孫德順，蘇永美

(北京科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,北京 100083)

一般函數(shù)的計算機病毒模型最優(yōu)控制

孫德順，蘇永美

(北京科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,北京 100083)

摘要：研究一類改進的一般函數(shù)的計算機病毒模型，并引入殺毒軟件作為系統(tǒng)的控制變量，應(yīng)用極小值原理，得到一個時變的最優(yōu)控制策略。時變的控制策略不但能夠使得購買殺毒軟件及其更新的費用最小,而且能將被感染的計算機的數(shù)目降到最低。數(shù)值模擬顯示：在控制的這段時間內(nèi)，并不需要一直保持最大的效力。

關(guān)鍵詞：計算機病毒;一般函數(shù);最優(yōu)控制;數(shù)值模擬

基金項目：國家自然科學(xué)基金項目(61074192,11101028)

作者簡介：孫德順(1990-),男,山東臨沂人,碩士生;蘇永美(1971-),女,山東臨沂人,副教授,博士,碩士生導(dǎo)師,主要從事常微分方程定性與穩(wěn)定性分析,生物數(shù)學(xué)模型、計算機模型的最優(yōu)控制方面的研究.

收稿日期：2014-09-05

文章編號：1672-6871(2015)02-0096-04

中圖分類號：O175.12

文獻標志碼：志碼：A

0引言

計算機病毒通過各種渠道，從已被感染的計算機擴散到未被感染的計算機,其破壞性及傳染性對社會造成極大的傷害，僅2008年，計算機病毒在全球造成的經(jīng)濟損失就高達85億美元?？紤]到計算機病毒和生物學(xué)病毒[1-3]有很高的相似性，相應(yīng)的計算機病毒模型[4-8]被提出，通過研究其動力學(xué)特性，從而找到能有效控制病毒在網(wǎng)絡(luò)中傳播的方法。

自極小值原理被提出以來，最優(yōu)控制理論得到了極大的發(fā)展，在控制生物學(xué)病毒的傳播上得到了廣泛的應(yīng)用，但是在計算機病毒最優(yōu)控制方面卻研究的很少。文獻[9-10]利用控制理論研究計算機病毒模型，但都是基于雙線性函數(shù)和具體函數(shù)的研究。本文利用最優(yōu)控制理論的方法，在文獻[11]提出的模型基礎(chǔ)上進行研究。通過引入控制變量，提出目標函數(shù)，轉(zhuǎn)化為最優(yōu)控制的問題，并以數(shù)值模擬驗證其正確性。

1模型

所有計算機分為易感染病毒計算機S，已感染病毒計算機I,獲得暫時性免疫計算機R。本文根據(jù)文獻[11]，提出帶有控制的計算機病毒模型如下:

(1)

在文獻[11]中,p為免疫率;b為入網(wǎng)率;考慮到殺毒軟件的存在，每臺易感染病毒計算機S都獲得暫時性免疫，此時的免疫率為α1;μ為斷網(wǎng)率;γ為暫時性免疫計算機R重新成為易感染病毒計算機的比率;γ2為已感染病毒計算機成為易感染病毒計算的殺毒率;α為已感染病毒計算機獲得免疫的免疫率;由于已感染病毒計算機的侵入，t時刻每臺易感染病毒計算機S的感染率為βI/f(I)。文獻[11]中的字母表示和本文模型中字母具有相同的意義。但是在實際情況中，用戶可以通過操作殺毒軟件來控制感染病毒的計算機數(shù)目，而文獻[11]中殺毒率γ2和α是常數(shù)，不能很好地反映人為操作殺毒軟件的作用。因此，本文在文獻[11]的基礎(chǔ)上進行改進，將常數(shù)γ2和α改成控制變量函數(shù)ωu(t)和(1-ω)u(t)，這里u(t)代表殺毒率。根據(jù)文獻[12]，標準發(fā)生率更加符合實際情況，所以本文將一般發(fā)生率f(I)改為f(S,I)。

2最優(yōu)控制問題

根據(jù)龐德里亞金的極小值原理，需要在系統(tǒng) (1)上建立一個最優(yōu)控制系統(tǒng)來控制病毒的傳播。為了建立最優(yōu)控制系統(tǒng)，對于給定的整數(shù)T>0，選擇下面的集合作為控制集：

U={u(t)∈L2(0,T):0≤u(t)≤1,0≤t≤T}，

(2)

