用坐標形式向量解決立體幾何問題，建立恰當?shù)目臻g坐標系是解題的關(guān)鍵之一，但試題中往往沒有明確的垂直關(guān)系，建立坐標系要通過一定的轉(zhuǎn)化、證明，難度較大，所以，一味強調(diào)坐標法會造成得分的困難，出現(xiàn)這種現(xiàn)象一是空間想象能力、幾何推理能力較差，再有就是對向量知識本質(zhì)認識不夠，若能加深對向量知識本質(zhì)的認識，適時采取非坐標形式的向量解題，就可打破立體幾何思維定式，很好地解決立體幾何問題.

用坐標形式的向量解決立體幾何問題因思路簡潔、操作容易越來越受到師生的青睞，并且也逐步成為當前高考應考的“主流”方法. 因此，許多教師無視其他方法的存在，讓學生埋頭苦練，這樣做的直接后果是導致學生解題思維的僵化，立體幾何的學習陷入死胡同. 然而，如果加深對向量知識的本質(zhì)認識，恰當利用非坐標形式的向量解題，既可避開技巧要求過高、轉(zhuǎn)化復雜的幾何法，又可以回避有時因建系困難而造成的煩瑣計算，從而打破立體幾何思維定式，很好的解決立體幾何問題：

■突破定式思維，用非坐標形式向量解決立體幾何問題

向量具有“數(shù)”與“形”的雙重身份，兼具代數(shù)的嚴謹與幾何的直觀，要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運算的幾何意義，如：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點指向末尾向量的終點的向量，我們可把這個法則稱為向量加法的多邊形法則；解題時可以將有關(guān)線、面用向量表示出來，再利用共線向量定理、共面向量定理及向量垂直的條件得到證明，這樣可以很好地避開學生感覺困難的幾何關(guān)系的論證.

例1 （2015年北京市海淀區(qū)高三期末考試）

如圖1所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1B1B為正方形，BB1C1C為菱形，∠BB1C1=60°，平面AA1B1B⊥平面BB1C1C. 設(shè)點E，F(xiàn)分別是B1C，AA1的中點，試判斷直線EF與平面ABC的位置關(guān)系，并說明理由.

■

圖1

解析：因為AA1B1B為正方形，E，F(xiàn)分別是BC1和AA1的中點，

因為■=■+■+■

=■■+■+■■

=■（■-■）+■-■■

=-■■+■，

所以■、■、■是共面向量，又EF？埭平面ABC，

所以EF∥平面ABC.

點評：本題不存在兩兩垂直的三條棱，若建立空間坐標系，需要找出一條和底面垂直的直線作為z軸，這樣會使部分點的坐標不好確定；采取幾何法，通過充分觀察幾何體的特征，可直觀地猜測出直線EF與平面ABC平行，此處難度較大，需要學生有很好的空間想象能力，接下來要在平面ABC內(nèi)找一條線段與EF平行，再通過嚴格的幾何推理與論證，也需要很好的思維能力；采取非坐標形式的向量，利用向量的加、減法的幾何意義表示為■=-■■+■，根據(jù)向量共面的條件得證.

例2 （2015年北京市朝陽區(qū)高三期末考試理科）

如圖2，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面PAB⊥底面ABCD，PA=AB，點E是PB的中點，點F在邊BC上移動，求證：AE⊥PF.

■

解析：因為底面ABCD是正方形，所以BC⊥AB.

又因為BC⊥平面PAB，又AE？奐平面PAB，

所以BC⊥AE，即■·■=0.

因為PA=AB，點E是PB的中點，

所以AE⊥PB，即■·■=0，？搖

所以■·■=■·（■+■）=■·■+■·■=0，所以AE⊥PF.

點評：本題很多學生誤認為PA⊥平面ABCD，從而建立空間坐標系，利用向量的坐標形式進行垂直的證明，以至于不能得分，利用傳統(tǒng)的幾何法，難度在于點F是棱BC上動點，確定題目中的垂直關(guān)系有一定的難度，把相關(guān)線段AE、PF用具有垂直關(guān)系的向量■，■，■來表示，再利用數(shù)量積的運算，問題便迎刃而解. 這種辦法突出了向量的相互表示和運算，避免了煩瑣的幾何推理，收到了很好的效果.

■加深對向量知識本質(zhì)的認識，合理選擇向量的基底

非坐標形式的向量解決立體幾何問題，關(guān)鍵是結(jié)合圖形選擇恰當?shù)幕?，?gòu)建基向量，利用向量加法、減法的幾何意義，把有關(guān)向量表示出來，再把有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為向量之間的運算來解決.

