郭艷芳，馮志剛

(江蘇大學 理學院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

離散曲面變差的計算

郭艷芳，馮志剛

(江蘇大學 理學院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

摘要：在連續(xù)函數(shù)變差相關理論基礎上，為了更好地描繪實驗或?qū)嶋H測得的曲面數(shù)據(jù)，本文引入離散曲面變差的概念，并提出了離散曲面變差的計算方法。針對兩組不同的離散曲面數(shù)據(jù),計算它們在不同尺度下的變差以及尺度和變差的雙對數(shù)圖，比較了兩組離散曲面的維數(shù)與變差關系。研究結(jié)果表明：本文提出的離散曲面變差的計算方法是可行的，可以作為計算離散曲面變差的一種方法。

關鍵詞：二元連續(xù)函數(shù);離散曲面;振幅;變差

基金項目：國家自然科學基金項目(51079064)

作者簡介：郭艷芳(1988-),女,山西呂梁人,碩士生;馮志剛(1962-),男,江蘇常州人,教授,碩士生導師,主要從事分形幾何理論的研究.

收稿日期：2014-07-04

文章編號：1672-6871(2015)02-0088-04

中圖分類號：O244

文獻標志碼：志碼：A

0引言

變差[1-4]作為刻畫曲面粗糙度的一種重要參數(shù)，可以用來研究各種尺度下函數(shù)的粗糙度，而粗糙度在材料學、力學等學科中有著非常廣泛的應用。研究自然界中各種材料、巖石、零件間的裂紋、斷裂面的粗糙度，對研究裂紋的萌發(fā)、擴展以及最后導致材料斷裂破壞這一整個過程的本質(zhì)規(guī)律起著十分重要的作用。大量的研究已經(jīng)證實斷層、裂隙和節(jié)理的粗糙度，在采礦工程和土木工程中經(jīng)常發(fā)生的滑坡及冒頂這些災害性事故的發(fā)生中起著十分重要的作用。

文獻[5]給出了連續(xù)函數(shù)的變差概念，對于連續(xù)函數(shù)f：I→，設δ>0，t∈I，稱

為f基于I在點t的δ-振幅，稱Vf,δ(I)=∫IOf,δ(t)dt為函數(shù)f在I上的δ-變差。

文獻[5]還研究了連續(xù)函數(shù)的δ-變差的性質(zhì)，并給出二維平面上連續(xù)函數(shù)圖像的計盒維數(shù)的計算公式，即設f:I→為連續(xù)函數(shù)，Γ(f,I)為f在I上的圖像，則

文獻[6]定義了三維空間中曲線的變差。而文獻[7]在變差的基礎上給出了三維空間中函數(shù)圖像的計盒維數(shù)的公式。文獻[8-9]介紹了二元連續(xù)函數(shù)的振幅和變差。對于在D上連續(xù)的函數(shù)y=f(x,y)，設I=[a,b],J=[c,d]是的子集，D=I×J是2上的區(qū)域，δ、γ是非負實數(shù)；對任何(x,y)∈D,函數(shù)f(x,y)在點(x,y)∈D的(δ,γ)-振幅，記為(x,y)，簡記為Of;δ,γ(x,y)。且

其中，D[x,y;δ,γ]=D∩([x-δ,x+δ]×[y-γ,y+γ])。函數(shù)f在區(qū)域D上的(δ,γ)-變差，記為Vf;δ,γ(x,y)，且

Vf;δ,γ(x,y)=?DOf;δ,γ(x,y)dxdy，

并證明了變差的一些性質(zhì)，通過連續(xù)函數(shù)圖像的計盒維數(shù)和它的變差之間的聯(lián)系，得出了分形插值曲面的計盒維數(shù)公式[7-13]:

(1)

其中，G((xi,yj),γk)=([xi-γk,xi+γk]×[yj-γk,yj+γk])∩G。

離散曲面S:{(xi,yj,zij):i=1,2,…,m;j=1,2,…,n}的γk-變差為Vs(γk)，且

(2)

接著給出了離散曲面變差的計算方法，該方法在求尺度較大的離散曲面的變差時，有著明顯的優(yōu)勢。例如：求離散曲面S中點(xi,yj)的γk-振幅，只需比較(xi-γk-1,yj-γk-1)，(xi-γk-1,yj+γk-1)，(xi+γk-1,yj-γk-1)，(xi+γk-1,yj+γk-1)4點的最大值、最小值，不需要通過比較[xi-γk,xi+γk]×[yj-γk,yj+γk]中每一點的最大值、最小值求出每一點在尺度γk下的振幅，進而求出在尺度γk下的變差。

1離散曲面的變差計算

本文只討論當曲面數(shù)據(jù)等距時，離散曲面的變差計算。

當曲面數(shù)據(jù)等距時，即xi-xi-1=yj-yj-1=ρ(常數(shù))，i=2,3,…,m;j=2,3,…,n。由曲面數(shù)據(jù)的離散特征，離散曲面的尺度γk可以取ρ的整數(shù)倍，特別地，可以取2進制的倍數(shù)γk=2kρ。其中，k∈Z，且0≤k≤log2max{m-1,n-1}。

下面研究γk=2kρ時離散曲面的變差算法，其中，0<γk≤max{xm-x0,yn-y0}。

由于式(1)也可表示為:

