王　坤，王　丹，張　蕊

(燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004)

多時變時滯不確定系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性

王坤，王丹，張蕊

(燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004)

摘要：研究了一類不確定多時變時滯系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問題。通過選取適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)，利用Jensen不等式和Schur引理，推導(dǎo)出了此類多時變時滯廣義系統(tǒng)漸進穩(wěn)定的充分條件。最后，通過線性矩陣不等式(LMI)工具箱進行了數(shù)值仿真，驗證了該方法的可行性和有效性。

關(guān)鍵詞：多時變時滯；不確定性；廣義系統(tǒng)；漸進穩(wěn)定

基金項目：國家自然科學(xué)基金項目(60934003)

作者簡介：王坤(1960-),男,河北秦皇島人,教授,博士,主要從事非線性系統(tǒng)方面的研究.

收稿日期：2014-04-02

文章編號：1672-6871(2015)02-0060-05

中圖分類號：TP273

文獻標(biāo)志碼：標(biāo)志碼：A

0引言

不確定性和時滯性在實際系統(tǒng)中是普遍存在的[1-2]，也是導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定和性能指標(biāo)下降的主要原因，所以對不確定時滯系統(tǒng)的研究是非常必要的。廣義系統(tǒng)相對于其他系統(tǒng)更能準(zhǔn)確地描述實際動態(tài)系統(tǒng)并且廣泛出現(xiàn)在現(xiàn)代工程系統(tǒng)中，因此，近些年對于不確定廣義系統(tǒng)的研究引起了眾多國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注[3-6]。文獻[4]針對一類具有范數(shù)有界不確定性和多狀態(tài)滯后的廣義系統(tǒng)，研究了存在攝動時，系統(tǒng)的非脆弱H∞保性能控制。文獻[7]針對一類李普希茨非線性時滯系統(tǒng)，提出了一種基于線性矩陣不等式設(shè)計狀態(tài)觀測器的方法。文獻[8]研究了時滯是多個的一類系統(tǒng)的H∞反饋控制問題。文獻[9]考慮了同時具有多重時滯和非線性擾動項時，系統(tǒng)的魯棒預(yù)測控制器的設(shè)計方法。文獻[10]討論了同時帶有輸入時滯和狀態(tài)時滯的線性不確定系統(tǒng)，研究了此類系統(tǒng)在自適應(yīng)控制器作用下漸進穩(wěn)定的條件。

本文基于Lyapunov穩(wěn)定性理論以及已有文獻的研究成果，利用Jensen不等式和Schur引理，分別研究了確定性多時變時滯和不確定多時變時滯廣義系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問題。

1系統(tǒng)描述及引理

考慮下面不確定多時變時滯系統(tǒng)：

(1)

[△A(t)△Ai(t)]=E1F(t)[HHi]，i=1,…,k，

(2)

式中：E1、Hi分別為已知的常矩陣；F(t)為時變的不確定矩陣，滿足FT(t)F(t)≤I。

為簡單起見，記f(t):=f(t,x(t),x(t-τ1(t)),…,x(t-τk(t)))，并且f(t)滿足：

(3)

式中，G為給定的常矩陣。

引理1x和y分別為n維的實列向量，λ為不為0的實數(shù)，則有：

2xTy≤λ-1xTx+λyTy。

引理2已知Y為對稱矩陣，D和E是已知的常矩陣，且FTF≤I，則Y+DFE+ETFTDT<0成立的充分必要條件為Y+εDDT+ε-1ETE<0成立，其中ε>0。

(Ⅰ)S<0。

2主要結(jié)果

首先研究閉環(huán)系統(tǒng)(1)的不確定項△A,△Ai(i=1,…,k)為0，即

(4)

的魯棒漸進穩(wěn)定性。

定理1對于給定的正數(shù)γ>0，若能找到正定矩陣Ri>0(i=1,…,k)和可逆矩陣P有下面的不等式成立：

ETP=PTE≥0；

(5)

(6)

