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        廣義Burgers-BBM方程波前解的持續(xù)性

        2016-01-18 03:06:19崔中飛,傅仰耿
        關(guān)鍵詞:持續(xù)性

        廣義Burgers-BBM方程波前解的持續(xù)性*

        崔中飛, 傅仰耿

        (華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,福建 泉州 362021)

        摘要:對廣義Burgers-BBM方程的波前解進(jìn)行研究,在黏性充分小的情況下,運(yùn)用幾何奇異攝動理論證明其波前解是持續(xù)的.

        關(guān)鍵詞:廣義Burgers-BBM方程;波前解;幾何奇異攝動理論;持續(xù)性

        doi:10.16055/j.issn.1672-058X.2015.0011.002

        收稿日期:2015-05-04;修回日期:2015-06-10.

        基金項(xiàng)目:*國家自然科學(xué)基金資助(11401229).

        作者簡介:崔中飛(1991-),男,碩士研究生,從事微分方程與動力系統(tǒng)研究.

        中圖分類號:O157.2文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

        1基礎(chǔ)知識

        利用幾何奇異攝動理論研究廣義Burgers-BBM方程:

        (1)

        波前解的持續(xù)性,其中μ,δ和ε為正常數(shù),分別刻畫耗散、色散和黏性的效果.當(dāng)ε=0時,方程(1)即為Burgers-BBM方程:

        (2)

        它可以看成是Burgers型方程與BBM方程所組合的簡單擴(kuò)散模型,可以描述非線性色散介質(zhì)中單向傳播的水波[1]和流體力學(xué)中具有有限的小振幅水波[2]等.當(dāng)μ=0時,方程(2)變?yōu)锽BM方程:

        (3)

        式(3)是Benjamin-Bona-Mahony于1972年在水波研究中提出的[2],其中δ是色散系數(shù),它可以用來描述冷等離子體中的水磁波、可壓縮流體中的聲重力波、和諧水晶中的聲波[3]等.在這些物理現(xiàn)象的研究中,方程行波解的研究起到重要的作用.因?yàn)椴还苁蔷_的還是數(shù)值的行波解,都可能對理解這些物理現(xiàn)象提供更多的信息.目前對方程(2)的解法主要有正切函數(shù)法[5]、Fourior解法[6]、吳方法[7]等.通過這些方法,也找到一些精確波前解.1992年,張衛(wèi)國和王明亮利用待定系數(shù)法分別求出了方程(2)的一類指數(shù)函數(shù)有理分式形式的精確波前解

        并且證明了方程(2)的這類行波解可分解為Burgers方程的行波解和BBM方程的行波解的線性組合[8].2009年,姜璐利用首次積分法得到了方程(2)的兩種形式的精確波前解[9]:

        波前解的存在性問題是行波理論的一個基本問題.由于非線性波方程的波前解實(shí)際上對應(yīng)相應(yīng)行波系統(tǒng)的異宿軌,故波前解存在性的研究通常轉(zhuǎn)化為相空間上異宿軌存在性的研究.然而當(dāng)非線性波方程所對應(yīng)行波系統(tǒng)的相空間是高維時,異宿軌的存在性就會變得非常困難.因此利用幾何奇異攝動理論[10]研究小參數(shù)情況下非線性波方程波前解的持續(xù)性已經(jīng)成為一個重要方向.例如KBK方程波前解的持續(xù)性[11]、含有時空延遲的KPP方程的波前解的持續(xù)性[12]、疾病模型中行波解的存在性[13]等.

        下面將從動力系統(tǒng)和幾何奇異攝動理論的角度來探討當(dāng)ε充分小時,方程(1)的波前解的持續(xù)性.

        2動力系統(tǒng)的刻畫

        式(1)做行波變換,將u(x,t)=u(ξ),其中ξ=x-ct代入式(1),得

        (4)

        積分式(4)一次,得

        (5)

        (6)

        顯然系統(tǒng)(6)有下面兩個平衡點(diǎn)

        系統(tǒng)(6)在Y0的Jacobi矩陣為

        其對應(yīng)的特征方程為

        (7)

        類似地,系統(tǒng)(6)在Y1的Jacobi矩陣為

        其對應(yīng)的特征方程為

        (8)

        從而有下面的結(jié)論:

        證明定理的證明主要依據(jù)輻角原理.Y0線性化的譜是由式(7)決定的,令

        則式(7)可以改寫成m0(λ)=0.下面證明m0(λ)=0在右半復(fù)平面上只有一個根.由于m0(λ)是解析的,故式(7)在右半復(fù)平面上根的個數(shù)為

        (9)

        其中周線C0是以原點(diǎn)為圓心、以R為半徑的落在右半復(fù)平面內(nèi)的半圓與虛軸所組成的有向圍線,其方向是逆時針方向;ΔC0argm0(λ)表示m0(λ)沿著C0總的輻角改變量.式(9)等于

        其中中括號里的量表示當(dāng)R從+∞到-∞時m0(iR)的總輻角改變量.因此需要計算m0(iR)的象繞著原點(diǎn)轉(zhuǎn)了幾圈.注意到

        類似地,令

        則式(8)可以改寫成m1(λ)=0.同理可得式(8)在左半復(fù)平面上根的個數(shù)是

        3波前解的存在性

        如果Burgers-BBM方程存在一個單調(diào)增加的波前解,那么將證明對于充分小的ε,廣義Burgers-BBM方程也存在一個波前解.當(dāng)0<ε<1時,系統(tǒng)(6)可以改寫成

        (10)

        系統(tǒng)(10)通常被稱為“慢系統(tǒng)”,其對應(yīng)的“快系統(tǒng)”為

        (11)

        若在系統(tǒng)(10)中令ε=0,則u,v滿足系統(tǒng)

        (12)

        且w屬于集合

        其中M0是R3的一個二維子流形.

