退化分數(shù)階不確定系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定*

方園1， 石麗娟2， 馬玉田2

(1.阜陽師范學院 經(jīng)濟學院，安徽 阜陽 236037； 2.阜陽師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，安徽 阜陽 236037)

摘要：基于分數(shù)階微分理論和Lyapunov函數(shù)的構建，對一類含不確定項的退化分數(shù)階系統(tǒng)進行魯棒鎮(zhèn)定研究.首先利用“descriptor form”方法構造了一類新分數(shù)階系統(tǒng)，然后利用狀態(tài)反饋控制得到系統(tǒng)魯棒鎮(zhèn)定條件，最后結論以LMI方法給出，易于求解反饋增益矩陣.

關鍵詞：退化；分數(shù)階；魯棒鎮(zhèn)定；不確定

doi:10.16055/j.issn.1672-058X.2015.0011.001

收稿日期：2015-04-08；修回日期：2015-06-12.

基金項目：*國家自然科學

作者簡介：方園(1984-)，女，安徽滁州人，助教，碩士研究生，從事控制系統(tǒng)理論研究.

中圖分類號：O231.1文獻標志碼：A

“分數(shù)階微積分”這一概念自1695年被提出以來，引起了眾多學者們的關注.不同學者就其定義給出了不同的表達形式，如Grüwald-Letnikov定義、Riemann-liouville定義、Caputo定義等[1].此后，分數(shù)階微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題作為該理論發(fā)展的一個重要分支，逐漸成為了研究的一個熱點問題.在針對分數(shù)階微分系統(tǒng)研究中，有學者通過構造Lyapunov函數(shù)[2，3]并應用于Mittag-Leffler穩(wěn)定[4，5]以及脈沖函數(shù)系統(tǒng)穩(wěn)定[6]，得到了十分有效的結果.有關整數(shù)階不確定系統(tǒng)的魯棒控制[7]研究理論發(fā)展已較為成熟，但涉及分數(shù)階系統(tǒng)領域，理論還在逐漸完善中.過去整數(shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性條件常常利用線性矩陣不等式(LMI)形式給出，目前已經(jīng)有報道利用LMI方法[8-11]得出分數(shù)階微分系統(tǒng)魯棒鎮(zhèn)定性條件，但關于退化分數(shù)階微分系統(tǒng)魯棒控制研究鮮有報道.此處在前人研究基礎上，利用“descriptor form”方法[12]討論了含不確定項的退化分數(shù)階系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定性問題.

1預備知識及問題描述

這里先給出一些基本定義以及引理.

定義1[2]對于一元函數(shù)f(t)，α(α∈R+)階Caputo微分定義如下：

(1)

其中，t>t0，n=min{k∈N/k>α}，α>0,C表示Caputo型微分.

1) 若滿足條件x(t)f(x(t))≤0，?x時，則系統(tǒng)的零點是穩(wěn)定的；

2) 若滿足條件x(t)f(x(t))<0，?x≠0時，則系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的.

引理2[7]設矩陣A，B，G為適當維數(shù)的矩陣，其中矩陣G滿足GTG≤I，則存在實數(shù)ε>0，向量x，y，成立2xTAGBy≤εxTAATx+ε-1yTBTBy(其中I為單位陣).

為了得出主要結論，首先給出一個關于Caputo分數(shù)階微分的引理如下：

引理3對于連續(xù)可微函數(shù)x(t)∈R，當t≥t0時，

(2)

證明顯而易見，不等式(2)等價于式(3)

(3)

由定義1可知式(3)左邊第二部分

則不等式(3)可進一步寫為

(4)

因此，

(5)

其中，

(6)

利用L’Hopital法則，可知式(6)計算結果為0.

此時，式(5)變成

證畢.

此處主要考慮退化分數(shù)階不確定系統(tǒng)：

(7)

2主要結論

(8)

對于分數(shù)階不確定系統(tǒng)(8)，有以下結論成立：

定理1若(E，A+ΔA)正則，且存在正定矩陣P，常數(shù)ε1，ε2>0，同時滿足Ω<0，則分數(shù)階不確定系統(tǒng)(7)是漸近穩(wěn)定的.

證明對于分數(shù)階系統(tǒng)(7)，可以構造如下Lyapunov函數(shù)：

(9)

(10)

利用式(8)中第二個方程，式(10)可進一步寫為

(11)

因為FT(t)F(t)≤I，再次利用引理2，存在常數(shù)ε1>0，有

由文獻[2]中推論1，可知此時系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，當且僅當Ω<0.

其中，

定理2若存在正定矩陣X，實數(shù)a，b，ε1>0，ε2>0，滿足

則退化分數(shù)階不確定系統(tǒng)(7)是漸近穩(wěn)定的.

3結論

針對Caputo退化分數(shù)階不確定微分系統(tǒng)，基于狀態(tài)反饋控制器的構造和“descriptor form”方法，通過構造Lyapunov函數(shù)得出了系統(tǒng)魯棒鎮(zhèn)定條件；最后利用Schur補引理，把系統(tǒng)魯棒鎮(zhèn)定條件轉化為LMI形式，易于求解.系統(tǒng)中考慮含時滯情況是今后研究的一個方向.

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Robust Stabilization for Singular Fractional Systems with Uncertainties

FANG Yuan1，SHI Li-juan2，MA Yu-tian2

(1.School of Economics，F(xiàn)uyang Teachers College，Anhui Fuyang 236037，China；

2.School of Mathematics and Statistics，F(xiàn)uyang Teachers College，Anhui Fuyang 236037，China )

Abstract：Based on fractional differential theory and Lyapunov function，this paper researches robust stabilization for a class of singular fractional systems with uncertainties.This paper firslty constructs new fractional system by “descriptor form” method.Using state feedback control，the condition of robust stabilization is established，and the results given by LMI that are easy to resolve the gain matrix in the system.

Key words： singular；fractional order；robust stabilization；uncertainties