則系統(tǒng)(4)是漸進穩(wěn)定的。

證明先證系統(tǒng)在無干擾作用下的漸進穩(wěn)定性。

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)：

應(yīng)用Jensen不等式，將Lyapunov函數(shù)沿著閉環(huán)系統(tǒng)(4)兩端對t求導(dǎo)，得：

(1-η1)xT(t-d1(t))R1x(t-d1(t))+…+

xT(t)Rkx(t)-(1-ηk)xT(t-dk(t))Rkx(t-dk(t))≤

(7)

由引理1可知：

f T(t)Px(t)+xT(t)PTf(t)=2f T(t)Px(t)≤f T(t)f(t)+xT(t)PTPx(t)。

(8)

f T(t)f(t)≤xT(t)GTGx(t)。

(9)

將式(8)和式(9)代入式(7)中，令

其中，ξT(t)=[xT(t) xT(t-d1(t)) … xT(t-dk(t))]。

由矩陣不等式和Schur引理有：

定理1只是給出了當(dāng)不確定項為0時，系統(tǒng)(1)漸進穩(wěn)定的充分條件，而這只是一個特殊的情況。對于一般情況(即不確定項不為0時)，應(yīng)用定理1中的不等式求解會很困難，故下面的定理2給出了定理1的等價結(jié)論，并且可以利用線性矩陣不等式(LMI)工具箱求解。

定理2對于多時變時滯廣義系統(tǒng)(1)，如果存在實數(shù)εi>0 (i=1,…,k),矩陣Ri>0 (i=1,…,k)和可逆矩陣X，有下面的不等式成立：

ETX-1=X-TE≥0 ;

(10)

(11)

其中：

則系統(tǒng)(1)是漸進穩(wěn)定的。

證明當(dāng)不確定項不為0時，用A+△A，Ai+△Ai(i=1,…,k)分別代替式(6)中的A,Ai，經(jīng)過整理，令

其中：

Ω2=△ATP+PT△A。

所以式(6)可以等價變形為：

Y+Y1<0。

(12)

式(12)可以寫成：

(13)

應(yīng)用引理2，式(13)等價于下面的不等式：

(14)

其中，

利用引理3，式(13)等價于：

(15)

其中,

用矩陣diag[P-TI … I]和矩陣diag[P-1I … I]分別左乘和右乘式(14)，令X=P-1，代入到式(5)中，于是便可以得到式(10)和式(11)，故定理2得證。

3仿真實例

例1考慮多時變時滯系統(tǒng)(4)，以i=1,2為例，設(shè)定參數(shù)如下:

給定η1=0.8,η2=0.72,根據(jù)給定的參數(shù)以及定理1，利用LMI工具箱中的Feasp求解器進行求解，可知本文中的線性矩陣不等式是可行的，并且得到一個可行解：

例2考慮多時變時滯系統(tǒng)(1)，以i=1為例，設(shè)定參數(shù)如下:

給定ε=0.6，η1=0.72，根據(jù)給定參數(shù)以及定理2，利用Matlab中LMI工具箱求解，得到：

圖1　系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)圖

數(shù)據(jù)仿真結(jié)果如圖1所示，仿真結(jié)果表明所研究的系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的。

4結(jié)束語

本文研究了不確定多時變時滯廣義系統(tǒng)的漸進穩(wěn)定性問題，通過選取適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)，結(jié)合Lyapunov穩(wěn)定性理論，得到了使得此類系統(tǒng)漸進穩(wěn)定的充分條件；最后利用數(shù)值算例及圖形仿真驗證了該方法的有效性。但是，多時變時滯廣義系統(tǒng)的魯棒問題涉及的領(lǐng)域很多，包含的內(nèi)容很廣，本文在先前發(fā)表的研究成果上，增加了多時變時滯項，使得此系統(tǒng)更加具有普遍性。在此后的研究中，可以在本文的基礎(chǔ)上，設(shè)計一個適當(dāng)形式的無記憶狀態(tài)反饋控制器，并且通過證明給出控制器的一般形式。

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