王化琨，李春艷，陳莉莉，周亞晶

（黑龍江大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，黑龍江 哈爾濱150080）

回歸分析是研究多個(gè)變量間的非確定性關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)分析方法，它在自然科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和社會(huì)管理學(xué)等領(lǐng)域的定量分析中有著廣泛的應(yīng)用?！皯?yīng)用回歸分析”是高校統(tǒng)計(jì)學(xué)本科專(zhuān)業(yè)的必修課程，它的先修課程有高等代數(shù)、數(shù)學(xué)分析、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)等專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課?！皯?yīng)用回歸分析”的教學(xué)目的，是使學(xué)生能夠理解和掌握基本的線(xiàn)性回歸模型，并了解其他常用的回歸模型，例如嶺回歸、Logistic回歸等。通過(guò)該課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅對(duì)回歸分析的理論有所了解，而且能夠利用回歸的方法進(jìn)行數(shù)據(jù)分析、統(tǒng)計(jì)建模，解決實(shí)際問(wèn)題。

本文作者是高校數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)專(zhuān)業(yè)的專(zhuān)任教師，多年來(lái)?yè)?dān)任“應(yīng)用回歸分析”的主講教師。我們針對(duì)該門(mén)課程的特點(diǎn)，結(jié)合這些年在教學(xué)工作中發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題和積累的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)“應(yīng)用回歸分析”課程的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法做一些有益的探討。

一、理論教學(xué)內(nèi)容的改進(jìn)

根據(jù)我院統(tǒng)計(jì)學(xué)本科專(zhuān)業(yè)偏精算方向的實(shí)際情況，我們?cè)谥v授“應(yīng)用回歸分析”時(shí)，既要對(duì)回歸分析的重要理論作嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明、公式推導(dǎo)，使回歸分析的學(xué)習(xí)不失數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。但是，考慮到本科生的實(shí)際情況，對(duì)一些過(guò)于復(fù)雜的理論，我們只介紹它們的意義，并不作數(shù)學(xué)推導(dǎo)。這樣一來(lái)，我們不但降低了回歸分析理論學(xué)習(xí)的難度，而且保證了回歸理論的完整性。同時(shí)，考慮到本科層次的回歸分析的教學(xué)目的，重點(diǎn)是教授學(xué)生如何利用回歸的方法來(lái)研究變量間的數(shù)量關(guān)系。因此，我們?cè)谶x用教材上著重于回歸分析的應(yīng)用。綜合考慮這些情況，我們選用了何曉群、劉文卿著的《應(yīng)用回歸分析》這本書(shū)。在實(shí)際的講授中，對(duì)于作為回歸分析基礎(chǔ)的一元線(xiàn)性回歸和多元線(xiàn)性回歸內(nèi)容，我們?nèi)嫦到y(tǒng)地介紹了它的理論，包括定理證明、公式推導(dǎo)。這樣既訓(xùn)練了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，又加深了對(duì)線(xiàn)性回歸的理解。

另外，對(duì)于像自變量的選擇與逐步回歸、多重共線(xiàn)性等內(nèi)容，我們將教學(xué)重點(diǎn)放在學(xué)生對(duì)這些問(wèn)題的理解上。我們?cè)诮虒W(xué)中發(fā)現(xiàn)，將這些內(nèi)容與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合，更能加深學(xué)生的理解，而且有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。例如，在介紹變量的選擇這部分內(nèi)容時(shí)，我們舉了空氣污染研究中的變量選擇。該研究討論了某地區(qū)死亡率與氣候、社會(huì)經(jīng)濟(jì)和污染變量的關(guān)系。它列舉了15個(gè)可能影響死亡率的變量，分別是年平均降水量、一月份平均氣溫、七月份平均氣溫、65歲以上老年人口百分比、每戶(hù)人口數(shù)、接受學(xué)校教育年限的中位數(shù)、具有合理住宅的百分比、每平方英里的人數(shù)、非白種人的百分比、白領(lǐng)階層的百分比、低收入家庭的百分比、碳?xì)浠衔锵鄬?duì)潛在污染、氮氧化合物相對(duì)潛在污染、二氧化硫化合物相對(duì)潛在污染、相對(duì)濕度、各種原因?qū)е碌慕?jīng)過(guò)年齡修正的總死亡率等。我們不從流行病學(xué)的角度去評(píng)論，只是利用數(shù)據(jù)進(jìn)行變量選擇的示范。又如，在介紹共線(xiàn)性數(shù)據(jù)的變量選擇時(shí)，我們探討了槍械在底特律兇殺案件中的作用。根據(jù)Gunst和Mason收集的1961 ～1973年的數(shù)據(jù)，響應(yīng)變量為該城市的兇殺率，預(yù)測(cè)變量是與兇殺案相關(guān)聯(lián)或?qū)礆⒙噬仙杏绊懙淖兞?，例如，?00 ～1000人中配備的全職警察人數(shù)、失業(yè)人口百分比、制造業(yè)人口百分比等。通過(guò)實(shí)例的講解，學(xué)生對(duì)于所學(xué)的內(nèi)容的理解更加深刻，同時(shí)也接觸到一些利用回歸的方法處理實(shí)際問(wèn)題的技巧。