Os((xi,yj);γk)=max{zl,p:(xl,yp)∈G((xi,yj),γk)}-min{zl,p:(xl,yp)∈G((xi,yj),γk)},

所以對于i=0,1,2,…,m,m+1;j=0,1,2,…,n,n+1,計算

(3)

(4)

對于i=-2k+1,-2k+2,…,-2k+m;j=-2k+1,-2k+2,…,-2k+n，計算

(5)

(6)

得到離散曲面S在(xi,yj)的γk-振幅為：

(7)

再計算曲面S的γk-變差：

(8)

特別地，如果上述公式中的指標(l,p)超出前面計算出的范圍，則不計在內(nèi)。為了在計算機操作過程中解決這一問題，本文給出的算法程序中，針對已經(jīng)給出的曲面數(shù)據(jù)擴充得到足夠大的矩陣，從而解決了在式(3)~式(6)中指標(l,p)超出范圍的問題。

由式(3)~式(8)，本文設計了一個算法程序，其基本步驟如下：

步驟1把矩陣z=(zij)m×n擴充成一個新的矩陣B=(Bij)(2k+1+m)×(2k+1+n),

當1≤i≤2k+1且 1≤j≤2k+1時，B(i,j)=z(1,1);

2k+1

2k+n≤j≤2k+1+n時，B(i,j)=z(1,n)。

當2k+1

2k+1

2k+n≤j≤2k+1+n時，B(i,j)=z(i-2k,n)。

當2k+n≤j≤2k+1+n且1≤j≤2k+1時，B(i,j)=z(m,1);

2k+1

2k+n≤j≤2k+1+n時，B(i,j)=z(m,n)。

步驟2求矩陣B(i,j)在尺度γ=20·ρ下的最大值BM1(i,j)，最小值Bm1(i,j)，即

BM1(i,j)=max{B(i-1,j-1)，B(i-1,j),B(i-1,j+1),B(i,j-1),B(i,j),

B(i,j+1)，B(i+1,j-1),B(i+1,j),B(i+1,j+1)}；

Bm1(i,j)=min{B(i-1,j-1)，B(i-1,j),B(i-1,j+1),B(i,j-1),B(i,j),

B(i,j+1),B(i+1,j-1),B(i+1,j),B(i+1,j+1)}，

其中：2≤i≤2k+1+m-1；2≤j≤2k+1+n-1。

步驟3求矩陣B(i,j)在尺度γ=2t·ρ，1≤t≤k下的最大值BM1(i,j,t)，最小值Bm1(i,j,t)，其中，1+2t≤i≤2k+1+m-2t,1+2t≤j≤2k+1+n-2t,且

BM1(i,j,t)=max{BM1(i-2t,j-2t,t-1),BM1(i-2t,j+2t,t-1)，

BM1(i+2t,j-2t,t-1)，BM1(i+2t,j+2t,t-1)};

Bm1(i,j,t)=min{Bm1(i-2t,j-2t,t-1),Bm1(i-2t,j+2t,t-1)，

Bm1(i+2t,j-2t,t-1),Bm1(i+2t,j+2t,t-1)}。

步驟4求B(i,j)在尺度γ=2k·ρ下的振幅Os(i,j)=BM1(i,j)-Bm1(i,j)，其中2k+1≤i≤2k+1+m,2k+1≤j≤2k+1+n，則z(i,j)在尺度γ=2k·ρ下的變差為

Vs=ρ2·∑∑Os(i,j)。

2舉例

給出離散曲面S1、S2，如圖1和圖2所示。

x1=0, x100=19.800, y1=8.212, y100=28.012, xi-xi-1=yj-yj-1=0.200,

其中：i=2,3，…100;j=2,3,…，100；xi、yj、zij的單位均為mm。

圖1 離散曲面S1圖2 離散曲面S2

計算得出兩個離散曲面在不同尺度下的變差值，如表1所示。離散曲面S1、S2的尺度γ與變差V的關系圖以及γ與V的雙對數(shù)圖，如圖3和圖4所示。

表1　離散曲面S1、S2在不同尺度下的變差值

圖3 離散曲面S1的尺度與變差關系圖圖4 離散曲面S2的尺度與變差關系圖

由圖3可知：變差是反映曲面粗糙程度的重要參數(shù)。當尺度γ較小時，離散曲面S1、S2的變差很接近；隨著尺度γ不斷增大，離散曲面S1的變差較離散曲面S2的變差增幅大；且當尺度足夠大以后，離散曲面S1的變差明顯比離散曲面S2的變差大，離散曲面S1比離散曲面S2表現(xiàn)的粗糙，這與圖1和圖2是相符的。

圖4表示log(Vs(γk)-log(λk))的雙對數(shù)圖像，與圖3的變化規(guī)律是一致的。由曲面變差與計盒維數(shù)之間的關系，可以得出：離散曲面S1和S2的平均計盒維數(shù)分別為2.37和2.36，即離散曲面S1比離散曲面S2粗糙一些，這與已經(jīng)得出的結(jié)果一致。

3結(jié)論

本文在連續(xù)函數(shù)變差的基礎上，提出離散曲面變差的計算；并針對于等距的離散曲面數(shù)據(jù)，給出了離散曲面的變差計算方法；最后通過兩個實例的結(jié)果驗證了該方法的可行性以及正確性。

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