肖斌

空間幾何體的三視圖是從三個(gè)互相垂直的方向的正投影來刻畫空間幾何體，用三個(gè)維度的平面圖形來刻畫抽象的空間圖形，是將空間圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形的重要途徑（三垂直方向）. 在這一部分的學(xué)習(xí)中，無論是從平面到空間（合成），還是從空間到平面（分解），都對空間想象能力有較高的要求. 因此，空間幾何體的三視圖承載著空間圖形與平面圖形的聯(lián)系，是每年高考的必考內(nèi)容.

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn) 掌握空間幾何體三視圖的畫法規(guī)則，能夠畫出簡單空間幾何體（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱、棱錐等的簡單組合體）的三視圖，能識別上述幾何體的三視圖所表示的空間幾何體的模型，并用三視圖解決一些簡單的綜合問題.？搖

難點(diǎn) 識別空間幾何體（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱、棱錐等的簡單組合體）的三視圖所表示的幾何體.

方法突破

一、畫空間幾何體的三視圖的基本思路

（1）掌握畫空間幾何體的三視圖的兩個(gè)基本步驟：第一步，確定三個(gè)視圖的形狀；第二步，將這三個(gè)視圖擺放在同一平面上. 在繪制三視圖時(shí)，分界線和可見輪廓線都用實(shí)線畫出，被遮擋的部分的輪廓用虛線表示出來，即“眼見為實(shí)，不見為虛”.

（2）掌握畫空間幾何體的三視圖的畫法規(guī)則：長對正、寬相等、高平齊，即正視圖和俯視圖的“長對正”，側(cè)視圖和俯視圖的“寬相等”. 正視圖和側(cè)視圖的“高平齊”.

（3）弄清三視圖與空間幾何體的幾何量之間的關(guān)系：空間幾何體的數(shù)量關(guān)系也體現(xiàn)在三視圖中，正視圖、側(cè)視圖的高就是空間幾何體的高，正視圖、俯視圖的長就是空間幾何體的最大長度，側(cè)視圖、俯視圖的寬就是空間幾何體的最大寬度. 要嚴(yán)格按照這個(gè)規(guī)則畫空間幾何體的三視圖.

二、畫空間幾何體的三視圖的基本策略

（1）理解三視圖的概念，并能恰當(dāng)選擇投影面畫出三視圖.

（2）明確平行投影的性質(zhì)并能靈活應(yīng)用：①直線或線段的平行投影仍是直線或線段；②平行直線的平行投影是平行或重合的直線；③平行于投影面的線段，它的投影與這條線段平行且等長；④與投影面平行的平面圖形，它的投影與這個(gè)圖形全等；⑤在同一直線或平行直線上，兩條線段平行投影的比等于這兩條線段的比.

（3）明確正投影的性質(zhì)并能靈活應(yīng)用. 在物體的平行投影中，如果投影線正對著投影面（即投影線與投影面垂直），這樣平行投影即為正投影. 正投影除具有平行投影的性質(zhì)外，還有如下性質(zhì)：①垂直于投影面的直線或線段的正投影是點(diǎn)；②垂直于投影面的平面圖形的正投影是直線或直線的一部分.

（4）在進(jìn)行三視圖與直觀圖的相互轉(zhuǎn)化中，應(yīng)牢記柱、錐、臺、球圖形的特征及斜二側(cè)畫法的規(guī)則和正投影的性質(zhì)，特別注意側(cè)視圖的投影方向.

（5）注意投影規(guī)律和作圖規(guī)則. 作圖要熟記投影規(guī)律：“正側(cè)一樣高，正俯一樣長，俯側(cè)一樣寬”. 作圖時(shí)切記被遮擋的部分要畫成虛線.

典例精講

一、畫圖——作出空間幾何體的三視圖

■ 一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），畫該四面體三視圖中的正視圖時(shí)，以平面zOx為投影面，則得到正視圖可以為（ ）

■

A B C D

思索 在空間直角坐標(biāo)系中，畫出這四個(gè)點(diǎn)就可發(fā)現(xiàn)所給四面體為一個(gè)正三棱錐，且以邊長為1的正方體的兩條互為異面的對角線為其相對的兩條棱，在畫線的投影時(shí)，要注意能看見的線為實(shí)線，不能看見的線為虛線.

破解 易知A正確，故選A.

二、識圖——還原空間幾何體

■ 如圖1，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，E是AB的三等分點(diǎn)，G，N是CD的三等分點(diǎn)，F(xiàn)，H分別是BC，MN的中點(diǎn)，則四棱錐A1-EFGH的側(cè)視圖為（ ）

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圖1

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A B C D

思索 已知直觀圖，求作三視圖，只需將直觀圖“壓扁”到“墻角”的三個(gè)面中即可，但要注意哪些點(diǎn)、線重合了，哪些線被遮住了，遮住的部分需畫虛線.

破解 點(diǎn)A1在地面的投影與點(diǎn)A重合，故側(cè)視圖是傾斜的三角形，另從正左方看時(shí)，側(cè)視圖是C選項(xiàng)，故選C.

■例3 某幾何體的三視圖如圖2所示，則該幾何體的表面積為（ ）

A. 54 B. 60 C. 66 D. 72

思索 解題的關(guān)鍵是通過三視圖想象原空間幾何體，其依據(jù)是三視圖的畫法規(guī)則. 由三個(gè)視圖的圖形特征及聯(lián)系，可確定原幾何體分為兩部分：下部分是三棱柱，上部分是四棱錐，三棱柱的上底面是四棱錐的一個(gè)側(cè)面，且為直角三角形，由三視圖中標(biāo)注的量可得到原幾何體中長度的度量，由此來計(jì)算其表面積.

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圖2

破解 由畫法規(guī)則還原幾何體的形狀，可知這個(gè)幾何體是一個(gè)底面為直角三角形的直三棱柱上面去掉一個(gè)三棱錐后一部分，如圖3. 其中∠BAC=90°，側(cè)面A1ACC1是矩形，其余兩個(gè)側(cè)面都是直角梯形. 由于A1C1∥AC，AC⊥AB，平面ABC⊥平面ABB1A1，所以AC⊥平面ABB1A1，A1C1⊥平面ABB1A1，所以A1C1⊥A1B1，因而△A1B1C1是直角三角形. A1B1=■=■=5，故幾何體的表面積為：S=S△ABC+S△A■B■C■+S■+S■+S■=■×3×4+■×3×5+3×5+■×（5+2）×4+■×（5+2）×5=60. 故選B.

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圖3

■ 一個(gè)四棱錐的三視圖如圖4所示，其側(cè)視圖是等邊三角形.該四棱錐的體積等于（ ）

A. ■？搖？搖？搖 B. 2■

C. 3■？搖？搖？搖 D. 6■

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