二、在實(shí)驗(yàn)教學(xué)中引入案例分析

回歸方法通常處理的變量的觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)量很大，手工計(jì)算回歸模型參數(shù)和檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量很困難。因此，通常需要統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行計(jì)算。在回歸分析中，常見(jiàn)的軟件有SAS、SPSS等。這些軟件都是收費(fèi)性質(zhì)的軟件，雖然軟件公司提供面向高等院校的免費(fèi)版本，但功能較為有限。考慮這樣的實(shí)際情況，我們?cè)诨貧w分析的實(shí)驗(yàn)課教學(xué)中采用了免費(fèi)開(kāi)源的統(tǒng)計(jì)軟件，R軟件。R是用于統(tǒng)計(jì)分析、繪圖的語(yǔ)言和操作環(huán)境。R是屬于GNU系統(tǒng)的一個(gè)自由、免費(fèi)、源代碼開(kāi)放的軟件，它是一個(gè)用于統(tǒng)計(jì)計(jì)算和統(tǒng)計(jì)制圖的優(yōu)秀工具。R是一套完整的數(shù)據(jù)處理、計(jì)算和制圖軟件系統(tǒng)。其功能包括：數(shù)據(jù)存儲(chǔ)和處理系統(tǒng)；數(shù)組運(yùn)算工具（其向量、矩陣運(yùn)算方面功能尤其強(qiáng)大）；完整連貫的統(tǒng)計(jì)分析工具；優(yōu)秀的統(tǒng)計(jì)制圖功能；簡(jiǎn)便而強(qiáng)大的編程語(yǔ)言：可操縱數(shù)據(jù)的輸入和輸出，可實(shí)現(xiàn)分支、循環(huán)，用戶(hù)可自定義功能。我們?cè)趯?shí)際的實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，在講解R軟件的基本操作過(guò)程中，將如何利用R語(yǔ)言建立并求解回歸模型融入其中。通過(guò)這種方式訓(xùn)練學(xué)生利用統(tǒng)計(jì)軟件解決實(shí)際問(wèn)題的能力。同時(shí)，我們?cè)谶x擇回歸模型實(shí)例時(shí)，盡量考慮社會(huì)經(jīng)濟(jì)和管理領(lǐng)域的實(shí)際問(wèn)題，選擇和教學(xué)內(nèi)容相關(guān)，同時(shí)又具有啟發(fā)性的案例。這樣，既訓(xùn)練了學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力，又鍛煉了學(xué)生對(duì)社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的理解分析能力。

三、以數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽為平臺(tái)，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力

