趙銀倉

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.

1. （理）已知全集U=R，S={xx=2t}，T={xln（x-1）<0，則S∩T等于（ ）

A. ■ B. {x0

C. {x0

（文）定義A-B={xx∈A，且x？埸B}. 若M={1，2，3，4， 5}，N={2，3，6}，則M-N等于（ ）

A. M B. N C. {6} D. {1，4，5}

2. （理）設(shè)復(fù)數(shù)e■=cosθ+isinθ，則復(fù)數(shù)e■的虛部為（ ）

A. ■ B. ■ C. ■i？搖 D. ■i

（文）已知■=1-ni，其中m，n是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位，則m+n？搖等于（ ）

A. 3 B. 2 C. 1 D. -1

3. 若a=■，sinα，b=cosα，■，且a∥b，則銳角α等于（ ）

A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°

4. 下列命題中，其中假命題是（ ）

A. 對分類變量X與Y的隨機(jī)變量K2的觀測值k來說，k越小，“X與Y有關(guān)系”可信程度越大

B. 用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果時(shí)，R2的值越大，說明模型擬合的效果越好

C. 兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近1

D. 三維柱形圖中柱的高度表示的是各分類變量的頻數(shù)

5. 若Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且S8-S3=10，則S11的值為（ ）

A. 12 B. 18 C. 22 D. 44

6. （理）設(shè)x，y滿足約束條件3x-y-6≤0，x-y+2≥0，x≥0，y≥0，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a>0，b>0）的最大值為12，則■+■的最小值為（ ）

A. ■ B. ■ C. ■ D. 25

（文）已知橢圓C：■+■=1（a>b>0）的離心率為■. 雙曲線x2-y2=1的漸近線與橢圓C有四個(gè)交點(diǎn)，以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，則橢圓C的方程為（ ）

A. ■+■=1 B. ■+■=1

C. ■+■=1 D. ■+■=1

7. （理）設(shè)集合S={A0，A1，A2}，在S上定義運(yùn)算⊕：Ai⊕Aj=Ak，其中k為i+j被3除的余數(shù)，則使關(guān)系式（Ai⊕Aj）⊕Ai=A0成立的有序數(shù)對（i，j）總共有（ ）

A. 1對 B. 2對 C. 3對 D. 4對

（文）同理科第6題.

8. （理）如圖1，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：■-■=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)，B是虛軸的端點(diǎn)，直線F1B與C的兩條漸近線分別交于P，Q兩點(diǎn)，線段PQ的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)M. 若MF2=F1F2，則C的離心率是（ ）

A. ■ B. ■ C. ■ D. ■

（文）已知y=f（x）是二次函數(shù)，若x=1是函數(shù)y=f（x）ex的一個(gè)極值點(diǎn)，則下列函數(shù)圖象不可能為y=f（x）的圖象的是（ ）

■

A B C D

二、填空題：本大題共8小題，考生作答7小題，每小題5分，共35分.

（一）選做題（請理科考生在9、10、11三題中任選兩題作答，如果全做，則按前兩題記分；請文科考生在9、10兩題中任選一題作答，如果全做，則按第9題記分）

9. （理）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1和C2的參數(shù)方程分別為x=t，y=■（t為參數(shù)）和x=■cosθ，y=■sinθ（θ為參數(shù)），則曲線C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)為________.

（文）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講）直線2ρcosθ=1與圓ρ=2cosθ相交的弦長為___________.

10. （幾何證明選講）如圖2，點(diǎn)D在圓O的弦AB上移動(dòng)， AB=4，連結(jié)OD，過點(diǎn)D作OD的垂線交圓O于點(diǎn)C，則CD的最大值為__________.？搖

11. （理）（不等式選講）若存在實(shí)數(shù)x使x-a+x-1≤3成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.

（二）必做題（理科12～16題；文科11～16題）

11. （文）學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生在課外讀物方面的支出情況，抽出了一個(gè)容量為n的樣本，其頻率分布直方圖如圖3所示，若已知其中支出在[40，50）元的同學(xué)有39人，則n的值為_________.

12. 執(zhí)行如圖4所示的程序框圖，則輸出的S的值為_________.

13. 有下列四個(gè)命題：

①？堝x0∈R，e■≤0；

②？坌x∈R，2x>x2；？搖

③a+b=0的充要條件是■=-1；

④a>1，b>1是ab>1的充分條件.

其中真命題是________.

14. 已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC=2，則此棱錐的體積為____________.

15. （理）設(shè)點(diǎn)P在曲線y=■ex上，點(diǎn)Q在曲線y=ln（2x）上，則PQ的最小值為_________.

（文）定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+6）=f（x）. 當(dāng)-3≤x<-1時(shí)，f（x）=-（x+2）2；當(dāng)-1≤x<3時(shí)，f（x）=x. 則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）=_________.

16. （理）C為線段AB上的中點(diǎn)，P為直線AB外一點(diǎn)，滿足■=■=3，■-■=4，■=λ■，■=■+m■+■，m>0，則λ=_________.

（文）如圖5，命題：點(diǎn)A1，A2是線段AB的三等分點(diǎn)，則有■+■=■+■. 現(xiàn)把此命題推廣：設(shè)點(diǎn)A1，A2，A3，…，An-1是AB的n等分點(diǎn)（n≥3），則有■+■+…+■=_______（■+■）.