例3 （2015年北京市東城區(qū)期末考試理科）

如圖3，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PA=2BC=2，M為PB的中點.

■

（1）求證：AM⊥平面PBC；

（2）求二面角A-PC-B的余弦值；

（3）證明：在線段PC上存在點D，使得BD⊥AC，并求■的值.

解析：（1）因為PA⊥平面ABC，BC？奐平面ABC，

所以PA⊥BC.

因為BC⊥AB，PA∩AB=A，

所以BC⊥平面PAB.又AM？奐平面PAB，

所以AM⊥BC.

因為PA=AB，M為PB的中點，

所以AM⊥PB.

又PB∩BC=B，

所以AM⊥平面PBC.

（2）如圖4，作AF⊥PC交PC于點F，作BN⊥PC交PC于點E，

■

圖4

由已知，PB=2■，AC=■，PC=3，

在△APC中，AP=2，AC=■，∠PAC=90°，

所以AF=■，PF=■，

所以PF=■PC，cos∠APC=■.

在△PBC中，PC=3，BC=1，∠PBC=90°，

所以BE=■，CE=■，

所以CE=■CP，cos∠BCP=■.

由■=■+■=■+■■；■=■+■=■+■■，endprint

所以cos〈■，■〉=■=■=

-■.

又二面角A-PC-B為銳角，

所以，二面角A-PC-B的余弦值為■.

（3）假設(shè)在線段PC上存在點D，使得BD⊥AC且設(shè)CD=λCP，

■

圖5

所以■=■+■

=■+λ■

=■+λ（■-■）

=（1-λ）■+λ■，

同時■=■+■.

又BD⊥AC，

所以■·■=0，

又■·■=（1-λ）■·■+λ■·■+（1-λ）■2+λ■·■

=0+λ×2×2■×-■+（1-λ）+0

=1-5λ，

所以1-5λ=0，所以λ=■，所以CD=■CP.

所以在線段PC上存在點D，使得BD⊥AC. 此時，■=■.？搖

點評：向量法解決立體幾何探究性問題明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的幾何法，平時我們可以有意識地用非坐標形式的向量法解決探究問題的訓練，這樣可以很好地彌補坐標法的不足，完善數(shù)學思維，非坐標形式的向量解決立體幾何問題，關(guān)鍵是選擇合適的基底，構(gòu)建基向量，利用向量加法、減法的幾何意義，把有關(guān)向量表示出來，再把有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為向量之間的運算來解決.

■準確進行非坐標形式向量的運算，實現(xiàn)從向量結(jié)果向幾何結(jié)論的回歸

立體幾何是中學數(shù)學重要的內(nèi)容之一，是高考必考的知識點，本部知識要求學生要有很好的空間想象能力、規(guī)范表達及嚴謹?shù)膸缀瓮评砟芰?，在平時的訓練中適時地應用向量形式，特別是非向量形式的向量，再結(jié)合幾何法解決問題，會開闊學生的思路，減少幾何推理的思維量，降低難度，使問題解決避開難點，順暢自然.

例4（2011年北京高考理科）

如圖6，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°.

（1）求證：BD⊥平面PAC；

（2）若PA=AB，求PB與AC所成角的余弦值；

（3）當平面PBC與平面PDC垂直時，求PA的長.

■

圖6

解析：（1）因為四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.

又因為PA⊥平面ABCD，BD？奐平面ABCD，

所以PA⊥BD. 又PA∩AC=A，

所以BD⊥平面PAC.

（2）由圖形可知，■=■-■，■=■+■.

因為PA⊥平面ABCD，

所以PA⊥AB，PA⊥AD.

又底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，

所以■·■=■2+■·■-■·■-■·■=4+2×2×cos60°+0+0=6.

又PA=AB，所以PB2=AP2+AB2=8.

又底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，所以AC=2■，

所以cos〈■，■〉=■=■，

所以PB與AC所成角的余弦值為■.

（3）設(shè)■=p，■=q，■=r，設(shè)AP=a，

依題意，p=q=2，r=a，向量p，q的夾角為60°，r⊥p，r⊥q.

設(shè)平面PBC的法向量為m=p+xq+yr，

所以m·■=0，m·■=0，即m·q=0，m·（r-p）=0，

所以（p+xq+yr）·q=0，（p+xq+yr）·（r-q）=0.