每年一屆的大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，目前已成為全國(guó)高校規(guī)模最大的基礎(chǔ)性學(xué)科競(jìng)賽，它通常選擇在實(shí)際的社會(huì)生產(chǎn)生活或者經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中遇到的實(shí)際問(wèn)題為試題，目的是考察大學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。實(shí)際上，很多的競(jìng)賽試題都可以通過(guò)建立合適的回歸模型加以解決。我們的回歸分析開(kāi)設(shè)在每學(xué)年的上學(xué)期，恰好和數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的時(shí)間相吻合，我們?cè)诮淌诨貧w分析的同時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生報(bào)名參加該項(xiàng)賽事。我們根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，將學(xué)生適當(dāng)分組，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性和創(chuàng)造性。同時(shí)，學(xué)生在數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中也檢驗(yàn)了所學(xué)的理論知識(shí)，激發(fā)了他們的學(xué)習(xí)熱情。例如，針對(duì)建筑工程協(xié)會(huì)提供的一個(gè)由于遺漏了預(yù)測(cè)變量而造成人工的自相關(guān)現(xiàn)象的例子。該協(xié)會(huì)希望了解住房工程開(kāi)工規(guī)模與人口增長(zhǎng)的關(guān)系，其目的是為了預(yù)測(cè)建筑業(yè)的發(fā)展規(guī)模。由于客觀(guān)條件的限制，不可能知道潛在的購(gòu)房者的準(zhǔn)確數(shù)據(jù)，只能把當(dāng)?shù)氐木用駭?shù)量作為反映潛在購(gòu)房者規(guī)模的變量。收集的數(shù)據(jù)是該地區(qū)25年的資料，包括住房開(kāi)工數(shù)、人口規(guī)模等。經(jīng)過(guò)分析，一元線(xiàn)性回歸可以反映人口規(guī)模和住房需求的關(guān)系。但是，人口規(guī)模與開(kāi)工數(shù)之間的關(guān)系較為復(fù)雜，往往是住房開(kāi)工數(shù)會(huì)影響人口規(guī)模（通過(guò)人口遷移），反之不然。通過(guò)分析這個(gè)實(shí)際模型，學(xué)生接觸了現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)生活中的變量更復(fù)雜，或許有其他的變量更好地解釋開(kāi)工規(guī)模，由于忽略了這樣的變量而造成了誤差間的自相關(guān)。這些可能的潛在變量包括失業(yè)率、婚姻和家庭的社會(huì)趨向、政府的住房政策、建筑和抵押資金的供給。通過(guò)實(shí)際分析，在引入了抵押資金后，誤差的自相關(guān)性消失了，模型較好地反映了變量的關(guān)系。

四、探索科學(xué)合理的課程考試方式

應(yīng)用回歸分析是一門(mén)實(shí)踐性比較強(qiáng)的統(tǒng)計(jì)學(xué)專(zhuān)業(yè)課，在以理論教學(xué)為主的前提下，還應(yīng)與實(shí)踐教學(xué)和案例教學(xué)結(jié)合。針對(duì)該課程的特點(diǎn)，我們改變了以期末考試的“一張卷”定分?jǐn)?shù)的傳統(tǒng)考核方式。我們以期末考試與平時(shí)能力測(cè)試相結(jié)合的考試方試。其中，期末考試主要考查學(xué)生對(duì)回歸分析的基本理論和基本方法的理解掌握程度。平時(shí)能力測(cè)試包括平時(shí)作業(yè)的完成情況、上機(jī)實(shí)踐考核、實(shí)踐報(bào)告。此外，我們還建立了回歸分析教學(xué)網(wǎng)站。我們將很多相關(guān)的參考資料放到網(wǎng)站上，包括教材、參考書(shū)、參考文獻(xiàn)、教學(xué)大綱、教學(xué)計(jì)劃、多媒體課件、實(shí)驗(yàn)案例、習(xí)題和解答、教學(xué)錄像等。這樣，極大地方便了學(xué)生在課前預(yù)習(xí)和課后復(fù)習(xí)。我們利用這個(gè)網(wǎng)站，課后與學(xué)生在網(wǎng)上交流學(xué)習(xí)情況、輔導(dǎo)答疑等。學(xué)生的平時(shí)測(cè)驗(yàn)也放到網(wǎng)站上，讓學(xué)生在網(wǎng)上提交測(cè)驗(yàn)，這樣給學(xué)生充分的思考時(shí)間。在期末考試結(jié)束后，教師結(jié)合以上幾個(gè)方面的分?jǐn)?shù)，給出學(xué)生的該門(mén)課程的最終成績(jī)。

［1］何曉群，劉文卿.應(yīng)用回歸分析［M］.中國(guó)人民大學(xué)出版社，2011.

［2］Samp rit Chatter jee.例解回歸分析［M］.機(jī)械工業(yè)出版社，2013.

［3］紀(jì)躍芝，王純潔.《應(yīng)用回歸分析》的課程改革與實(shí)踐［J］.教育教學(xué)論壇，2014，（2）.

［4］黃蕊，賀樂(lè)平.關(guān)于《回歸分析》課程的教學(xué)思考［J］.新課程研究，2014，（4）.