三、解答題：本大題共6小題，共75分.

17. （本小題滿分12分）已知向量m=（■sin2x+2，cosx），n=（1，2cosx），設(shè)函數(shù)f（x）=m·n.

（1）求f（x）的最小正周期與單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若f（A）=4，b=1，△ABC的面積為■，求a的值.

18. （本小題滿分12分）（理）為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽取14件和5件，測量產(chǎn)品中微量元素x，y的含量（單位：毫克）. 下表是乙廠的5件產(chǎn)品的測量數(shù)據(jù)：

■

（1）已知甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共有98件，求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量；

（2）當(dāng)產(chǎn)品中的微量元素x，y滿足x≥175且y≥75時(shí)，該產(chǎn)品為優(yōu)等品. 用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量；

（3）從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)ξ的分布列及其均值（即數(shù)學(xué)期望）.

（文）在某次測驗(yàn)中，有6位同學(xué)的平均成績?yōu)?5分. 用xn表示編號為n（n=1，2，…，6）的同學(xué)所得成績，且前5位同學(xué)的成績?nèi)缦拢?/p>

■

（1）求第6位同學(xué)的成績x6，及這6位同學(xué)成績的標(biāo)準(zhǔn)差s；

（2）從前5位同學(xué)中，隨機(jī)地選取2位同學(xué)，求恰有1位同學(xué)成績在區(qū)間（68，75）中的概率.

19. （本小題滿分12分）（理）一個(gè)四棱錐的直觀圖和三視圖如圖6和圖7所示，E為側(cè)棱PD的中點(diǎn).

（1）指出幾何體的主要特征（高及底的形狀）；

（2）求證：PB∥平面AEC；

（3）若F為側(cè)棱PA上的一點(diǎn)，且■=λ，則λ為何值時(shí)，PA⊥平面BDF？并求此時(shí)直線EC與平面BDF所成角的正弦值.

（文）如圖8，在五面體ABCDEF中，AD∥BE∥CF，且AD⊥平面ABC，H為CF的中點(diǎn)，G為AB上的一點(diǎn)，AG=λAB（0<λ<1），其俯視圖和側(cè)視圖分別如下.？搖

（1）試證：當(dāng)λ=■時(shí)，AB⊥GH且GH∥平面DEF；

（2）對于0<λ<1的任意λ，是否總有GH∥平面DEF？若是，請予以證明；若否，請說明理由.

■

圖8

20. （本小題滿分13分）（理）設(shè)拋物線C：x2=2py（p>0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A∈C，已知以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓F交l于B，D兩點(diǎn).

（1）若∠BFD=90°，△ABD的面積為4■，求p的值及圓F的方程；

（2）若A，B，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線m上，直線n與m平行，且n與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，求坐標(biāo)原點(diǎn)到m，n距離的比值.

（文）某工廠生產(chǎn)一種儀器的元件，由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平等因素的限制，會(huì)產(chǎn)生一些次品，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道，次品數(shù)P（萬件）與日產(chǎn)量x（萬件）之間滿足關(guān)系：P=■x2，1≤x<4，x+■-■，x≥4.已知每生產(chǎn)1萬件合格的元件可以贏利2萬元，但每生產(chǎn)1萬件次品將虧損1萬元. （利潤=贏利-虧損）

（1）試將該工廠每天生產(chǎn)這種元件的利潤T（萬元）表示為日產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)；

（2）當(dāng)工廠將這種儀器的元件的日產(chǎn)量x定為多少時(shí)獲得的利潤最大，最大利潤為多少？

21. （本小題滿分13分）（理）已知函數(shù)f（x）=2a2lnx-x2（常數(shù)a>0）.

（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；

（2）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，e2）上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（文）同理科第20題.

22. （本小題滿分13分）（理）已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1=2，公比為q（q為正整數(shù)），且滿足3a3是8a1與a5的等差中項(xiàng)；數(shù)列{bn}滿足2n2-（t+bn）n+■bn=0（t∈R，n∈N*）.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）試確定t的值，使得數(shù)列{bn}為等差數(shù)列；

（3）當(dāng){bn}為等差數(shù)列時(shí)，對任意正整數(shù)k，在ak與ak+1之間插入b■k個(gè)2，得到一個(gè)新數(shù)列{cn}. 設(shè)T■n是數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和，試求滿足Tm=2cm+1的所有正整數(shù)m的值.

（文）形如a bc d的式子叫做二行二列矩陣，定義矩陣的一種運(yùn)算a bc d·xy=ax+bycx+dy. 該運(yùn)算的幾何意義為平面上的點(diǎn)（x，y）在矩陣a bc d的作用下變換成點(diǎn)（ax+by，cx+dy）.

（1）設(shè)點(diǎn)M（-2，1）在0 11 0的作用下變換成點(diǎn)M′，求點(diǎn)M′的坐標(biāo)；

（2）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且對任意正整數(shù)n，點(diǎn)A（Sn，n）在0 11 0的作用下變換成的點(diǎn)A′在函數(shù)f（x）=x2+x的圖象上，求an的表達(dá)式；

（3）在（2）的條件下，設(shè)bn為數(shù)列1-■的前n項(xiàng)的積，是否存在實(shí)數(shù)a使得不等式？搖bn■