(ordinary diffrential equation,ODE)。其解可選取與之緊密相關的二階線性ODE的解而得到，進而獲得Gardner-KP方程的有界鐘狀孤立波解、扭狀孤立波解、有理函數(shù)解和無界奇異孤立波解。

關鍵詞：Gardner-KP方程；未知函數(shù)倒置變換；鐘狀孤立波解；扭狀孤立波解；有理函數(shù)解；奇異孤立波解

0引言

本文研究如下形式的Gardner-KP方程[1-2]：

(ut+6uux+6βu2ux+uxxx)x+uyy=0,β=±1。

(1)

方程(1)被看作是Gardner方程[3-4]

ut+6uux+6βu2ux+uxxx=0

的一種推廣形式，后者常用來描述淺海域中的水波運動；正如KP方程[5]

(ut+6uux+uxxx)x+uyy=0，

可看作KdV方程

ut+6uux+uxxx=0

的一種推廣形式，而KdV方程常用來描述小振幅和弱色散一維波動的傳播。

當β=1，式(1)稱為正的Gardner-KP方程；當β=-1，式(1)稱為負的Gardner-KP方程。文獻[1]利用Hirota雙線性方法得到了式(1)的多孤子解。文獻[2]利用直接對稱方法又獲得了式(1)的對稱與群不變解。

在非線性科學中孤立波作為一類重要的物理現(xiàn)象，長期以來被眾多數(shù)學物理學者所研究。以往文獻獲得孤立波解的方法很多，主要有齊次平衡法[6]、F-展開法[7]、(G′/G)-展開法[8-9]和(1/G)-展開法[10]等，本文的目的是通過行波約化和未知函數(shù)倒置變換，求出Gardner-KP方程的多種孤立波解。

1行波約化與倒置變換

作行波變換：

u(x,y,t)=u(ξ),ξ=x+ky-Vt，

(2)

其中：V和k為常數(shù)。將式(2)代入式(1)，對ξ積分兩次并令積分常數(shù)為0，得到二階非線性ODE：

u″=(V-k2)u-3u2-2βu3,u→0當ξ→+∞(或-∞)。

(3)

為求解式(3)，兩邊同乘以2u′，對ξ積分一次并令積分常數(shù)為0，得到如下一階ODE：

u′2=(V-k2)u2-2u3-βu4,u→0當ξ→+∞(或-∞)。

(4)

如果u=u(ξ)滿足式(4)且u′(ξ)≠0，對ξ求導一次約去非零因子2u′，此時u=u(ξ)也滿足式(3)，從而只需求解一階非線性式(4)。

為求解式(4)，引進一個未知函數(shù)的倒置變換：

(5)

將式(5)代入式(4)得：

(6)

根據(jù)式(6)，有如下結論：當f=f(ξ)滿足

(7)

則倒置變換式(5)就是方程(4)的解。由此，為了求解方程(4)，只需求解比方程(4)簡單的式(7)。事實上，對式(7)求導一次并約去非零因子2f′，可得到一個二階線性ODE：

(8)

若f=f(ξ)滿足式(7)，它一定也滿足式(8)。反之，下面的定理將表明：可選擇式(8)的解，同時也滿足式(7)。

2方程(7)的解

由二階線性ODE的基本理論，方程(8)有以下通解：

(9)

(10)

其中：C1和C2均為任意常數(shù)。

首先，將式(9)代入到式(7)，可得定理1。

定理1 式(9)滿足方程(7)的充分必要條件是式(9)中的C1和C2滿足：

(11)

其次，將式(10)代入到式(7)，可得定理2。

定理2 式(10)滿足方程(7)的充分必要條件是式(10)中的C1和C2滿足：

(12)

根據(jù)定理1，討論下面的3種情況。

情形1當V-k2>0和1+β(V-k2)>0時，在式(11)中選取C1和C2為：

(13)

將式(13)代入式(9)可得方程(7)，當β=±1時的解為：

(14)

情形2當V-k2>0和1+β(V-k2)<0時，特別當β=-1和V-k2>1時，選取式(11)中的C1和C2滿足：

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(15)

將式(15)代入式(9)得方程(7)，當β=-1時的解為：

(16)

情形3當V-k2>0和1+β(V-k2)=0，特別當β=-1和V-k2=1時，選取式(11)中的C1和C2滿足：

(17)

將式(17)代入式(9)得方程(7)，當β=-1時的解為：

f(ξ)=1+exp(±ξ)

(18)

和

f(ξ)=1-exp(±ξ)。

(19)

根據(jù)定理2，將式(12)代入式(10)，得到方程(7)的解：

(20)

其中：C1為任意常數(shù)，且β=±1。

3Gardner-KP方程的孤立波解

(Ⅰ)將式(14)代入倒置變換式(5)，得到方程(4)的解，也就是得到了Gardner-KP方程(1)的孤立波解：

(21)

當β=1時，式(21)變成正的Gardner-KP方程的鐘狀孤立波解：

(22)

當β=-1時，式(21)變成負的Gardner-KP方程的鐘狀孤立波解：

(23)

(Ⅱ)將式(16)代入倒置變換式(5)，得到方程(4)的解，也就是得到了負的Gardner-KP方程(1)的奇異孤立波解：

(24)

(Ⅲ)將式(18)代入倒置變換式(5)，得到方程(4)的解，也就是得到了負的Gardner-KP方程(1)的扭狀孤立波解：

(25)

(Ⅳ)將式(19)代入倒置變換式(5)，得到方程(4)的解，也就是得到了負的Gardner-KP方程(1)的奇異孤立波解：

(26)

(Ⅴ)將式(20)代入倒置變換式(5)，得到方程(4)的解，也就是得到了Gardner-KP方程(1)的有理函數(shù)解：

(27)

其中：C1是任意常數(shù)。

4結論

本文嘗試利用未知函數(shù)的倒置變換，成功獲得了Gardner-KP方程的各類孤立波解。

從結果來看，Gardner-KP方程的孤立波形狀和特性依賴于行波變量ξ=x+ky-Vt中參數(shù)V、k及方程(1)中β符號的選取。

(1)當V>k2時，k為任意常數(shù)，正的Gardner-KP方程有有界鐘狀孤立波解；當V=k2時，β=1時，它有有界有理函數(shù)解(27)。

(2)當k2

(3)當V>k2+1時，Gardner-KP方程有無界奇異孤立波解(24)。

(4)當V=k2+1時，Gardner-KP方程不僅有有界扭狀孤立波解(25)，同時，式(26)表明它還有無界奇異孤立波解。

(5)當V=k2時，尤其當β=-1時，Gardner-KP方程有奇異有理函數(shù)解(27)。

致謝：本文得到王明亮教授的悉心指導與幫助，作者在此表示衷心感謝！

參考文獻：

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[10]李保安,李靈曉.(G′/G,1/G)展開法在求解非線性演化方程中的應用[J].河南科技大學學報(自然科學版),2015,36(3):90-95.

DOI:10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2016.01.020

文章編號：1672-6871(2016)01-0096-05

收稿日期：2015-07-02

作者簡介：胡妤涵(1989-),女,山西忻州人,碩士生,主要從事應用數(shù)學方面的研究.

基金項目：國家自然科學 (11171195)

文獻標志碼：A

中圖分類號：O175.2