        根據(jù)文獻(xiàn)[10]中的定義,流形M0被稱為是正規(guī)雙曲的,如果快系統(tǒng)限制在M0上,有M0維數(shù)個特征值在虛軸上,且剩下的都是雙曲的,則快系統(tǒng)(11)限制在M0上的線性化系統(tǒng)的矩陣為

        因?yàn)榫仃嘇的特征值是0,0,-cδ,所以流形M0是正規(guī)雙曲的.因此,由Fenichel不變流形理論知,對充分小的ε>0,存在R3的一個二維子流形Mε包含于M0的O(ε)領(lǐng)域內(nèi),并與M0是微分同胚的.

        為了確定Mε上的動力學(xué)行為,記

        (13)

        其中h光滑地依賴于ε且h(u,v,0)=0.將式(13)中的w的表達(dá)式代入系統(tǒng)(10)的第3個方程,得

        (14)

        將h展成ε的泰勒級數(shù)

        然后代入式(14)并比較ε的同次冪系數(shù).比較零次冪系數(shù),得h(u,v,0)=0;比較一次冪系數(shù),得

        這樣就可以改寫系統(tǒng)(10)為

        (15)

        系統(tǒng)(15)決定Mε上的動力學(xué)行為.下面給出并證明持續(xù)性定理.

        把系統(tǒng)(15)改寫為

        其中Φ(u,v,c,ε)滿足

        因?yàn)閡0(ξ)是嚴(yán)格增加的,故可以被刻畫成某個函數(shù)的圖像,把這個函數(shù)表示成

        v=f(u,c0)

        根據(jù)穩(wěn)定流形定理,對于充分小的ε,Wu(E-)可以被刻畫成函數(shù)

        為了證明當(dāng)ε充分小時,系統(tǒng)(15)存在一條異宿軌,只需證明在c0附近存在唯一的c(ε),使得流形f1和f2相交與直線u=c0上的同一點(diǎn).令

        由于v=f1(u,c,ε)和v=f2(u,c,ε)都滿足方程

        (16)

        可以得

        (17)

        命令

        由于

        解式(17)得

        這樣就有

        類似地有

        參考文獻(xiàn):

        [1] 聶世麗,賈有見.利用指數(shù)函數(shù)法解Burgers-BBM方程[J].科學(xué)技術(shù)與工程,2011,11(21):1671-1815

        [2] 徐紅梅,吳笑天.BBM-Burgers方程解的衰減估計[J].數(shù)學(xué)雜志,2014,34(4):723-728

        [3] BENJAMIN T B,BONA J L,MAHONY J J.Model Equation for Long Water Waves in Nonlinear Dispersive Systems[J].Philos Trans R Soc London Series A,1972(272):47-78

        [4] SEADAWY A R,SAYED A .Travelling Waves Solutions of the Benjamin- Bona -Mahonye Water Wave Equations[J].Abstract and Applied Analysis,2014(293):57-66

        [5] 張金良,王躍明,王明亮.兩類非線性方程的精確解[J].物理學(xué)報,2003,52(7):1575-1578

        [6] 龔倫訓(xùn).修正的BBM方程的一些新的精確解[J].原子與分子物理學(xué)報,2006,23(4):527-728

        [7] 蘇道畢力格,朝魯.用吳方法計算Burgers-BBM方程的勢對稱及其不變解[J].內(nèi)蒙古大學(xué)學(xué)報,2006,37(4):366-373

        [8] 張衛(wèi)國,王明亮.B-BBM方程的一類準(zhǔn)確行波解及結(jié)構(gòu)[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報,1992,12(3):325-331

        [9] 姜璐.Burgers-BBM方程新的精確解[J].南昌工程學(xué)院學(xué)報,2009,28(1):41-46

        [10] FENICHEL N.Geometric Singular Perturbation Theory for Ordinary Differential Equation[J].Differential Eqs,1979(31):53-98

        [11] YANG G F,ZHEN G L.Persistence of Travelling Fronts of KdV-burgers-kuramoto Equation[J].Applied Mathematics and Computation,2010(216):2199-2206

        [12] ASHWIN P,BARTUCCELLI M,BRIDGES T.Travelling Fronts for the KPP Equation with Spatio-temporal Delay[J].Math Phys,2012(53):103-122

        [13] RUAN S,XIAO D.Stability of Steady States and Existence of Travelling Waves in a Vector-disease Model[J].Proc Roy Soc Edinburgh Sect A,2004(134):991-1011

        Persistence of Travelling Fronts of Generalized Burgers-BBM Equation

        CUI Zhong-fei, FU Yang-geng

        (School of Mathematical Sciences,Huaqiao University,F(xiàn)ujuan Quanzhou 362021,China)

        Abstract:By geometric singular perturbation theory,this paper proves that travelling fronts of the Generalized Burgers-BBM equation persist under the condition of sufficiently small viscosity.

        Key words: the generalized Burgers-BBM equation;wave-front solution;geometric singular perturbation theory;persistence

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