其中，控制變量u(t)可以通過更新殺毒軟件，將感染病毒的計算機數(shù)目降低到一個較低水平甚至幾乎為0。

目標泛函定義為：

(3)

其中：t0為控制的起始時刻;tf為控制的終點時刻;S11、R11、Q11表示對應(yīng)變量的權(quán)重。給定初始條件為：

S(t0)=S0,I(t0)=I0,R(t0)=R0。

(4)

選取上述的目標函數(shù)J(u(t))是為了既能保證將受感染的計算機的數(shù)量控制到最低水平，同時也可以保證為此而購買的殺毒軟件和軟件的更新費用最少。

為了找到目標泛函的最小值，定義Hamiltonian函數(shù)[13]如下：

(5)

最優(yōu)控制的存在性證明。由文獻[14]，且方程(1)~方程(3)滿足如下條件：

(Ⅰ)控制集和相對應(yīng)的狀態(tài)變量集為非空集合。

(Ⅱ)可測集U是閉的凸集。

(Ⅲ)系統(tǒng)(1)方程的右邊關(guān)于u的線性函數(shù)，并且是連續(xù)有界的。

(Ⅳ)目標泛函的被積函數(shù)L(I,u)在U上是凹函數(shù)。

綜上所述，系統(tǒng)(1)存在最優(yōu)控制。

利用龐德里亞金的極小值原理求出最優(yōu)控制的必要條件如下[13]：

(Ⅱ)斜狀態(tài)方程：

(Ⅲ)橫截條件：λi(T)=0，i=1，2，3。

(Ⅳ)邊界條件：S(t0)=S0,I(t0)=I0,R(t0)=R0。

因為假定控制的范圍是0≤u(t)≤1，本文得到最優(yōu)控制變量如下：

3數(shù)值模擬

根據(jù)前面的理論分析，通過數(shù)值模擬來驗證使用適當?shù)目刂撇呗灾螅嬎銠C病毒傳播將得到有效控制。此外，將殺毒率分別是常數(shù)和變量函數(shù)進行比較，通過數(shù)值模擬得到：時變的最優(yōu)控制模型能夠更加有效地抑制計算機的感染和病毒的傳播。

數(shù)值模擬選取如下參數(shù)：p=0.1，b=5，α1=0.1，μ=0.003，β=0.038，γ=0.6，γ1=0.01，γ2=0.003，ω=0.5;初值選?。篠(0)=800，I(0)=200，R(0)=50。 控制的時間t0=0，tf=100，S11=0，Q11=1 000，R11=5 000。

圖1為在有無控制條件下，未感染、易感染和免疫的計算機數(shù)量的變化趨勢和控制量。

圖1　在有無控制條件下，未感染、易感染和免疫的計算機數(shù)量的變化趨勢以及控制量

由圖1可看出：在經(jīng)過如圖1d的控制量的條件下，計算機病毒的蔓延和傳播得到了有效的控制。通過圖1a可明顯看到：在沒有有效控制的條件下，易感染的計算機數(shù)量是明顯下降的，甚至接近600，而在經(jīng)過控制的條件下，易感染計算機的數(shù)量(也就是健康的計算機數(shù)量)是逐漸增加的。圖1b中顯示的是被感染的計算機的數(shù)量，同樣的，在沒有控制的條件下，感染的計算機數(shù)量幾乎呈直線上升，如果是這樣，造成的后果將不可估量。加入了控制，也就是殺毒軟件，在前5天被感染的計算機數(shù)量就降下來了。同樣對于圖1c，在加入控制之后的免疫的計算機較以往也是有所提升。圖1d表示最優(yōu)控制量的變化趨勢。通過圖1d可以看到：在控制的前42天需要保持控制的最大效力，從第42天到第55天，控制逐漸降到極小值;而再從第55天到第100天，控制的效力維持在0.15，也就是說只需維持一個低的效力就能保證計算機都是健康的。

4結(jié)論

在有最優(yōu)控制條件下，易感染的計算機的數(shù)量和被感染的計算機的數(shù)量趨勢是符合目標函數(shù)的預(yù)期，而在沒有控制的條件下，計算機病毒的傳播無法被控制。從控制量的走勢也可以明顯看到：并不需要一直持續(xù)的最大效力，就可以將計算機病毒的傳播控制住。這也是符合最優(yōu)控制的目標：在費用最小的前提下，被感染的計算機的數(shù)量最少。

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