？搖？搖又p2=4，p·q=2×2×cos60°=2，p·r=0，q·r=0，

所以2+4x=0，a2y-4-2x=0， 所以x=-■，y=■，所以m=p-■q+■r.

因為平面PBC⊥平面PDC，所以m與平面PDC是共面向量，

所以存在實數(shù)λ1，λ2，使m=λ1■+λ2■=λ1p+λ2（r-q），

即p-■q+■r=λ1p+λ2（r-q）.

所以λ1=1，λ2=-■，-λ2=■，

所以■=■，所以a2=6，

所以，PA的長為■.

點評：本題的第三問是逆向思維的問題，利用平面PBC與平面PDC垂直反推棱PA的長，用坐標形式的向量求解，建立空間坐標系會把PB，PD，PA所在直線作為x，y，z軸造成錯誤. 若坐標系建得正確，求相關(guān)點的坐標又容易求錯，采取非坐標形式的向量求出其中一個平面的法向量，利用此法向量和另一個平面是共面向量求出棱PA的長. 證明點共面則問題可轉(zhuǎn)化為證明向量共面問題，如要證明P，A，B，C四點共面，只要能證明■=x■+y■或?qū)臻g任一點O，有■=■+x■+y■或■=x■+y■+z■（x+y+z=1）即可. 共面向量定理實際上也是三個非零向量所在直線共面的充要條件.

例5 （2011年廣東高考試題理科）

在椎體P-ABCD中，ABCD是邊長為1的菱形，且∠DAB=60，PA=PD=■，PB=2， E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點.

■

（1）證明：AD⊥平面DEF；

（2）求二面角P-AD-B的余弦值.

解析：（1）設(shè)∠PAD=α，∠PAB=β，

在△PAD中，由PA=PD=■，AD=1，

所以cosα=■.

又在△PAB中，PA=■，PB=2，AB=1，

所以cosβ=-■.

設(shè)■=a，■=b，■=c，由已知，a=■，b=c=1，

則a·b=■×1×-■= -■，同理，a·c=■，b·c=■.

（1）因為■=■+■■=b-■c，endprint

又■=■+■■=■+■（■+■+■）=■a+■b-■c，

所以■·■=c·b-■c=■-■×12=0，

所以AD⊥DE.

又■·■=c·■a+■b-■c=■×■+■×■-■×1=0，

所以AD⊥DF.

又DE∩DF=D，所以AD⊥平面DEF.

（2）設(shè)平面ADB的法向量為n=a+x1b+y1c，

由n·■=0，有a·c+x1b·c+y1c2=0，

所以x1+2y1+1=0？搖①.

由n·■=0，

有a·b+x1b2+y1c·b=0，

所以2x1+y1-1=0？搖②.

聯(lián)立①②有，x1=1，y1=-1，

所以n=a+b-c.

設(shè)平面PCD的法向量為m=a+x2b+y2c，

由m·■=0，有a2+x2b·a+y2c·a=0，

所以x2-y2-4=0 ③.

由m·■=0，有a·c+x2b·c+y2c2=0，

所以x2+2y2+1=0？搖④.

聯(lián)立③④有，x2=■，y2=-■，

所以m=a+■b-■c.

所以cos〈n，m〉=■=■=■.

？搖？搖又二面角P-AD-B為鈍角，所以二面角P-AD-B的余弦值-■.

點評：在建立空間坐標系困難較大的情況下，可選擇一組基底，運用空間向量基本定理將有關(guān)線、面用空間向量表示，尋求非向量解法；空間向量基本定理告訴我們用空間任意三個不共面的向量（基底）可以線性表示空間中的任意一個向量（包括法向量），并且表示是唯一的，基底的選取是解決題的前提和基礎(chǔ)，一般選擇邊、角均為已知（或簡單可求）的棱作為基底，如本題中選擇（■，■，■）或（■，■，■）為基底，運用向量的有關(guān)知識表示相關(guān)的點、線、面，問題便迎刃而解.

向量作為一種數(shù)學工具，它既具有代數(shù)的運算又具有幾何推理的功能，利用向量的幾何意義和運算可以很方便地解決立體幾何中的很多問題，不可否定，用空間向量解決立體幾何問題，我們首選的是向量的坐標形式，然而，適時地應用非坐標形式的向量，既可以避免煩瑣的運算，減少推理論證的難度，降低運算量，又可降低對空間想象能力的要求，解題方法新穎，對提高學生的分析問題和解決問題的能力及增強學生的創(chuàng)新意識具有重要意義. ■endprint